基于傅里葉級(jí)數(shù)的汽輪機(jī)葉根輪槽結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

李 明，張小娟，余德啟，舒?zhèn)チ?，?凱

(1.大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連 116024;2.上海汽輪機(jī)廠有限公司 上海電氣，上海 200240)

1 引 言

汽輪機(jī)作為重要的旋轉(zhuǎn)動(dòng)力機(jī)械，廣泛應(yīng)用于能源和運(yùn)輸行業(yè)。隨著社會(huì)進(jìn)步和技術(shù)發(fā)展，汽輪機(jī)面臨更加惡劣的工作環(huán)境和更高的工作性能要求，易在運(yùn)行時(shí)發(fā)生失效和破壞，從而造成發(fā)電機(jī)組可靠性的喪失，產(chǎn)生重大經(jīng)濟(jì)損失。葉根是汽輪機(jī)中將葉片受力傳遞至輪槽轉(zhuǎn)子的關(guān)鍵部件，其幾何尺寸一般較小。超高轉(zhuǎn)速產(chǎn)生的巨大離心力作用于葉根部位，會(huì)引起較高的應(yīng)力水平和葉根的失效破壞，從而影響發(fā)電汽輪機(jī)的可靠性和經(jīng)濟(jì)效益。通過選用高強(qiáng)度材料來提升葉根強(qiáng)度的空間有限，并會(huì)帶來成本的上升，通過優(yōu)化葉根結(jié)構(gòu)以降低應(yīng)力分布水平，提高疲勞壽命，具有重要的意義。

張明輝等[1-3]使用圓弧-直線法(圓弧曲線與直線結(jié)合)參數(shù)化建模表征樅樹型葉根與輪槽型線，以幾何參數(shù)為優(yōu)化變量，通過最小化峰值等效應(yīng)力給出優(yōu)化構(gòu)型。Song等[4]基于圓弧和直線參數(shù)化表征樅樹形葉根，以最小化輪槽峰值應(yīng)力和最大化前緣面積為優(yōu)化目標(biāo)。Rao等[5-7]使用圓弧表征葉根齒型，用直線表征葉根接觸面，以最小化峰值應(yīng)力為目標(biāo)函數(shù)，開展葉根型線形狀優(yōu)化。邢譽(yù)峰等[8]將樅樹型榫槽看作圓弧和直線的組合體，以半徑和定位尺寸等幾何特征參數(shù)為設(shè)計(jì)變量，考慮幾何連續(xù)和尺寸約束，以輪緣峰值應(yīng)力最小化為優(yōu)化目標(biāo)，達(dá)到了提高使用壽命和降低成本的目的。Yu等[9]開發(fā)優(yōu)化設(shè)計(jì)平臺(tái)，基于圓弧-直線法和加權(quán)峰值應(yīng)力最小化策略，自動(dòng)生成和優(yōu)化葉根輪槽型線。

已有汽輪機(jī)葉根輪槽優(yōu)化設(shè)計(jì)的工作系統(tǒng)理性考慮結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)對應(yīng)力分布的影響，與費(fèi)力耗時(shí)的經(jīng)驗(yàn)試錯(cuò)法相比，具有高效和經(jīng)濟(jì)的優(yōu)點(diǎn)，促進(jìn)了汽輪機(jī)的設(shè)計(jì)與發(fā)展，但也存在著一定的不足。(1) 葉根輪槽構(gòu)型的數(shù)學(xué)描述。針對樅樹型葉根，基于圓弧直線組合的方法受限于圓弧特征假設(shè)和連續(xù)性條件，無法描述超橢圓[10]等復(fù)雜曲線，限制了葉根輪槽優(yōu)化空間。(2) 優(yōu)化目標(biāo)的選取。已有工作多定義最小化峰值應(yīng)力為優(yōu)化目標(biāo)，構(gòu)建典型的min-max優(yōu)化問題。但這種優(yōu)化目標(biāo)定義具備高度非線性，優(yōu)化過程中易出現(xiàn)峰值應(yīng)力位置波動(dòng)，造成優(yōu)化迭代震蕩和不收斂問題，使得優(yōu)化代價(jià)較高[11]。

本文以工程三齒樅樹型葉根輪槽為例，采用具有描述復(fù)雜幾何形狀能力的傅里葉級(jí)數(shù)與直線相結(jié)合的方法來表征樅樹型葉根輪槽型線，拓寬結(jié)構(gòu)優(yōu)化的搜索空間。利用KS函數(shù)凝聚應(yīng)力值，有利于降低目標(biāo)函數(shù)的非線性程度，確保優(yōu)化快速收斂。與圓弧-直線法和最小化峰值應(yīng)力的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證了傅里葉級(jí)數(shù)-直線法和KS凝聚應(yīng)力法的有效性。

