透過有文化味的數(shù)學(xué)課堂提高數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)
——以“向量的概念及表示”教學(xué)為例

齊娟

（江蘇省沙溪高級中學(xué)，江蘇蘇州 215400）

方延明教授提出數(shù)學(xué)文化的“三元結(jié)構(gòu)”，即現(xiàn)實世界、概念定義和模型結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)起源于現(xiàn)實世界，特別是現(xiàn)實世界中發(fā)生在人與自然之間的諸多問題，是數(shù)學(xué)科學(xué)的基礎(chǔ)。人們通過大量觀察以及對這些問題間相互關(guān)系的了解，包括借助經(jīng)驗的發(fā)展，經(jīng)過類比、歸納，進(jìn)而抽象出有確切內(nèi)容和明確含義的概念，然后將這些概念應(yīng)用到現(xiàn)實世界中去，把問題化歸為一種形式結(jié)構(gòu)，這就是我們講的模型結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)概念的抽象、歸納，實際上為建立模型奠定了基礎(chǔ)。

一、透過數(shù)學(xué)文化體系中的“現(xiàn)實世界”提高直觀想象

數(shù)學(xué)文化體系“三元結(jié)構(gòu)”中的“現(xiàn)實世界”是指現(xiàn)實是第一性的，數(shù)學(xué)是第二性的，沒有現(xiàn)實世界的社會活動，就沒有數(shù)學(xué)文化。

數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的過程。主要包括：借助空間認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系；構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路。

當(dāng)我們打開“向量的概念及表示”一節(jié)的教材時，數(shù)學(xué)的“文化味”撲面而來，湖面上的三個景點的實際問題引發(fā)了我們的思考，即教學(xué)中的：“為什么要學(xué)向量？”——解決現(xiàn)實問題——“生活——數(shù)學(xué)”。

此處可將生活與數(shù)學(xué)的關(guān)系進(jìn)一步強(qiáng)化，由“數(shù)學(xué)——生活——數(shù)學(xué)”的形式進(jìn)行。

問題一：請觀察右圖，你可以“看”到哪些數(shù)學(xué)問題？

設(shè)計意圖：題目較為開放，意在引起學(xué)生發(fā)現(xiàn)六邊形的相關(guān)關(guān)系，如線段長度相等，角相等，線段平行，等等。（數(shù)量）

問題二：若右圖為一小島觀光的路線圖，甲在A地，乙在C地，丙在E處，請問，三個人如何走才能在D處會合？

設(shè)計意圖：由現(xiàn)實問題引發(fā)思考，由圖直觀觀察，除了數(shù)量還需考慮其方向的問題。（向量）

二、透過數(shù)學(xué)文化體系中的“概念定義”提高數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)文化體系“三元結(jié)構(gòu)”中的“概念定義”是指數(shù)學(xué)概念的形成是人們對客觀世界認(rèn)識科學(xué)性的具體體現(xiàn)。

數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程。主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號或者數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征。

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中。數(shù)學(xué)抽象使得數(shù)學(xué)成為高度概括、表達(dá)準(zhǔn)確、結(jié)論一般、有序多級的系統(tǒng)。

上述“現(xiàn)實世界”中的會合問題僅僅從數(shù)量上已無法解決，需要從“科學(xué)角度”引入新的量——方向。這樣的設(shè)置是水到渠成的，既引起了學(xué)生的認(rèn)知沖突，也順應(yīng)了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)——研究既有大小又有方向的量。

1.4 統(tǒng)計學(xué)方法 采用SPSS 22.0統(tǒng)計軟件處理數(shù)據(jù)。計量資料以x±s表示，采用t檢驗；計數(shù)資料以百分比表示，采用χ2檢驗。以P<0.05為差異有統(tǒng)計學(xué)意義。

之前學(xué)的量均用一個實數(shù)即可以研究，我們稱之為數(shù)量，既有大小又有方向的量我們稱之為向量。（本質(zhì)特征：大小、方向）

學(xué)生活動：請舉一舉學(xué)過的既有大小又有方向的量。

設(shè)計意圖：學(xué)生自然能夠想到如力、位移、速度等的矢量。這種與其他學(xué)科的融入也是文化的一種體現(xiàn)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅是解決數(shù)學(xué)問題，也要為其他學(xué)習(xí)而服務(wù)。

