二自由度懸索機(jī)器人運(yùn)動(dòng)靜力學(xué)正逆解分析

任 憑，朱聰斌

（中國(guó)海洋大學(xué)工程學(xué)院，山東 青島 266100）

1 引言

傳統(tǒng)并聯(lián)機(jī)器人機(jī)械結(jié)構(gòu)復(fù)雜、工作空間受限。作為一類新型并聯(lián)機(jī)構(gòu)，柔索牽引并聯(lián)機(jī)器人（Cable-Driven ParallelRobots）采用柔索代替剛體桿件，具有工作空間大、機(jī)械結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于模塊化等優(yōu)點(diǎn)，可應(yīng)用于物料搬運(yùn)、天文觀測(cè)、運(yùn)動(dòng)模擬等領(lǐng)域，近年來(lái)已經(jīng)成為機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)研究的焦點(diǎn)。

柔索牽引并聯(lián)機(jī)器人一般可分為懸索并聯(lián)機(jī)器人（Cable-Suspended ParallelRobots）和完全約束柔索牽引并聯(lián)機(jī)器人（Fully Constrained Cable-Driven ParallelRobots）兩種[1]。懸索并聯(lián)機(jī)器人主要依靠重力維持柔索張力，其機(jī)構(gòu)自由度數(shù)一般與柔索數(shù)相同。因?yàn)槿崴髦荒芴峁﹩蜗蚶?，所以機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)中必須維持正向拉力以保證末端執(zhí)行器的穩(wěn)定。這一約束條件構(gòu)成了懸索并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)與控制研究的主要難點(diǎn)。

懸索并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)理論研究主要包括空間正逆解、工作空間、軌跡規(guī)劃等等[2]。在空間正逆解方面，多數(shù)研究忽略柔索質(zhì)量，將其視為直線，進(jìn)而采用與剛體并聯(lián)機(jī)器人類似的方法進(jìn)行求解[3－6]。隨著大型射電望遠(yuǎn)鏡FAST的成功研制[7]，考慮柔索質(zhì)量的超大空間懸索并聯(lián)機(jī)器人正逆解研究越來(lái)越受到重視。此類研究普遍采用懸鏈線方程對(duì)柔索進(jìn)行建模，在運(yùn)動(dòng)學(xué)與靜力學(xué)的耦合模型上進(jìn)行求解。由于懸鏈線方程屬超越方程，因此懸索并聯(lián)機(jī)器人的正逆解無(wú)法像剛體并聯(lián)機(jī)器人那樣獲得封閉解系，只能通過(guò)數(shù)值方法求取。近年來(lái)數(shù)值逆解方面的相關(guān)研究主要包括：文獻(xiàn)[8]最先將懸鏈線方程引入了懸索并聯(lián)機(jī)器人的研究，并獲得了平面三自由度與空間六自由度構(gòu)型的逆解。與逆解研究相比，基于懸鏈線模型的數(shù)值正解研究難度更大，目前相關(guān)成果較少。文獻(xiàn)[9]采用區(qū)間分析法獲得了八索六自由度冗余構(gòu)型的多個(gè)有效正解，但卻需要大量計(jì)算資源與時(shí)間；文獻(xiàn)[10]求解了四索三自由度冗余構(gòu)型的正解與最優(yōu)逆解，但其結(jié)果無(wú)法完全滿足平衡條件。目前，高效、準(zhǔn)確的懸索并聯(lián)機(jī)器人正解算法依然是一個(gè)開放性問(wèn)題。

2 二自由度懸索并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

二自由度懸索并聯(lián)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)，如圖1所示。兩臺(tái)驅(qū)動(dòng)纜車分別位于水平地面的A1、A2位置，兩個(gè)纏繞著懸索的定滑輪分別位于同一高度上的P1和P2點(diǎn)，由兩根等高為h的桿件支撐，桿件底端固定于地面點(diǎn)B1、B2。懸索長(zhǎng)度為L(zhǎng)1、L2。兩根懸索連接于末端執(zhí)行器P，末端執(zhí)行器可看成是質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m。LP是兩支撐桿間的水平距離，以B1B2中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立OXZ坐標(biāo)系。