2 樅樹型葉根輪槽的構(gòu)型描述

傅里葉級(jí)數(shù)具有光滑性、對稱性和周期性[12]，在表征復(fù)雜曲線方面，具有高保真度、完備性和復(fù)雜構(gòu)型描述能力。基于傅里葉級(jí)數(shù)-直線法的樅樹型葉根輪槽構(gòu)型描述如圖1所示。整個(gè)型線由一個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)構(gòu)成，在相鄰拐點(diǎn)之間三點(diǎn)近似共線部分用直線代替以表征摩擦接觸。為了契合工程實(shí)際，不同接觸段直線的斜率保持一致。

圖1 基于傅里葉級(jí)數(shù)-直線法的樅樹型葉根描述

Fig.1 Illustration of fir-tree root characterization through Fourier series -line method

傅里葉級(jí)數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)為

(1)

式中M，αn，βn，l和α0分別為傅里葉級(jí)數(shù)的階次、余弦項(xiàng)系數(shù)、正弦項(xiàng)系數(shù)、周期和常數(shù)項(xiàng)。傅里葉級(jí)數(shù)-直線法描述構(gòu)型的保真度可用決定系數(shù)R2表征。決定系數(shù)表達(dá)式為

(2)

基于圓弧-直線法的樅樹型葉根輪槽構(gòu)型描述如圖3所示，每個(gè)齒均由四個(gè)圓弧和兩條直線組成。圓弧間的相切條件是xj=xi+(Rj-Ri)cosθb和yj=yi+(Rj-Ri)sinθb。直線與圓弧相切條件為xi=xk-Risinθa和yi=yk+Ricosθa，其中，(xi,yi)和(xj,yj)分別是半徑Ri和Rj的圓心坐標(biāo)，(xk,yk)是圓弧與直線的切點(diǎn)，θa和θb分別是斜線和直線段傾角。為減少設(shè)計(jì)變量數(shù)目，假設(shè)接觸段的中心點(diǎn)位于一條直線上，圓弧的半徑、圓心和型線上的切點(diǎn)均可由設(shè)計(jì)變量計(jì)算確定。

3 樅樹型葉根輪槽的優(yōu)化設(shè)計(jì)

汽輪機(jī)樅樹型葉根輪槽優(yōu)化設(shè)計(jì)調(diào)用有限元應(yīng)力分析來評估設(shè)計(jì)構(gòu)型的優(yōu)劣。本文基于Python語言，調(diào)用商業(yè)軟件ABAQUS進(jìn)行應(yīng)力有限元分析。出于計(jì)算效率考量，忽略沿深度方向的偏心扭轉(zhuǎn)效應(yīng)，將三維樅樹型葉根輪槽簡化為二維平面應(yīng)變結(jié)構(gòu)。邊界條件為，(1) 輪槽兩側(cè)為循環(huán)對稱邊界條件；(2) 接觸面摩擦系數(shù)為0.15；(3) 固定輪槽底端表征轉(zhuǎn)子與輪槽間嵌套效果。汽輪機(jī)運(yùn)行中產(chǎn)生的離心力作用于葉根平臺(tái)。為保證網(wǎng)格精度，在葉根輪槽表面指定有限厚度的緩沖層設(shè)置四邊形高階網(wǎng)格，每個(gè)齒對應(yīng)的單元數(shù)目均不少于20，其他非敏感區(qū)域采用粗糙網(wǎng)格。采用CPE4I單元避免剪切自鎖現(xiàn)象。

圖2 不同階次傅里葉級(jí)數(shù)擬合的決定系數(shù)

Fig.2 Coefficient of determination for numerically fitting with Fourier series of different orders

圖3 基于圓弧-直線法的樅樹型葉根描述

Fig.3 Illustration of fir-tree root characterization through arc-line method

優(yōu)化設(shè)計(jì)中，為避免最小化峰值應(yīng)力引起的收斂震蕩迭代，引入KS凝聚函數(shù)

(3)

以工程三齒樅樹型葉根輪槽為例，使用傅里葉級(jí)數(shù)-直線法和最小化KS凝聚應(yīng)力值開展優(yōu)化設(shè)計(jì)。為了驗(yàn)證方法的有效性，同時(shí)也使用圓弧-直線法和最小化峰值應(yīng)力策略進(jìn)行三齒樅樹型葉根輪槽的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。

(4)

圓弧-直線法葉根輪槽構(gòu)型描述對應(yīng)的設(shè)計(jì)變量為傾斜角θi、接觸面傾斜角θc、非接觸面傾斜角θn c、位置高度Hi、葉根高度H、接觸面寬度wi、齒間距TPi、第一齒接觸面位置高度Hp和齒面厚度ti和圓弧半徑R1。因此，基于圓弧-直線法和最小化峰值應(yīng)力值的優(yōu)化列式為

(5)

