基于無(wú)限大平行板的修正模型精確測(cè)量真空電容率

梁 燕，孫煜婷，劉凡凡，劉一平，岑 剡

(1．中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中心，安徽 合肥 230026；2．復(fù)旦大學(xué) 物理學(xué)系 物理教學(xué)實(shí)驗(yàn)中心，上海 200433)

因此，本文提出考慮平行板電容器兩極的平行性、邊緣效應(yīng)和分布電容的修正模型，并介紹通過(guò)實(shí)踐總結(jié)出的易操作的調(diào)試兩極板間距的零點(diǎn)實(shí)驗(yàn)方法，可使真空電容率ε0的實(shí)驗(yàn)值偏差降至0.6%以下，提高了真空電容率ε0的測(cè)量精度.

1 實(shí)驗(yàn)原理

從理論上考慮平行板電容器兩極板的非平行性、邊緣效應(yīng)和分布電容的修正模型. 設(shè)兩極板是邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形，由于極板大小有限，需考慮其邊緣效應(yīng)；兩極板難以完全調(diào)節(jié)平行，需考慮其非平行性，實(shí)驗(yàn)調(diào)節(jié)其兩極間的夾角為θ，如圖1所示. 對(duì)于該模型可根據(jù)文獻(xiàn)[12]的理論，先用保角變換將非平行板電容器變換成復(fù)平面空間里的平行板電容器，再對(duì)其運(yùn)用施瓦茲-克里斯多菲(Schwarz-Christoffel)變換進(jìn)行計(jì)算[13]. 若兩極板間電勢(shì)差為V0，則可根據(jù)上述方法計(jì)算得到邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，上下極板最小間距為d時(shí)的正方形極板上所帶總電荷Q為

(1)

式中ε0為真空電容率，d為極板間距離.

圖1 極板非平行時(shí)的電容模型

由于變換前后極板間電勢(shì)差與極板所帶電荷量不變，則電容為

(2)

在此基礎(chǔ)上，考慮到測(cè)量過(guò)程中分布電容C′存在，式(2)進(jìn)一步修改為

(3)

上述電容器模型的建立考慮了兩極板的不平行、極板面積大小有限以及測(cè)量過(guò)程中帶來(lái)的分布電容，此模型更加接近實(shí)際的平板電容器，用它測(cè)量計(jì)算真空電容率更接近客觀值.

2 實(shí)驗(yàn)方法及儀器

實(shí)驗(yàn)中所用平行板電容器由美國(guó)南衛(wèi)理工會(huì)大學(xué)(Southern Methodist University，SMU)葉競(jìng)波教授團(tuán)隊(duì)設(shè)計(jì)(圖2)，該平行板電容器由上下金屬極板構(gòu)成，其中下極板通過(guò)鼓輪Z向(垂直極板方向)做高低調(diào)整，這樣整個(gè)下極板可以平行上下移動(dòng)，以方便改變上下極板之間的距離d，四邊4個(gè)立柱高低可調(diào)，以方便改變極板間角度.

實(shí)驗(yàn)中為了準(zhǔn)確測(cè)量電容C需要將平行板電容器和電容表分別短路放電，從而保證極板和電容表內(nèi)沒(méi)有凈電荷. 兩極板的間距d可通過(guò)電容突變法測(cè)量鼓輪零點(diǎn)來(lái)確定. 具體測(cè)量方法為：先緩慢縮小極板間距直至兩極板正好接觸，可觀察到電容表讀數(shù)為無(wú)窮大，此時(shí)記錄鼓輪讀數(shù)為鼓輪零點(diǎn)TT0. 兩極板的間距d可通過(guò)測(cè)量鼓輪讀數(shù)TT減去鼓輪零點(diǎn)TT0獲得.

圖2 實(shí)驗(yàn)所用平板電容示意圖

(4)

實(shí)驗(yàn)研究了夾角θ分別為0.002,0.004,0.006,0.008,0.010 rad時(shí)，板間距d和電容值C的對(duì)應(yīng)關(guān)系，由于實(shí)驗(yàn)中調(diào)節(jié)了夾角φ為0，因此可通過(guò)式(3)計(jì)算真空電容率ε0，而式(4)則用于不確定度分析.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

首先做出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖，再根據(jù)式(3)建立非線性擬合曲線模型，以板間距d為自變量，以電容C為因變量，以其他量為參量進(jìn)行擬合，結(jié)果如圖3和表1所示.

