基于格子Boltzmann方法的雙空化泡遠(yuǎn)壁區(qū)潰滅規(guī)律研究

(四川大學(xué)水力學(xué)與山區(qū)河流開(kāi)發(fā)保護(hù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 成都 四川 610065)

一、引言

空化現(xiàn)象由空化泡的初生、發(fā)育和潰滅過(guò)程組成，是一種氣液兩相之間質(zhì)量傳輸?shù)姆嵌ǔ？蓧嚎s湍流流動(dòng)過(guò)程?？栈轁缢查g形成巨大壓強(qiáng)，易造成材料剝蝕從產(chǎn)生空化現(xiàn)象[1]。由于空化發(fā)生時(shí)周圍環(huán)境不同，空化也分成很多種類，尤其是水質(zhì)狀況[2]、機(jī)械裝置[3]、熱力學(xué)效應(yīng)[4]等的變化都會(huì)對(duì)空化產(chǎn)生較大影響?？栈輳V泛存在于水中，特別是泄洪洞，水輪機(jī)和其他水力設(shè)施及水力機(jī)械中。空化泡在潰滅時(shí)遇洞壁，水輪機(jī)葉片等等固體邊界時(shí)，會(huì)產(chǎn)生高溫高壓高速射流現(xiàn)象[5]。

區(qū)別于傳統(tǒng)宏觀數(shù)值方法，格子Boltzmann法(LBM)基于分子動(dòng)力學(xué)理論，從分子統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)出發(fā)來(lái)求解宏觀變量。這類方法在多物理場(chǎng)耦合作用下以及多相流或復(fù)雜流運(yùn)動(dòng)下具有潛在優(yōu)勢(shì)[6]。格子Boltzmann兩相流模型中最常用的有以下四種：顏色模型、贗勢(shì)(偽勢(shì))模型、自由能模型和雙分布的He-Chen-Zhang模型。

一些學(xué)者已經(jīng)采用格子Boltzmann兩相流模型對(duì)空化泡在近壁區(qū)的演化規(guī)律進(jìn)行了研究。曾建邦等采用格子Boltzmann方法分布模擬了剪切流下和錐形凹坑中空化泡的生長(zhǎng)，得到了與理論或?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)吻合較好的結(jié)果[7]。彭浩等[8]采用三維格子Boltzmann偽勢(shì)模型研究了空化泡在近壁區(qū)潰滅過(guò)程。但是，已有的研究中均沒(méi)有涉及到空化泡在遠(yuǎn)壁區(qū)潰滅過(guò)程，本文采用格子Boltzmann偽勢(shì)模型對(duì)雙空化泡在遠(yuǎn)壁區(qū)潰滅進(jìn)行了詳細(xì)的研究。

二、數(shù)學(xué)模型

在格子Boltzmann單松弛碰撞模型中，離散的粒子分布函數(shù)f_i被使用來(lái)代替流體粒子的分布函數(shù)發(fā)生演變，方程如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

對(duì)應(yīng)的宏觀控制方程可以表示為：

(5)

(6)

在LBM模型中，可以很方便的耦合外作用力將其加入到循環(huán)迭代當(dāng)中。最常見(jiàn)的單組分多相流相互作用力Fi(x,t)為：

(7)

式中G是相互作用強(qiáng)度，ξi取值為ξi=1/9(i=2,3,4,5)，ξi=1/36(i=6,7,8,9)。根據(jù)Yuan[50]的文章中提出的，相互作用勢(shì)可表示為：

(8)

C-S狀態(tài)方程的形式可以表示如下：

(9)

其中，參數(shù)公式如下：

(10)

(11)

臨界參數(shù)可表達(dá)如下：

(12)

(13)

在本文中，取a=1,b=4,R=1。

本文采用Kupershtokh[9]提出的準(zhǔn)確差分外力格式消除了以前外力處理方式的誤差項(xiàng)，使得外力項(xiàng)可以完整的推導(dǎo)到平衡態(tài)分布函數(shù)，其演化方程表示為：

(14)

上式中出現(xiàn)的宏觀物理量計(jì)算公式為：

(15)

(16)

流體物理真實(shí)速度的計(jì)算公式為:

(17)

三、物理模型

為了獲得空化泡在遠(yuǎn)壁處崩潰時(shí)可能產(chǎn)生的有用信息，構(gòu)建的物理模型如圖1所示。四個(gè)邊界都為無(wú)窮大區(qū)域壁面.以水為環(huán)境介質(zhì)。

圖1 物理模型(R0—?dú)馀莅霃? b—兩個(gè)空化泡中心的距離;

