應(yīng)用均勻彎曲波導模擬蟲洞潮汐力

何潤秋,祝世寧,劉 輝

(南京大學 物理學院，江蘇 南京 210093)

潮汐力是由于引力的不均勻而導致對運動物體產(chǎn)生的撕扯效果，一般在天體運動中比較顯著. 但是，當存在很強的引力場時，如黑洞和蟲洞，潮汐力也會對很小的光波包產(chǎn)生影響. 在近期工作中，南京大學的課題組使用彎曲的光波導來模擬蟲洞作用在光束上的巨大潮汐力，利用廣義相對論計算了潮汐力引起的光束偏折和波包擴散. 理論計算與實驗結(jié)果一致. 結(jié)果表明：巨大的潮汐力引起了蟲洞喉部光波包的發(fā)散，并且在臨界值處將光困在了蟲洞的喉部[1].

1 背景介紹

自從惠勒提出黑洞以來，關(guān)于黑洞的理論研究已經(jīng)非常豐富. 然而直到近年來，引力波的探測[2]和黑洞照片的成功拍攝[3]才使得關(guān)于黑洞的觀測取得突破. 盡管如此，黑洞的一些奇異特性仍然很難被直接觀察到，如霍金輻射和巨大的潮汐力. 潮汐力是引起海洋表面周期性波動，即潮汐的主要原因，通常認為是由于大型天體的運動而造成的引力場的梯度引起的. 由于引力場在小尺度上幾乎是均勻的，潮汐力對光束和波包的影響通常非常微弱可忽略不計. 但是，當存在強引力場時，如黑洞、蟲洞等，此時潮汐力非常強，并且將變成影響波包演化的主要因素.

因為黑洞等天體在觀測上存在巨大難度，為了進行實驗研究，人們提出了類比引力的思想，在不同的實驗條件下利用能夠精確控制的實驗平臺對黑洞進行模擬. 盎魯?shù)谝粋€提出這種方法，他使用聲波在加速流體模擬霍金輻射附近的事件視界[4]. 此后，在超導電路[5]、玻色-愛因斯坦凝聚態(tài)[6]、非線性光纖[7]等不同的實驗系統(tǒng)中，人們實現(xiàn)了霍金輻射的類比實驗. 同時，其他幾位物理學家也嘗試在實驗系統(tǒng)中模擬蟲洞，如納米光子蟲洞[8]、等離子體模擬蟲洞[9]、石墨烯[10]中的模擬蟲洞等. 另一方面，基于操縱電容率和磁導率分布的超材料的轉(zhuǎn)換光學可以應(yīng)用于研究類比引力，人們設(shè)計了許多具有新型光學應(yīng)用的人工材料[11-17]. 通過靈活地調(diào)整電、磁參量，超材料可用于高精度的引力場模擬[13]. 在變換光學的幫助下，人們成功地在光學系統(tǒng)中模擬了黑洞[18-21]. 此外，還觀察到蟲洞[22]、宇宙紅移[23]、愛因斯坦環(huán)[24]、倫德勒空間[25]、均勻引力場[26]、宇宙弦[27]等有趣的現(xiàn)象. 最近，諸如彎曲波導[28-31]、非局部介質(zhì)[32]和光學晶格[33]等光學結(jié)構(gòu)也被用來模擬這些宇宙學現(xiàn)象. 在引力場中探索更復雜情況所需的超材料，其折射率應(yīng)具有巨大變化范圍的需求，這需要極高水平的材料制造工藝. 為了克服這個困難，物理學家轉(zhuǎn)向使用二維(2D)嵌入曲面來模擬引力場[29-31]. 該方法擴展了模擬重力實驗平臺. 通過控制曲面的曲率，可以更容易地實現(xiàn)模擬強引力場的時空度規(guī). 在這項研究中，使用了嵌入的彎曲空間模擬巨大的潮汐力的蟲洞光束，設(shè)計了基于莫里斯-索恩(MT)可穿越蟲洞度規(guī)的樣品. 樣品利用3D打印技術(shù)制作. 在不同的碰撞參量下，測量了由潮汐力引起的光束傳播. 基于廣義相對論計算了潮汐力和測地線偏差. 理論計算結(jié)果與實驗結(jié)果吻合得較好. 結(jié)果表明，在蟲洞的近喉部，潮汐力非常大，使得光束在喉部完全發(fā)散. 這種效應(yīng)破壞了光波包的傳播，也破壞了光信息的傳輸.