(a)θ=0.002 rad

(b)θ=0.004 rad

(c)θ=0.006 rad

(d)θ=0.008 rad

(e)θ=0.010 rad圖3 當(dāng)兩極板間夾角θ不同時(shí)，電容C和板間距d的關(guān)系擬合圖

表1 不同極板夾角對(duì)應(yīng)的真空電容率實(shí)驗(yàn)結(jié)果

θ/radd/mmε0/(10-12F·m-1)R2Er0.0021.4～7.08.81±0.060.999 520.45%0.0041.4～7.08.88±0.050.999 620.34%0.0061.4～7.08.86±0.060.999 490.11%0.0081.4～7.08.83±0.060.999 360.22%0.0101.4～7.08.80±0.040.999 570.56%

圖3中紅線是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合的曲線，藍(lán)線是根據(jù)不考慮分布電容的式(2)畫(huà)出，綠線是根據(jù)考慮分布電容的式(3)畫(huà)出，可以看出根據(jù)式(3)的理論模型的綠線與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)擬合的紅線有很好的的擬合程度，其中相關(guān)系數(shù)R2與1非常接近，見(jiàn)表1. 在相同夾角下，紅線與藍(lán)線差值在各個(gè)d上基本一致，說(shuō)明分布電容的存在，在數(shù)據(jù)處理中必須要考慮，由表1中看出，實(shí)驗(yàn)值的最好結(jié)果與國(guó)際科學(xué)協(xié)會(huì)公布的基礎(chǔ)物理學(xué)常量中的真空電容率ε0相對(duì)偏差僅為0.11%.

圖3和表1的結(jié)果說(shuō)明：1)建立的理論模型和實(shí)際吻合度高，合理解釋了實(shí)際情況；2)測(cè)量過(guò)程中分布電容需考慮，反映在非線性擬合函數(shù)最后會(huì)有待定參數(shù)項(xiàng)；3)在本科實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，能夠通過(guò)簡(jiǎn)單的模型搭建，可行的實(shí)驗(yàn)方法可以得到準(zhǔn)確度較高的真空電容率，可以用此方法拓展，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方法測(cè)量電介質(zhì)的相對(duì)電容率.

實(shí)驗(yàn)中對(duì)板間距d的測(cè)量范圍進(jìn)行了限制，這是通過(guò)對(duì)ε0進(jìn)行不確定度分析得到的. 對(duì)ε0進(jìn)行不確定度分析可以獲得各測(cè)量量對(duì)不確定度的影響，從而減小因?qū)嶒?yàn)測(cè)量造成的ε0的不確定度.

由式(4)可知，夾角θ的不確定度u(θ)、夾角φ的不確定度u(φ)、板間距d的不確定度u(d)、電容C的不確定度u(C)和分布電容C′的不確定度u(C′)對(duì)真空電容率ε0的不確定度u(ε0)都有影響，而該影響可通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)不確定度的傳遞公式進(jìn)行計(jì)算，形式如下：

(5)

為便于描述不同物理量的不確定度對(duì)于u(ε0)的貢獻(xiàn)，可利用

將式(5)改寫(xiě)成

u2(ε0)=Δε02(d)+Δε02(θ)+Δε02(φ)+

(6)

通過(guò)式(6)的計(jì)算，可以得到當(dāng)角分別度為0.002～0.010時(shí)，由d,θ,φ,C,C′的不確定度(圖4中對(duì)應(yīng)的不同顏色曲線)引起的對(duì)應(yīng)真空電容率計(jì)算值的變化量Δε0隨板間距d變化的關(guān)系圖，如圖4所示.

(a)θ=0.002 rad

(b)θ=0.004 rad

(c)θ=0.006 rad

(d)θ=0.008 rad

(e)θ=0.010 rad圖4 當(dāng)兩極板間夾角θ不同時(shí)，由d，θ，φ，C，C′的不確定度引起的真空電容率計(jì)算值的變化量Δε0隨板間距d變化的關(guān)系圖

4 結(jié)束語(yǔ)

考慮到邊緣效應(yīng)和分布電容的非平行板電容公式模型，提出了更為精準(zhǔn)的測(cè)量真空電容率ε0的方法，并指出了是否考慮非平行、邊緣效應(yīng)和分布電容是影響測(cè)量精度的主要原因. 進(jìn)一步修正了模型，并提出了通過(guò)分析不確定度以限定板間距測(cè)量范圍的方法，從而進(jìn)一步提高實(shí)驗(yàn)結(jié)果的精度，使真空電容率測(cè)量相對(duì)偏差下降到0.6%以下.