問題三：既然我們發(fā)現(xiàn)了這一新的量——向量，關(guān)于它你還想研究些什么呢？

設(shè)計意圖：從學(xué)生的興趣出發(fā)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性。更重要的是，幫助學(xué)生建立起“如何研究”的習(xí)慣與方法。

預(yù)設(shè)：由上圖的幾何圖形的直觀給出，希望學(xué)生可以想到利用“帶箭頭”有向線段來表示向量。

辨析：有向線段與向量的區(qū)別與聯(lián)系：有向線段是指規(guī)定了起點、大小和方向的線段，向量只有大小和方向，可用有向線段來表示向量，即有向線段不等價于向量。

設(shè)計意圖：通過對二者的辨析，使學(xué)生理解向量只與大小和方向有關(guān)，這也是內(nèi)化向量本質(zhì)的思考，另外即可提出既然向量與起點無關(guān)，我們研究的向量均為“自由向量”為下面向量的平行與共線作鋪墊。

學(xué)生活動：請大家畫一個長度為2的向量。

設(shè)計意圖：引起認(rèn)知沖突：（1）長度為1 的向量多長？（引導(dǎo)學(xué)生思考研究向量引入單位元的必要性——單位向量）；（2）只畫長度為2，那么方向呢？（再次強(qiáng)化學(xué)生注意向量的本質(zhì)：既有大小又有方向，為探究單位向量的方向作鋪墊）

問題：將單位向量的起點放在一起，其終點的軌跡是什么？

設(shè)計意圖：（1）感受單位向量的方向，為與零向量的方向進(jìn)行辨析；（2）模長可大可小，引發(fā)學(xué)生用動態(tài)的觀點看問題，當(dāng)縮成一點時，即為零向量，直觀理解零向量方向的任意性。

三、透過數(shù)學(xué)文化體系中的“模型結(jié)構(gòu)”提高邏輯推理

模型結(jié)構(gòu)：數(shù)學(xué)起源于人類的各式各樣的社會實踐活動，又從活動中抽象出一般的概念，然后將這些概念應(yīng)用到實際中去，把問題化為一種結(jié)構(gòu)，即模型。

邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個命題的思維過程。主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹。邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證，是人們在數(shù)學(xué)活動中進(jìn)行交流的基本思維本質(zhì)。在邏輯推理核心形成過程中，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出命題；能夠掌握推理的基本形式，表述論證的過程；能理解數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，建構(gòu)知識框架；形成有論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)交流能力。而向量概念的學(xué)習(xí)本身就是從特殊到一般再由一般到特殊的思維過程。

我們已經(jīng)解決了研究向量的基本工具——單位向量與零向量，那么你還想研究一下向量的哪些內(nèi)容呢？

設(shè)計意圖：希望可以引發(fā)學(xué)生自主研究向量間的關(guān)系，內(nèi)化研究數(shù)學(xué)的思想和方法。

活動設(shè)置：請將剛才的六邊形中加上一些箭頭，來觀察向量，并研究一下它們之間的關(guān)系。

設(shè)計意圖：從直觀的幾何模型中來探討向量間的關(guān)系，利用平面幾何中的知識可以類比得到一些相關(guān)的結(jié)論。

預(yù)設(shè)：從學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，由平面幾何中線段的相等及直線的平行，學(xué)生應(yīng)該較容易發(fā)現(xiàn)向量的大小是相等的，其平行也是應(yīng)該較容易發(fā)現(xiàn)的。

難點：相反向量、共線向量的突破。

突破方法：向量的本質(zhì)為大小和方向，研究其關(guān)系也無非從這兩方面出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從此方向研究四種關(guān)系：（1）大小相同，方向相同；（2）大小相同，方向不同；（3）大小不同，方向相同；（4）大小不同，方向不同。

設(shè)計意圖：四種關(guān)系既可辨析出向量間的關(guān)系，內(nèi)化其數(shù)學(xué)本質(zhì)，也可探究出向量是不可以比大小的，只有其模長可以比大小。