圖1 二自由度懸索并聯(lián)機(jī)器人的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.1 Schematic Diagram of a Two-D of Cable-Suspended Parallel Robot

2.1 直線模型

在忽略懸索彈性以及自身質(zhì)量的情況下，可將懸索視為線性輕質(zhì)連桿，此時(shí)懸索模型為直線模型。分析單條懸索的模型，如圖2（a）中Lei所示。

圖2 懸索的懸鏈線模型Fig.2 Catenary Model of a Suspended Cable

在此模型中，懸索拉力Fi的方向是Pi、P兩點(diǎn)的直線方向，并且三者符合勾股定理。

2.2 懸鏈線模型

若考慮懸索因自身質(zhì)量產(chǎn)生的下垂效應(yīng)，則應(yīng)采用懸鏈線模型對(duì)懸索進(jìn)行建模。單條懸索的受力情況，如圖2（1）中Li所示。

假設(shè)懸索各處質(zhì)量均勻分布，此時(shí)懸索不僅受末端拉力作用，而且還有自身質(zhì)量產(chǎn)生的下垂效應(yīng)，如圖2所示。因此，拉力Fi的方向是懸索牽引點(diǎn)P處的切線方向，而不再是Pi、P兩點(diǎn)的直線方向。

在懸鏈線模型中，如圖2（b）所示。圖中：ρL—懸索線密度；（x，z）—懸索上任一點(diǎn)坐標(biāo)。當(dāng)懸索長(zhǎng)度不可拉伸時(shí)，懸鏈線方程，如式（1）、式（2）所示[7]。

式中：s—Pi點(diǎn)到坐標(biāo)點(diǎn)（x，z）的懸鏈線曲線長(zhǎng)度，且0≤s≤Li。

3 二自由度懸索并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)靜力學(xué)分析

3.1 靜力學(xué)分析

以固定點(diǎn)P1和P2為原點(diǎn)，如圖1所示。垂直向上為z1和z2坐標(biāo)軸正方向，懸索向內(nèi)方向?yàn)閤1和x2坐標(biāo)軸正方向，分別建立懸索坐標(biāo)系o1x1z1、o2x2z2，如圖3所示。世界坐標(biāo)系OXZ的建立與圖1中一致。

圖3 懸索的懸鏈線模型Fig.3 Catenary Model of Two Suspended Cables

設(shè)點(diǎn)P在OXZ坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為（Xstr，Zstr），在o1x1z1或者o2x2z2坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為（Xiend，Ziend）。由圖3可以得出P的位置坐標(biāo)在各坐標(biāo)系下的變換等式（3）。

圖中：Lei—懸索在直線模型下P點(diǎn)到Pi點(diǎn)的直線距離；

Li—懸索在懸鏈線模型下P點(diǎn)到Pi點(diǎn)的懸鏈線長(zhǎng)度；

g—重力加速度。在懸索1與懸索2坐標(biāo)系下；

Fi（i=1，2）—懸索在末端執(zhí)行器處所受拉力；

Fxi—拉力Fi的水平分量；

Fzi—拉力Fi的垂直分量；

Xiend、Ziend—末端執(zhí)行器的位置坐標(biāo)，由此可得出懸索處于靜態(tài)時(shí)關(guān)于末端執(zhí)行器位置的懸鏈線方程。

在OXZ坐標(biāo)系下對(duì)末端執(zhí)行器進(jìn)行靜力學(xué)分析，Ti（i=1，2）分別表示懸索1和懸索2對(duì)末端執(zhí)行器的拉力，與Fi互為作用力與反作用力，如圖4所示。圖中：TxiG、TziG—懸索拉力在X軸和Z軸上的分力。靜態(tài)平衡下，由圖4可以推出在OXZ坐標(biāo)系下的力平衡方程。再結(jié)合圖3和圖4，系oixizi與系OXZ之間的坐標(biāo)變換，可得出Fxi、Fzi、TxiG、TziG之間的線性關(guān)系式。

