從兩個(gè)形似的速度關(guān)聯(lián)問題說起

王 芳

(江蘇省木瀆高級(jí)中學(xué),江蘇 蘇州 215100)

速度關(guān)聯(lián)問題是運(yùn)動(dòng)的合成和分解中的重難點(diǎn)，對(duì)于用輕繩、輕桿相連的系統(tǒng),學(xué)生會(huì)抓住兩物體的實(shí)際速度為合速度,并將其按沿繩(桿)和垂直于繩(桿)這兩個(gè)方向分解,取其沿繩(桿)方向的分速度相等,往往就能輕松解決問題。但是，對(duì)于下面兩個(gè)看上去很形似的問題,學(xué)生常用的解題套路卻失效了。

1 兩道形似題引發(fā)的思考

圖1

針對(duì)速度關(guān)聯(lián)問題的兩道形似題的解答如圖1、2所示，圖1中學(xué)生的解答是錯(cuò)的,圖2中學(xué)生的解答卻是對(duì)的。兩題都是與桿相關(guān)的速度關(guān)聯(lián)問題,看上去很相似。學(xué)生采用同樣的處理方法,將平臺(tái)或物塊的速度沿桿和垂直于桿的方向進(jìn)行分解,然后取其垂直于桿的分量和桿上接觸點(diǎn)的線速度相等。對(duì)錯(cuò)結(jié)果不同，問題到底出在哪里?學(xué)生百思不得其解。

圖2

2 對(duì)速度關(guān)聯(lián)問題的分析

對(duì)于兩個(gè)剛體(形狀、大小都不發(fā)生變化的理想模型)或質(zhì)點(diǎn),當(dāng)它們直接接觸或通過輕繩(桿)相連時(shí),由于剛體和連接物輕繩(桿)均不發(fā)生形變,且輕繩(桿)的質(zhì)量為零,它們不會(huì)改變系統(tǒng)的機(jī)械能。對(duì)整個(gè)系統(tǒng)而言,內(nèi)部相互作用的彈力,其作用效果只是將機(jī)械能從一個(gè)物體傳遞給相互作用的另一個(gè)物體。由此可見,內(nèi)部相互作用的彈力的瞬時(shí)功率應(yīng)該總是一正一負(fù),總和為零。又因相互作用力總是等大、反向,所以剛體或質(zhì)點(diǎn)在彈力的方向上分速度必須相等。

根據(jù)彈力類型的不同,我們可以把速度關(guān)聯(lián)問題歸納為三種模型:輕繩連接模型、輕桿連接模型和直接接觸模型。對(duì)于由彈簧連接的系統(tǒng),由于彈簧會(huì)儲(chǔ)存彈性勢(shì)能,不在我們討論的范圍內(nèi)。

2.1 輕繩連接模型

從對(duì)速度關(guān)聯(lián)問題的分析可知:由輕繩連接的物體在彈力方向上的分速度一定相等。由于輕繩上的彈力總是沿著繩的方向,就能得到兩物體沿繩方向的分速度必相等,這與我們的常規(guī)處理方法是一致的。

例1:如圖3所示,有兩條位于同一豎直平面內(nèi)的水平軌道,軌道上有兩個(gè)物體A和B,它們通過一根繞過定滑輪O的不可伸長的輕繩相連接,物體A以vA=20m/s勻速向右運(yùn)動(dòng),在繩子與軌道成α=30°角時(shí),則物體B的速度vB大小為多少？

圖3

圖4

解析:以物體B為研究對(duì)象,由題意可知物體B實(shí)際速度為vB,方向水平向左。將vB沿繩和垂直于繩這兩個(gè)方向進(jìn)行分解,得沿彈力(繩)方向上的分量v1=vBcos30°(如圖4)。

2.2 輕桿連接模型

對(duì)于輕桿連接模型,根據(jù)物體在彈力方向上的分速度相等出發(fā),結(jié)合自由輕桿上的彈力總是沿著桿的方向,就能得到兩物體沿桿方向的分速度一定相等。

