直線與圓錐曲線相交過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的統(tǒng)一性質(zhì)

《數(shù)學(xué)教學(xué)》2010年10月刊登有夏新橋老師的《讀刊有感——引領(lǐng)學(xué)生跨越思維障礙》,給出了解答問(wèn)題的關(guān)鍵,如何利用坐標(biāo)法簡(jiǎn)化解答,突破思維障礙,獲得“完美”解答,讀來(lái)頗是受益。筆者從該問(wèn)題的另一角度思考探究,得出直線與圓錐曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的一些性質(zhì),并從幾何特征出發(fā)獲得該問(wèn)題的一般解法。

原題過(guò)橢圓x2+2y2=2右焦點(diǎn)F的直線與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),經(jīng)過(guò)點(diǎn)B與x軸平行的直線交右準(zhǔn)線于C點(diǎn),求證：直線AC過(guò)一定點(diǎn)。

性質(zhì)1：過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),經(jīng)過(guò)點(diǎn)B與x軸平行的直線交右準(zhǔn)線于B'點(diǎn),F'為準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),則AB'過(guò)FF'的中點(diǎn)。

圖1

證明：當(dāng)AB∥l時(shí),結(jié)論顯然成立。當(dāng)不平行時(shí),如圖1所示。設(shè)直線AB的方程為x=my+c,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則設(shè)G為FF'的中點(diǎn),則有聯(lián)立直線與橢圓的方程得消去x,可得b2(my+c)2+a2y2-a2b2=0,化簡(jiǎn)得(b2m2+a2)y2+2b2mcy-b4=0。所以y1+,所以kAG=,把x1=my1+c代入kAG,得kAG=kAG-kB'G=-=②。

把①代入②得kAG-kB'G=0,即kAG=kB'G,則A,B',G三點(diǎn)共線,所以G為AB'的中點(diǎn),即AB'過(guò)FF'的中點(diǎn)。

圓錐曲線中橢圓具有的性質(zhì),雙曲線和拋物線有嗎? 經(jīng)筆者認(rèn)真探索,于是有：

性質(zhì)2：過(guò)雙曲線=1(a＞0,b＞0)右焦點(diǎn)F的直線與雙曲線相交于A,B兩點(diǎn),經(jīng)過(guò)點(diǎn)B與x軸平行的直線交右準(zhǔn)線l：于點(diǎn)B',準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為F',則AB'過(guò)FF'的中點(diǎn)。

此性質(zhì)仿照性質(zhì)1 的證明即可完成,此處略。

性質(zhì)3：過(guò)拋物線y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),經(jīng)過(guò)點(diǎn)B作平行于拋物線對(duì)稱軸的直線AB交準(zhǔn)線l：于點(diǎn)B',準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為F',則AB'過(guò)FF'的中點(diǎn)(即為拋物線的頂點(diǎn))。(證明略)