優(yōu)化設(shè)計(jì)基于商業(yè)軟件Isight，采用多島遺傳算法[14,15]。優(yōu)化參數(shù)設(shè)置種群數(shù)、島嶼數(shù)、代數(shù)、交叉率、突變率、遷移率和遷移間隔分別為10,5,200,1.0,0.01,0.01和5。

4 結(jié)果與討論

4.1 確定傅里葉級(jí)數(shù)階次

如圖2所示，決定系數(shù)變化趨勢表明，為準(zhǔn)確擬合葉根輪槽型線，傅里葉級(jí)數(shù)階次M應(yīng)不小于4，但過大的M值易引起過擬合現(xiàn)象。本文基于不同M值進(jìn)行優(yōu)化迭代，以40代為例，如圖4所示，當(dāng)M小于6時(shí)，葉根輪槽峰值應(yīng)力變化平緩；當(dāng)M值大于6時(shí)，產(chǎn)生過擬合現(xiàn)象，峰值應(yīng)力急劇上升，優(yōu)化效果差。因此，綜合考慮精度和效率、過擬合與欠擬合問題，本文選定傅里葉級(jí)數(shù)階次M=4。

圖4 基于不同階次傅里葉級(jí)數(shù)-直線法的優(yōu)化峰值應(yīng)力

Fig.4 Optimized peak stresses of based on Fourier series -line method with different orders

4.2 優(yōu)化結(jié)果

本文比較基于傅里葉級(jí)數(shù)-直線法和最小化KS凝聚應(yīng)力值優(yōu)化策略與基于圓弧-直線法和最小化峰值應(yīng)力優(yōu)化策略的優(yōu)化結(jié)果，分析兩種方法的優(yōu)劣。由圖5和圖7對比可知，最小化KS凝聚應(yīng)力值的優(yōu)化策略在第80代開始收斂， 而最小化峰值應(yīng)力的優(yōu)化策略在第150代開始收斂，證明KS函數(shù)可以減少迭代震蕩，加快迭代收斂速度；對比圖6(a)和圖8(a)可知，與初始構(gòu)型相比，傅里葉級(jí)數(shù)-直線法以較小的構(gòu)型改變即可找到最優(yōu)解，而圓弧-直線法則需要較大的構(gòu)型改變方可得到優(yōu)化構(gòu)型，表明在相同條件下，傅里葉級(jí)數(shù)-直線法能描述更多的構(gòu)型，保證優(yōu)化可行解的完備性；對比圖6(b)和圖8(b)可知，與圓弧-直線法相比，傅里葉級(jí)數(shù)-直線法給出的優(yōu)化構(gòu)型對應(yīng)的峰值應(yīng)力值較小，優(yōu)化效果較好。

圖5 傅里葉級(jí)數(shù)-直線法和最小化KS凝聚應(yīng)力值的優(yōu)化迭代歷史

Fig.5 Iteration history for Fourier series -line method and minimization of KS aggregation for stress values based optimization

圖6 基于傅里葉級(jí)數(shù)-直線法和最小化KS凝聚應(yīng)力值的優(yōu)化結(jié)果

Fig.6 Optimal results of the Fourier series -line method and mini-mization of KS aggregation for stress values based optimization

圖7 基于圓弧-直線法和最小化峰值應(yīng)力的優(yōu)化迭代歷史

Fig.7 Iteration history for arc-line method and minimization of peak stress based optimization

圖8 基于圓弧-直線法和最小化峰值應(yīng)力的優(yōu)化結(jié)果

Fig.8 Optimal results of the arc-line method and minimization of peak stress based optimization

5 結(jié) 論

針對樅樹型葉根輪槽的優(yōu)化設(shè)計(jì)，本文基于傅里葉級(jí)數(shù)-直線法表征葉根輪槽構(gòu)型，以最小化KS凝聚應(yīng)力值為優(yōu)化目標(biāo)，與基于圓弧-直線法和最小化峰值應(yīng)力優(yōu)化策略相比較，得出的結(jié)論如下。

(1) 與基于圓弧-直線法相比，基于傅里葉級(jí)數(shù)-直線法具有更寬廣的優(yōu)化搜索空間和更精準(zhǔn)描述構(gòu)型的能力。

(2) 與最小化峰值應(yīng)力優(yōu)化策略相比，最小化KS凝聚應(yīng)力值可以有效地保證優(yōu)化快速收斂。

(3) 與初始構(gòu)型相比，基于傅里葉級(jí)數(shù)-直線法優(yōu)化的葉根與輪槽峰值應(yīng)力分別下降17.12%和35.21%，基于圓弧-直線法優(yōu)化的葉根與輪槽峰值應(yīng)力分別下降11.84%和30.22%?；诟道锶~級(jí)數(shù)-直線法的優(yōu)化效果較明顯。