圖4 末端執(zhí)行器靜態(tài)受力分析Fig.4 Static Force Analysis of the End-Effector

3.2 運(yùn)動(dòng)靜力學(xué)逆解分析

懸索并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)靜力學(xué)逆解是已知末端執(zhí)行器在OXZ下的坐標(biāo)（Xstr，Zstr）求解Fxi、Fzi、Li（i=1，2）共6個(gè)未知量的過(guò)程。首先在直線模型下求解懸索拉力、懸索長(zhǎng)度，然后以該結(jié)果作為懸鏈線模型下的初值，采用數(shù)值迭代方法求解懸鏈線方程組。

根據(jù)前面第2節(jié)對(duì)單條懸索直線模型的分析，可以得出該平面二懸索并聯(lián)機(jī)器人的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖，如圖5所示。

圖5 平面二懸索牽引并聯(lián)機(jī)器人的直線模型機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.5 Linear Model of a Two-D of CSPR

已知P、P1、P2三點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)圖5可以得出懸索在直線模型下的長(zhǎng)度Lei。假設(shè)Pi點(diǎn)的坐標(biāo)為（pxi，pzi），末端執(zhí)行器坐標(biāo)為（x，z），則有式成立。

懸索直線模型在平衡狀態(tài)下，其雅可比矩陣記作J，可表示為：

利用平衡方程，建立方程組進(jìn)行懸索直線模型下拉力的求解，由圖4可以推導(dǎo)得：

其中，T=［T1T2］T，g=［0-g］T。式（5）為以拉力大小為未知量的線性方程，求解后即可得出懸索在直線模型下的拉力向量。根據(jù)式（4）、式（5）和兩懸索的靜力學(xué)分析，可以得出基于懸鏈線模型下的運(yùn)動(dòng)靜力學(xué)方程組（6）。其中已知量為末端執(zhí)行器P在坐標(biāo)系OXZ下的位置坐標(biāo)Xstr與Zstr，未知量為Fx1、Fz1、L1、Fx2、Fz2、L2。這6個(gè)未知量的初值可以由懸索直線模型下的計(jì)算結(jié)果獲得。

方程組（6）中，X1end、X2end、Z1end、Z2end的值，可以根據(jù)已知條件中的Xstr、Zstr與等式（3）獲得。

3.3 運(yùn)動(dòng)靜力學(xué)正解分析

運(yùn)動(dòng)靜力學(xué)正解是運(yùn)動(dòng)靜力學(xué)逆解的相反過(guò)程。需要以L1、L2為已知量，以Fx1，F(xiàn)x2，F(xiàn)z1，F(xiàn)z2，Xiend，Ziend為未知量重新求解式（6）。在使用數(shù)值方法求解該非線性方程組時(shí)，同樣以直線模型下獲得的拉力Ti與Xiend、Ziend作為初值。

首先，將已知量L1、L2視為直線模型下的懸索長(zhǎng)度，采用幾何法求出末端執(zhí)行器在OXZ下的坐標(biāo)，如圖6所示。

圖6 直線模型下二懸索長(zhǎng)度的幾何關(guān)系圖Fig.6 Geometric Relations of Two Cable Lengths Under the Linear Model

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，z0），P1Q長(zhǎng)度為k1，PQ長(zhǎng)度為k2，建立一組關(guān)于k1、k2的二元二次方程。解出方程組，取正值解。再通過(guò)圖6中的坐標(biāo)幾何關(guān)系推出P點(diǎn)坐標(biāo)（x0，z0）。將（x0，z0）變換至懸索坐標(biāo)系下，獲得Xiend、Ziend（i=1，2）的初值。同時(shí)，結(jié)合式（4）、式（5）求出直線模型下的拉力，從而獲得Fxi、Fzi（i=1，2）的初值。隨后，由式（6）解出Xiend、Ziend，然后再通過(guò)式（3）計(jì)算出Xstr、Zstr。