問題：什么關(guān)系？

設(shè)計意圖：體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性——嚴(yán)格遵照定義方向相同或相反即為平行；因為其在一條直線上，可稱為共線向量。

辨析：（1）共線向量與平行向量的區(qū)別；（2）直線平行與向量平行的區(qū)別。

設(shè)計意圖：引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，平行與共線的干擾點在于平面知識中，線段是固定的，而向量是自由的，抓住此想法，這兩個辨析題即可水到渠成，再次指導(dǎo)學(xué)生研究問題可通過數(shù)學(xué)建模的途徑突破。

本節(jié)課的難點在于，接觸一個與過去認(rèn)知有沖突的知識，并且相關(guān)概念較多，容易混淆，此處，筆者設(shè)計一個學(xué)生活動來突破這一難點。

學(xué)生活動：我們研究過了向量的相關(guān)概念：單位向量，零向量，平行向量，共線向量，相等向量，相反向量，你可以試著將它們歸歸類，說出歸類理由嗎？

設(shè)計意圖：學(xué)生再次深化理解向量的本質(zhì)——大小、方向，無論研究什么問題都從這兩個要素出發(fā)，為今后研究向量的運(yùn)算打下基礎(chǔ)。

由此，本節(jié)課的重難點全部突破，學(xué)生表面上研究的是純數(shù)學(xué)的概念，實際上經(jīng)歷了這樣一個過程：為什么要學(xué)向量？（生活實際問題所迫）——怎么學(xué)向量？（通過數(shù)學(xué)抽象以及數(shù)學(xué)建模來突破）——學(xué)了向量怎么用？（有了研究向量的工具，即可研究向量的關(guān)系，為后面研究向量的運(yùn)算打下堅實的基礎(chǔ)）

什么是數(shù)學(xué)？曾經(jīng)有一種非常普遍的說法，即“數(shù)學(xué)是鍛煉思維的體操”，學(xué)數(shù)學(xué)就是為了培養(yǎng)邏輯思維能力。對于數(shù)學(xué)，絕大多人的印象是嚴(yán)格、抽象或者還有單調(diào)、枯燥的。但隨著人們對數(shù)學(xué)更加深層次的認(rèn)識，人們已經(jīng)意識到數(shù)學(xué)是一種文化，是可以被繼承和發(fā)展的。當(dāng)我們翻開現(xiàn)行教材時，數(shù)學(xué)的文化味是撲面而來的，那一幅幅充滿“人性化”的插圖，那一篇篇“通俗化”的閱讀材料，無不透射出當(dāng)代數(shù)學(xué)教育的“人性化”“通俗化”“大眾化”的教育理念。以弘揚(yáng)“數(shù)學(xué)文化”為核心的數(shù)學(xué)教育才是數(shù)學(xué)教育，也只有從文化教育出發(fā)才能提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。而在我們的教學(xué)過程中，往往過分強(qiáng)調(diào)它的“邏輯性”“演繹性”“封閉性”，這樣的教學(xué)方式，學(xué)生只能暫時會解題目，但是卻無法體會到數(shù)學(xué)的文化。要改變這種現(xiàn)狀，教材的改革固然重要，但歸根到底還是取決于人才機(jī)制的變革，取決于教育理念的更新，而一線教師則有著責(zé)無旁貸的責(zé)任。

學(xué)生應(yīng)該學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來源于生活，最后又服務(wù)于生活。在后期的學(xué)習(xí)過程中，遇到一個新的概念時，學(xué)生已經(jīng)會用這樣的數(shù)學(xué)思維來進(jìn)行思考，比如在學(xué)習(xí)基本不等式的概念時，筆者利用一個想占便宜的買家小故事引入，在最后知識生成后，請學(xué)生思考我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)基本不等式時，學(xué)生便說為了解決生活實際問題而學(xué)習(xí)，并總結(jié)出此知識點可以用于求最值及證明不等式。相信，在這樣的潛移默化中，學(xué)生們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)會慢慢提高，并可以形成自己的學(xué)習(xí)能力，在遇到新的未知時，可以進(jìn)行自主學(xué)習(xí)。