2 莫里斯-索恩可穿越蟲洞和度規(guī)

蟲洞最初是由愛因斯坦提出的從空間中一點穿越到另一點的時空隧道，中間由暗物質(zhì)構(gòu)成，被設(shè)想成為空間穿越或是時間旅行的工具. 自從被提出以來，蟲洞的理論模型不斷被豐富，從惠勒的概念蟲洞，不可穿越的施瓦西蟲洞到艾利斯蟲洞再到可穿越的MT蟲洞，但是天文觀測中從未觀測到類似于蟲洞的天體，一方面是由于蟲洞僅僅是理論假設(shè)，出現(xiàn)的概率很?。涣硪环矫鎰t是因為沒有預期的現(xiàn)象作為參考和對照. 作為模擬現(xiàn)象的實驗，類比引力的方法可以作為很好的補充手段.

MT蟲洞作為成熟的可穿越蟲洞模型，最初是莫里斯和索恩在1988年提出的，用來描述可穿越的蟲洞，它的度規(guī)作為球坐標系為

(1)

其中，c是光速，r是蟲洞喉部部分的半徑. 在平面的二維靜態(tài)球?qū)ΨQ解中，度規(guī)可以簡化為

(2)

為了與之對應(yīng)，假設(shè)嵌入圖曲面的度規(guī)為

(3)

將2個方程對應(yīng)起來，即可以得到嵌入曲面的方程為

(4)

如圖1所示，這樣得到的嵌入圖具有旋轉(zhuǎn)對稱性，是由1根基線旋轉(zhuǎn)而來，基線為類雙曲線的形式. 嵌入的彎曲空間如圖2中的雙曲曲面所示，二維可穿越蟲洞的內(nèi)稟曲率相當于對應(yīng)三維歐幾里得空間中的二維嵌入曲線的投影，而所得到的平面圖像即對應(yīng)到光束在二維蟲洞附近的傳播行為.

圖1 MT蟲洞的度規(guī)嵌入圖

圖2 3D打印的樣品

在實驗中，采用3D打印技術(shù)，在上述設(shè)計的基礎(chǔ)上，制作出厚度為1 μm的均勻透明樹脂樣品. 透明樹脂的折射率為1.52. 如圖2所示，樣品由3個部分構(gòu)成，代表2個平面空間頂部平面波導α和底部平面波導β，以及嵌入圖形狀的蟲洞通道彎曲波導(兩端平滑連接到2個象征平坦的宇宙的波導). 光束從平坦的α空間靠近蟲洞，受到蟲洞引力場的影響而產(chǎn)生偏折，從而發(fā)生各種演化行為，這樣的傳播圖像投影到平面上即可等效為二維蟲洞附近的光子波包演化的模擬.

3 測地線軌跡計算

蟲洞引力場的拉格朗日量可以表示為

(5)

由此可以計算出其測地線為

(6)

其中P為碰撞參量，即從蟲洞中心到入射光束的垂直距離，b0為蟲洞喉部的半徑.

根據(jù)碰撞參量P，可以有3種不同的情況：

1)當P/b0>1時，計算得到的結(jié)果顯示光線不能通過蟲洞，而是仍在上宇宙α傳播. 如圖3所示，分別對應(yīng)P/b0=1.7，1.5，1.3的3條測地線1，2，3.圖中黑色區(qū)域為蟲洞，藍色背景為引力場外的空間，用帶有箭頭的青色線表示光線傳播方向. 可見隨著碰撞參量逐漸減小，引力場對光線的影響越來越大，導致偏折的幅度也逐步增大.

圖3 未穿越的測地線

2)當P/b0<1時，計算出的光線能夠穿越蟲洞，從上宇宙α穿越到下宇宙β. 如圖4所示，3行測地線4，5和6中，分別對應(yīng)于P/b0= 0，0.3，0.57. 此種情況下，可以看到光線從α平面在喉部消失，然后從β平面的喉部出射.