4 算例仿真

4.1 模型基本參數(shù)

模型基本參數(shù)，如表1所示。

表1 模型基本參數(shù)Tab.1 Model Basic Parameters

4.2 逆解計(jì)算

在考慮末端執(zhí)行器不同位置情況下的時(shí)候，設(shè)定了左、中、右三種位置情況進(jìn)行仿真，三種情況的具體位置坐標(biāo)為，如表2所示。

表2 末端執(zhí)行器的仿真位置坐標(biāo)Tab.2 The Inputposition Coordinates of the End-Effector

針對(duì)非線性懸鏈線方程組（6），在MATLAB程序中可使用fsolve函數(shù)求解。末端執(zhí)行器P在3個(gè)不同坐標(biāo)情況下的逆解結(jié)果，如表3所示。其中，程序運(yùn)行平均耗時(shí)為0.8s。

表3 運(yùn)動(dòng)靜力學(xué)逆解仿真結(jié)果Tab.3 Simulation Results of the Inverse Kinetostatics

4.3 正解計(jì)算

運(yùn)動(dòng)靜力學(xué)正解的仿真驗(yàn)證過(guò)程是以逆解所求的懸索長(zhǎng)度為已知條件，計(jì)算出末端執(zhí)行器P的坐標(biāo)、懸索拉力等6個(gè)未知量。懸索懸鏈線模型下未知量的初值選取，同樣以直線模型下的懸索拉力Ti、與Xiend、Ziend坐標(biāo)為初值。末端執(zhí)行器P在3個(gè)不同坐標(biāo)情況下的正解結(jié)果，如表4所示。其中，程序運(yùn)行平均耗時(shí)為0.9s。對(duì)比表（3）、表（4），正、逆解結(jié)果一致，得到了預(yù)期中的統(tǒng)一結(jié)果。

表4 運(yùn)動(dòng)學(xué)正解仿真結(jié)果Tab.4 Simulation Results of the Forward Kinetostatics

4.4 懸鏈線模型簡(jiǎn)圖

根據(jù)2.1節(jié)中的圖2（2），以及式（1）、式（2）。如果已知s的大小，即可求出末端執(zhí)行器P的坐標(biāo)。其中，s表示Pi點(diǎn)到P坐標(biāo)（x，z）的懸鏈線曲線長(zhǎng)度。綜合4.2中已經(jīng)求出的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解結(jié)果，將Fxi、Fzi、Li代入式（1）、式（2）中，得出x、z關(guān)于變量s的函數(shù)。再由變量s的x、z函數(shù)，可以由仿真繪制出末端執(zhí)行器在不同位置情況下的懸鏈線模型，如圖7所示。

圖7 平面2-DOF懸索并聯(lián)機(jī)器人的懸鏈線模型Fig.7 Catenary Model of Planar 2-DOF CSPR

由圖7可知，結(jié)果符合懸鏈線模型的預(yù)期形狀特征。在末端執(zhí)行器的工作空間內(nèi)選取子區(qū)間x∈［-25，25］，z∈［0，5］（如圖7中虛線矩形所示），在此區(qū)間內(nèi)選擇大量不同位置坐標(biāo)對(duì)仿真計(jì)算進(jìn)行反復(fù)測(cè)試，結(jié)果顯示該算法均能使正、逆解結(jié)果一致。

5 結(jié)論

（1）提出的方法可快速、準(zhǔn)確地求解考慮柔索質(zhì)量的二自由度懸索并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)靜力學(xué)正逆解。該方法同樣可以應(yīng)用于三自由度、六自由度等其他懸索并聯(lián)機(jī)器人。（2）大量仿真算例驗(yàn)證了該方法能夠獲得穩(wěn)定的唯一正逆解，在實(shí)際應(yīng)用中，可以為柔索長(zhǎng)度提供準(zhǔn)確的期望輸入。