在接下來(lái)的雙空化泡在遠(yuǎn)壁區(qū)潰滅演化規(guī)律的工作中，具體的模型設(shè)置如圖1所示：計(jì)算區(qū)域?yàn)?01lu*401lu，鑒于模擬空化泡在遠(yuǎn)壁區(qū)潰滅規(guī)律，數(shù)值模擬過(guò)程中要盡可能避免壁面對(duì)空化泡的影響，故四周使用非平衡外推格式。圖1中R0為氣泡半徑；b為兩個(gè)空化泡中心的距離；Pv為氣泡中的氣體壓強(qiáng)；P∞為液體壓強(qiáng)。模仿前面的研究，引進(jìn)一個(gè)無(wú)量綱數(shù)λ。其中λ=(b-2R0)/R0，是表征兩個(gè)氣泡相對(duì)距離的量。在接下來(lái)的工作中，將探討不同的附加壓力P和不同的λ對(duì)遠(yuǎn)壁區(qū)兩個(gè)空化泡相互作用潰滅的規(guī)律。從而全面的了解兩個(gè)空化泡在無(wú)窮大區(qū)域內(nèi)潰滅的過(guò)程。

四、模擬結(jié)果

(一)低附加壓力下兩個(gè)空化泡在遠(yuǎn)壁區(qū)潰滅

本次模擬了低附加壓力下兩空化泡相互作用潰滅的情況。此時(shí)P=0.0042，λ=0.2。如圖2所示，圖2(a)為50步時(shí)空化泡的密度場(chǎng)圖，兩個(gè)空化泡基本處于初始狀態(tài)。隨著模擬的進(jìn)行，兩個(gè)空化泡在中心連線軸方向上拉長(zhǎng)，原因是兩空化泡內(nèi)部壓強(qiáng)低，互相吸引變化，類似于在兩個(gè)空化泡中間形成一個(gè)低壓區(qū)，變化猶如在兩個(gè)空化泡中間有一個(gè)壁面誘導(dǎo)其潰滅，通過(guò)圖2(b)可清楚地看到這些變化。到了圖2(c)時(shí)，兩個(gè)空化泡被拉長(zhǎng)到一定程度后會(huì)在表面張力和周圍附加壓力共同作用之下向圓形變形。但是由于空化泡之間還存在低壓，相互吸引，因此對(duì)于上面的空化泡來(lái)說(shuō)，底部變形速率變小，上部變形速率大。圖2(d)空化泡在表面張力、空化泡之間的相互吸引、外部壓力的共同作用之下由于上部和下部之間的壓強(qiáng)差相對(duì)于以前的壓力邊界來(lái)說(shuō)變小，不足以將空化泡壓為月牙形，所以空化泡逐漸以半圓(球)形變小，最后潰滅。在本次研究中沒(méi)有發(fā)現(xiàn)二次潰滅。圖2(e)、圖2(f)為壓力場(chǎng)圖。

圖2 低附加壓力下兩個(gè)空化泡在遠(yuǎn)壁區(qū)潰滅(P=0.0042，λ=0.2)

高附加壓力下兩個(gè)空化泡在遠(yuǎn)壁區(qū)潰滅

為了更好地研究?jī)蓚€(gè)空化泡在遠(yuǎn)壁面潰滅情況，又對(duì)在保證模型穩(wěn)定性前提下，對(duì)高附加壓力的情況進(jìn)行了模擬研究，具體的模擬結(jié)果如圖3所示。

圖3 高附加壓力下兩個(gè)空化泡在遠(yuǎn)壁區(qū)潰滅(P=0.0054，λ=0.2)

在本工況中，除了增大附加壓力外，其他條件均未改變。如圖所示：圖3(a)為初始設(shè)置，此時(shí)兩個(gè)空化泡處于圓形狀態(tài)。與上述工況相同，空化泡在相互作用下被壓縮變形呈橢圓形，如圖3(c)、圖3(d)。又由于表面張力作用變形，氣泡在附加壓力、空化泡間吸引力等綜合因素的影響下變?yōu)榘雸A形，如圖3(e)。此時(shí)由于附加壓力較大，空化泡有趨向于月牙形的趨勢(shì)，但空化泡間的低壓區(qū)較小，附加壓力與低壓區(qū)不足以形成擊穿空化泡的壓力差，空化泡最后并未出現(xiàn)月牙形。在模擬兩個(gè)空化泡相互作用潰滅的情況中，并未出現(xiàn)月牙形空化泡并被擊穿的現(xiàn)象。因此，兩個(gè)空化泡在遠(yuǎn)壁區(qū)潰滅時(shí)很難出現(xiàn)空化泡被擊穿形成兩個(gè)空化泡然后發(fā)生二次潰滅的現(xiàn)象。