圖4 穿越的測地線

3)當碰撞參數(shù)P/b0=1時，計算顯示光線以環(huán)繞的軌道向喉部漸近，最后被困在喉部，如圖4中黃色實線7所示.

在所有的3個情況下，將光線受到引力場影響的偏轉(zhuǎn)角度定義為φ. 基于偏轉(zhuǎn)角方程，可以計算φ與碰撞參量P的關(guān)系，如圖5中藍色的實線所示. 結(jié)果表明:當P/b0<1,φ隨P增加；當P/b0>1,φ隨P增加而減小；P/b0=1為漸近線，當P從兩側(cè)接近b0時，偏折角度趨于正無窮(為第3種情況).

圖5 偏折角與碰撞參量的關(guān)系

4 實驗設(shè)計和效果對比

利用3D打印制作的樣品，可以精確地模擬出光束在蟲洞重力場中的測地線軌跡. 實驗設(shè)置如圖6所示. 實驗中，使用可以數(shù)值調(diào)節(jié)的平臺來調(diào)節(jié)樣品的位置. 將半徑為200 μm的高斯光束水平地耦合進入樣品的α平面. 使用2個攝像頭拍照的光束在α平面(從上面)和β平面(從下面). 通過控制樣品臺來改變光束的入射位置，可以研究不同碰撞參量下的光的運動軌跡.

圖6 實驗光路示意圖

為了將實驗結(jié)果與理論結(jié)果進行比較，選擇P/b0=0，0.3，0.57，1.0，1.3，1.5，1.7，這幾種情況的實驗圖像分別采集了垂直圖像.圖7中的第1,2,3入射光線為未穿越情況的實驗圖像，分別對應(yīng)于的上文中的理論結(jié)果. 可以看到在未穿越情況下，這3種情況對應(yīng)的偏折角度分別為φ=27.97°，44.57°，73.50°. 實驗的圖像與理論大體一致，都是偏折角度隨著碰撞距離的減小而增大. 不僅如此， 光束的寬度也隨著傳播而增加.圖8中的4，5，6中的實驗圖像分別對應(yīng)于穿越情況的理論結(jié)果. 此時，入射光線通過α平面進入蟲洞并從β平面出射. 在此過程中，光線同樣發(fā)生偏轉(zhuǎn)，得到的中間軌跡的偏轉(zhuǎn)角分別為-180°,-139°和-93.55°. 實驗結(jié)果同測地線圖所示的理論計算符合的非常好. 另外，對于臨界情況，實驗結(jié)果如圖9所示. 光束進入蟲洞喉部，形成穩(wěn)定軌道，并被困在蟲洞的喉部，幾乎無法逃逸，這也符合理論中的7號線. 在本文中只給出了一些特殊情況的實驗圖像. 實際上，實驗測量了許多不同的碰撞參量. 這些結(jié)果以偏折角曲線圖中的橙色點表示，測得的點與理論實線吻合較好.

(a) (b) (c)圖7 未穿越的實驗照片

(a)

(b)

(c)

圖8 穿越的實驗照片

5 潮汐力的分析

在上面的實驗中，光束被近似地看作是1束沒有波動屬性的理想軌跡. 然而在某些情況下，這樣的近似是不夠的. 例如，光束不能簡單地看作是理想的測地線軌跡，而是時空中的波包. 任何幾何尺寸的物體，在不均勻的重力場中都會受到重力的潮汐力，光波包也不例外. 其中一項研究利用光熱效應(yīng)來模擬光波包上的弱潮汐力. 結(jié)果表明，潮汐力引起了光譜[32]的紅移. 潮汐效應(yīng)非常微弱，不會對光束產(chǎn)生明顯的影響. 然而，引力場的梯度越大，施加的潮汐力就越大. 當潮汐力足夠大時，物體就會被撕成碎片，光子波包也不例外. 通常，天體對波包的潮汐力非常小，可以忽略不計(就像光束1遠離喉部的波束的行為一樣). 但是，在蟲洞強引力場的情況下，由于梯度非常大，波包受到的潮汐力作用非常強. 作用在波包上的如此巨大的潮汐力，在地球上很難觀測到，更不用說由人到蟲洞去觀察這種巨大的潮汐力了. 然而，這項工作中的光學蟲洞裝置可以用來模擬蟲洞附近光波包上受到巨大的潮汐力時的演化行為.