例2:如圖5所示,一輕桿兩端分別固定質(zhì)量為mA和mB的兩個(gè)小球A和B(可視為質(zhì)點(diǎn))。將其放在一個(gè)光滑球形容器中從位置1開始下滑,當(dāng)輕桿到達(dá)位置2時(shí)球A與球形容器球心等高,其速度大小為vA,已知此時(shí)輕桿與水平方向成θ=30°角,B球的速度大小為vB,則( )。

B．vB=2vA

C．vB=vA

圖5

圖6

解析:受到球形容器制約,小球A、B繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)。如圖6所示，在位置2處,小球A、B的速度均沿圓的切線方向。

將小球A、B的實(shí)際速度vA、vB分別沿桿和垂直于桿的方向進(jìn)行分解,則小球A沿桿方向的分速度v1=vAsinθ,小球B沿桿方向的分速度v3=vBsinθ。根據(jù)輕桿連接模型中兩物體在彈力(桿)方向上的分速度相等,得v1=v3,即vA=vB,故C選項(xiàng)正確。

2.3 直接接觸模型

在速度關(guān)聯(lián)的問題中,直接接觸模型是學(xué)生最難理解和掌握的。主要原因是學(xué)生無法從效果上直觀判斷相互關(guān)聯(lián)的兩個(gè)速度到底在什么方向上的分速度相等。從機(jī)械能傳遞的角度考察，剛體沿接觸面的彈力方向上的分速度相等，抓住這個(gè)本質(zhì)特征,只要正確判斷出接觸面上彈力的方向,問題就能得到輕松解決。

例3：如圖7所示,AB繞A點(diǎn)以一定的角速度ω由豎直位置開始順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn),并帶動(dòng)套在水平桿上的光滑小環(huán)運(yùn)動(dòng)。則小環(huán)在水平桿上運(yùn)動(dòng)時(shí)速度大小的變化情況是( )。

A． 保持不變

B． 一直增大

C． 一直減小

D． 先增大后減小

圖7

圖8

解析:桿AB與小環(huán)接觸,彈力方向垂直于桿。抓住物體在彈力方向上的分速度相等的本質(zhì)特征,即桿AB與小環(huán)在垂直于桿方向上速度相等。

如圖8所示，選擇小環(huán)作為研究對(duì)象，受水平桿約束,小環(huán)實(shí)際速度v沿水平方向。將其速度按沿桿和垂直于桿這兩個(gè)方向分解,得垂直于桿方向的分量v2=vcosθ。

3 兩個(gè)形似題的錯(cuò)誤原因及解析

學(xué)生在處理圖1、2中習(xí)題時(shí),容易受輕桿連接模型的影響。學(xué)生的解答錯(cuò)誤原因在于：認(rèn)為物體在垂直于桿方向上的分速度相等；圖2中學(xué)生的答案雖然是正確的,但也是誤打誤撞蒙對(duì)的。在處理這兩個(gè)形似問題時(shí),學(xué)生不考慮研究對(duì)象的選擇,簡(jiǎn)單地將速度按沿桿和垂直于桿這兩個(gè)方向分解來求解,沒有真正找到此類問題的本質(zhì)特征。其實(shí)這兩個(gè)問題都屬于速度關(guān)聯(lián)問題中的直接接觸模型，解決此類問題應(yīng)牢牢抓住物體在接觸面的彈力方向上分速度相等。

(1) 圖1中習(xí)題解析

升降平臺(tái)和直棒的末端接觸,屬于點(diǎn)面接觸,彈力方向垂直于升降平面,也就是沿豎直方向。由題意可知平臺(tái)實(shí)際速度為v,方向豎直向上。直桿末端的點(diǎn)在繞固定軸O做圓周運(yùn)動(dòng),其實(shí)際速度v′的方向垂直于桿向上。

圖9

圖10

(2) 圖2中習(xí)題解析

輕桿與物塊接觸,彈力方向垂直于桿。根據(jù)題意可知：物塊實(shí)際速度v的方向水平向右。因?yàn)闂U與物塊接觸的點(diǎn)B在繞O轉(zhuǎn)動(dòng),所以B的速度垂直于桿向下。抓住桿上B點(diǎn)與物塊在彈力方向上的分速度相等,所以與上題不同的是：本題應(yīng)選擇物體作為研究對(duì)象,將其速度按沿桿和垂直于桿這兩個(gè)方向分解。