(二)兩個(gè)空化泡遠(yuǎn)壁區(qū)潰滅時(shí)間隨附加壓力變化規(guī)律研究

在本節(jié)中，對(duì)兩個(gè)空化泡在遠(yuǎn)壁區(qū)潰滅的時(shí)間進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，可以清晰地看到在特定空化泡距離下空化泡潰滅隨附加壓力不同的變化，其變化趨勢(shì)呈現(xiàn)出規(guī)律化，具體的統(tǒng)計(jì)信息如圖4所示。

圖4 空化泡潰滅時(shí)間與附加壓力關(guān)系圖

通過(guò)圖4可以清楚的知道：隨著附加壓力的增大，空化泡的潰滅時(shí)間縮短，且當(dāng)P>0.042之后，空化泡潰滅時(shí)間基本與附加壓力成線性關(guān)系。原因是空化泡潰滅的過(guò)程中由于附加壓力較小，氣相壓強(qiáng)和液相壓強(qiáng)在其特定的特征溫度下經(jīng)過(guò)調(diào)整，有趨向于穩(wěn)定的狀態(tài)，因而空化泡潰滅時(shí)間增長(zhǎng)。而當(dāng)附加壓力增大時(shí)，加上兩個(gè)空化泡之間會(huì)產(chǎn)生負(fù)壓呈現(xiàn)相互吸引的狀態(tài)，壓力場(chǎng)對(duì)空化泡作用充分，所以潰滅時(shí)間表現(xiàn)出規(guī)律性，潰滅時(shí)間與附加壓力之間的關(guān)系比較穩(wěn)定。所以，兩個(gè)空化泡在遠(yuǎn)壁區(qū)潰滅時(shí)間與附加壓力之間的關(guān)系已經(jīng)基本探明，后面將統(tǒng)計(jì)在特定壓力下空化泡潰滅時(shí)間與不同距離之間的關(guān)系。

(三)兩個(gè)空化泡遠(yuǎn)壁區(qū)潰滅時(shí)間隨空化泡之間距離變化規(guī)律研究

前面研究了空化泡潰滅時(shí)間隨不同的附加壓力的關(guān)系，下面統(tǒng)計(jì)了在特定的附加壓力下兩個(gè)空化泡潰滅時(shí)間隨不同的距離之間的關(guān)系圖，具體統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖5所示。

圖5 空化泡潰滅時(shí)間與相互之間距離關(guān)系圖

通過(guò)圖5可知：對(duì)于特定附加壓力下，空化泡潰滅時(shí)間與距離之間的關(guān)系基本呈線性，尤其是當(dāng)λ>0.6后，潰滅時(shí)間與距離之間的關(guān)系呈現(xiàn)穩(wěn)定的線性關(guān)系且時(shí)間變化很小，表明當(dāng)兩個(gè)空化泡之間特征距離λ>0.6之后，兩個(gè)空化泡的相互作用對(duì)于空化發(fā)生已經(jīng)基本沒(méi)有影響。而單個(gè)空化泡在近壁區(qū)潰滅規(guī)律中顯示當(dāng)對(duì)于本研究中的特征距離等于空化泡半徑時(shí)時(shí)，壁面對(duì)空化泡潰滅的影響基本消失，比本次研究中的λ>0.6影響距離大，這是因?yàn)閮蓚€(gè)空化泡在遠(yuǎn)壁區(qū)潰滅雖然相當(dāng)于中間有剛性壁面，但是兩個(gè)空化泡相互吸引力不如壁面的吸引大，所以在距離上呈現(xiàn)影響范圍小。

五、結(jié)論

在本文的研究中，采用LBM兩相流偽勢(shì)模型研究了兩個(gè)空化泡在無(wú)窮大區(qū)域內(nèi)的潰滅演變規(guī)律，獲得以下結(jié)論：

1)空化泡相互吸引作用，對(duì)向潰滅，類似于在兩個(gè)空化泡之間有剛性壁面，兩個(gè)空化泡潰滅空化泡之間的低壓吸引，先變?yōu)闄E圓形，然后在附加壓力影響下潰滅。

2)由于兩個(gè)空化泡之間產(chǎn)生的低壓區(qū)和附加壓力產(chǎn)生的壓差較小，所以在研究附加壓力和距離的范圍內(nèi)并未產(chǎn)生二次潰滅現(xiàn)象。

3)隨著附加壓力的增大，空化泡的潰滅時(shí)間縮短，基本呈現(xiàn)線性關(guān)系。

4)在特定的附加壓力下，兩個(gè)空化泡在遠(yuǎn)壁區(qū)潰滅時(shí)間隨距離的增大而減小，呈現(xiàn)線性關(guān)系，且當(dāng)λ>0.6后，空化泡之間的相互作用對(duì)潰滅的影響基本可以忽略。