仔細觀察實驗所得的圖像可以發(fā)現(xiàn)，當光束通過蟲洞引力場時，會發(fā)生明顯的光束擴散. 需要強調(diào)的是，由于有效重力場的作用，光束并不是均勻分布的，而是被撕裂成不同強度分布的光束，這意味著高斯光束在蟲洞周圍的演化過程中不能保持原有的形狀，而是會發(fā)生新的變化. 盡管光束即使在沒有重力的自由空間中也會傳播，但這是非常緩慢的過程. 由于引力場的梯度作用，實驗中的光束擴散速度比自由空間中的要快得多. 此外，當光束越靠近蟲洞時，光束的擴散越快，呈現(xiàn)出不同的光強分布. 這些影響可以根據(jù)理論模型仔細分析. 研究光束的傳播時，可以定義它的上下2條邊寬度Δp(實際上為上下兩邊的碰撞參量之差). 這2條邊沿著2條不同的測地線軌跡傳播，可以計算出它們的偏轉(zhuǎn)角，得到光束離開蟲洞后的發(fā)散角. 例如，選擇波束寬度Δp=0.4 mm，計算不同碰撞參量下的發(fā)散角，如圖10中綠色線所示. 結(jié)果表明，當P/b0遠小于或遠大于1時，最終形成的展開角度較小，且光束擴散較慢. 當P/b0接近1時，發(fā)散角增長非?？?，光束將在較遠處形成固定的角度. 從實驗結(jié)果可以采集數(shù)據(jù)得到光束的發(fā)散角. 這些結(jié)果以圖10中的藍點表示，與理論計算的實線吻合較好.

為了近似地描述這種效應(yīng)，給出了理論測地偏離與實驗結(jié)果的比較. 根據(jù)愛因斯坦的廣義相對論，非均勻引力場的潮汐力可以用測地偏離得到的加速度來描述：

(7)

(8)

由式(7)～(8)， 可以計算出加速度的變化和沿任意兩條測地線的變化， 如圖11中的箭頭所示. 在這2種情況下，潮汐力在光束接近蟲洞時增加，離開蟲洞時減小. 當光束來到蟲洞附近時，潮汐力變得非常大，導致光束突然加寬. 理論和實驗結(jié)果對比表明，潮汐力是導致光束發(fā)散的原因. 實驗中觀測到的光束散度可以看作是蟲洞對光波包產(chǎn)生的巨大潮汐力的很好的模擬.

(a)徑向潮汐力強度分布

(b)切向潮汐力分布圖11 光在蟲洞附近受到的潮汐加速度

6 總結(jié)與展望

在自由空間中，信息通過光子波包傳遞. 波包的傳播會影響信息的傳遞過程. 在理想的情況下，希望光波包不會傳播，并能支持有效的信息傳輸. 通常，在重力場存在的情況下，潮汐力非常小，不會改變光子波包的形態(tài). 光子波包的傳播通常主要是由光束的衍射引起的，與重力無關(guān). 但是研究表明，在蟲洞存在非常強的引力場的情況下，潮汐效應(yīng)不容忽視，巨大的潮汐力會導致波包的擴散，甚至很快摧毀波包. 當光子波包通過蟲洞的引力場時，會干擾光信息的傳輸.

研究表明，當暢想在未來通過蟲洞穿越來傳遞信息時，潮汐力在假想的過程中不可忽視. 綜上所述，利用二維彎曲空間來模擬蟲洞對光波包的巨大潮汐力，理論和實驗的結(jié)果表明，潮汐力會引起波包的擴展和變形. 雖然可穿越的蟲洞經(jīng)常被想象成未來星際旅行的時空隧道，但研究表明巨大的潮汐力會產(chǎn)生破壞性的影響. 巨大的潮汐力不僅撕裂了通過蟲洞的物質(zhì)，也破壞了光學信息的傳輸. 因此，潮汐力是相對論信息技術(shù)中不容忽視的重要問題. 本研究亦為模擬強引力場作用下的各種光學提供了良好的實驗平臺和范式.