行星齒輪傳動系統(tǒng)內(nèi)齒圈振動特性分析

林祖勝，張紹輝

（1.廈門理工學(xué)院機(jī)械與汽車工程學(xué)院，福建 廈門 361024；2.福建省客車及特種車輛研發(fā)協(xié)同創(chuàng)新中心，福建 廈門 361024）

1 引言

行星齒輪傳動具有結(jié)構(gòu)緊湊、輸出功率大和傳動平穩(wěn)等特點(diǎn)，目前已被廣泛運(yùn)用于風(fēng)力發(fā)電設(shè)備、大型礦山機(jī)械和航空航天等機(jī)械傳動領(lǐng)域。受結(jié)構(gòu)復(fù)雜及負(fù)載超額等影響，行星齒輪傳動系統(tǒng)失效率較高，據(jù)國外企業(yè)統(tǒng)計(jì)，行星齒輪系統(tǒng)故障約占風(fēng)電增速箱故障的54%左右[1]。

作為行星齒輪傳動的關(guān)鍵部件，內(nèi)齒圈在工作過程中柔性較大且受力復(fù)雜，設(shè)備監(jiān)測與故障診斷時(shí)傳感器通常固定在齒圈部位，其它零件的信號通過不同傳遞路徑到達(dá)齒圈位置，因此分析內(nèi)齒圈的動態(tài)性能對于改善行星齒輪系統(tǒng)的振動和噪聲具有重要意義。文獻(xiàn)[2]通過建立計(jì)入齒圈柔性的直齒行星傳動精細(xì)化動力學(xué)模型，獲得低階固有頻率及振型，揭示了齒圈柔性對傳動系統(tǒng)動態(tài)性能的影響；文獻(xiàn)[3]結(jié)合Hertz接觸理論和齒輪激勵(lì)，建立考慮齒面接觸特性的動力學(xué)模型，探究內(nèi)齒圈斷齒故障下系統(tǒng)的動態(tài)特性；文獻(xiàn)[4]對行星齒輪傳動系統(tǒng)進(jìn)行三維實(shí)體建模和動力學(xué)仿真分析，得到不同工況的動力學(xué)特性仿真結(jié)果并分析振動特點(diǎn)及原因；文獻(xiàn)[5]根據(jù)結(jié)構(gòu)及邊界特點(diǎn)采用平面梁單元建立行星齒輪柔性內(nèi)齒圈的振動分析模型并進(jìn)行固有特性研究，獲得三類彈性邊界振型。通過建立精確的模態(tài)仿真模型，運(yùn)用有限元法對某風(fēng)力發(fā)電機(jī)用行星齒輪箱內(nèi)齒圈進(jìn)行分析，有效地指導(dǎo)相應(yīng)的試驗(yàn)?zāi)B(tài)過程，簡化試驗(yàn)步驟，避免傳感器安裝、部件固定等錯(cuò)誤，驗(yàn)證了內(nèi)齒圈模態(tài)模型的有效性。

2 模態(tài)分析基本理論

模態(tài)分析主要通過理論計(jì)算或試驗(yàn)方法獲得模態(tài)參數(shù)，為結(jié)構(gòu)動態(tài)特性分析優(yōu)化、振動監(jiān)測與故障診斷等提供依據(jù)。根據(jù)彈性力學(xué)有限元法，齒圈的運(yùn)動微分方程為：

式中：［M］—質(zhì)量矩陣；［C］—阻尼矩陣；［K］—?jiǎng)偠染仃?；｛x¨（t）｝—振動加速度向量；｛x˙（t）｝—速度向量；｛x（t）｝—位移向量；｛f（t）｝—系統(tǒng)所受外界激振力向量。

研究齒圈自由狀態(tài)下模態(tài)特性，外力｛f（t）｝=｛0｝且忽略阻尼對自由振動固有頻率和振型的影響，式（1）簡化為：

相應(yīng)的特征方程為：

式中：λi—特征值，系統(tǒng)的固有頻率；｛φi｝—特征向量，系統(tǒng)的模態(tài)振型。由瑞利法可知第i階固有頻率和振型有如下關(guān)系：

假設(shè)振型已完成模態(tài)質(zhì)量歸一化處理，模態(tài)質(zhì)量有：

則第i階模態(tài)頻率對第Sj個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度為[6]：

由于模態(tài)分析實(shí)際上是振動方程的解耦過程，由式（6）可知，結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化直接影響質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，從而改變固有頻率。在系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)確定的情況下，模態(tài)質(zhì)量與結(jié)構(gòu)材料密度有關(guān)，模態(tài)剛度與結(jié)構(gòu)參數(shù)的彈性模量和泊松比有關(guān)，因此有限元模態(tài)分析必須定義材料的密度、彈性模量和泊松比等參數(shù)。

試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析主要基于外部激勵(lì)力和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應(yīng)，利用試驗(yàn)設(shè)備采集測點(diǎn)的響應(yīng)數(shù)據(jù)，經(jīng)過信號處理完成模態(tài)參數(shù)識別。通過對式（1）進(jìn)行傅里葉變換得到：

頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣H（ω）可表示為：理論上只需測量頻響函數(shù)矩陣的行或列即可識別各階模態(tài)參數(shù)，兩者之間的關(guān)系為：

式中：mi—模態(tài)質(zhì)量；ci—模態(tài)阻尼；ki—模態(tài)剛度；φi—振型向量。

3 齒圈模態(tài)分析

3.1 齒圈有限元模態(tài)分析

齒圈的基本設(shè)計(jì)參數(shù)，如表1所示。

表1 齒圈的基本設(shè)計(jì)參數(shù)（mm）Tab.1 Design Parameters of Ring Gear（mm）

利用SolidWorks軟件GearTrax模塊建立三維參數(shù)化模型，以Iges格式導(dǎo)入Hypermesh軟件進(jìn)行有限元模態(tài)分析，主要步驟如下：（1）幾何清理：模型導(dǎo)入與幾何清理是建立高質(zhì)量網(wǎng)格的關(guān)鍵，通過autocleanup等面板，刪除或重建錯(cuò)誤的連接關(guān)系，由于齒圈結(jié)構(gòu)較為規(guī)則，避免因極大的簡化而造成的誤差；（2）材料42CrMo，各向同性，彈性模量206GPa，密度7.85g/cm3，泊松比0.28；（3）網(wǎng)格劃分：選擇三維Hex8單元，經(jīng)試算控制單元大小1.5mm，根據(jù)結(jié)構(gòu)循環(huán)對稱特點(diǎn)，最小旋轉(zhuǎn)角度為45°，切分出模型1/8部分，在2D網(wǎng)格的基礎(chǔ)上利用spin、solidmap等工具將齒圈離散為全六面體網(wǎng)格，在盡量小的計(jì)算規(guī)模下獲得盡可能精確的仿真模型；（4）質(zhì)量檢查：通過QualityIndex、CheckElems等模塊進(jìn)行單元優(yōu)化調(diào)整，控制單元的翹曲角、雅可比、扭曲度和長寬比等指標(biāo)，最終獲得381387個(gè)六面體單元及87055個(gè)節(jié)點(diǎn)，如圖1所示。模態(tài)特性是系統(tǒng)在自由振動狀態(tài)下的固有特性，為了盡量消除不必要的干擾和影響，便于有限元模態(tài)與試驗(yàn)?zāi)B(tài)對比，設(shè)定兩種分析均處于自由邊界狀態(tài)即不施加任何載荷和約束等。在Hypermesh軟件中通過添加EIGRL卡片設(shè)置頻率求解階數(shù)或范圍，選用Radioss求解器進(jìn)行齒圈有限元自由模態(tài)分析，將分析結(jié)果導(dǎo)到Hyperview軟件處理。

圖1 Hypermesh環(huán)境下齒圈有限元模型Fig.1 Finite Element Model of Gear Ring

由于低階模態(tài)對結(jié)構(gòu)振動貢獻(xiàn)更大，基本決定結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性，同時(shí)被測齒圈為對稱結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致有限元模態(tài)求解時(shí)出現(xiàn)重根現(xiàn)象，部分階次的固有頻率數(shù)值非常接近，僅存在相位差別，因此去除相近頻率和剛體移動模態(tài)（頻率值接近0Hz），經(jīng)整理取前8階固有頻率和振型，如表2所示。為了描述方便，根據(jù)振型表現(xiàn)將齒圈的低階模態(tài)振型分為：彎曲振主要呈現(xiàn)齒圈端面的彎曲振動，徑向振主要呈現(xiàn)齒圈沿徑向伸縮振動，扭轉(zhuǎn)振主要呈現(xiàn)軸向基本無振動、各端面相對扭轉(zhuǎn)振動，傘型振主要呈現(xiàn)軸向振動伸縮成呼吸狀或傘狀，對折振主要呈現(xiàn)軸向波浪振型。

表2 計(jì)算模態(tài)頻率與振型描述Tab.2 Natural Frequency and Modal Shape Description

3.2 齒圈試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析

為了驗(yàn)證模態(tài)仿真模型的準(zhǔn)確性，采用力錘單點(diǎn)激勵(lì)多點(diǎn)響應(yīng)的頻響函數(shù)法對行星齒輪齒圈進(jìn)行無預(yù)緊力自由試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析，試驗(yàn)系統(tǒng)由激振系統(tǒng)、數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)和模態(tài)分析系統(tǒng)等組成，如圖2所示。力傳感器和三向加速度傳感器分別拾取激勵(lì)力信號和各測點(diǎn)響應(yīng)信號，通過同軸電纜，經(jīng)放大器后傳輸?shù)絃MS SCADAS數(shù)采前端進(jìn)行數(shù)據(jù)初步處理，然后通過網(wǎng)線傳送到計(jì)算機(jī)LMSTest.Lab模態(tài)分析軟件進(jìn)行參數(shù)識別，試驗(yàn)系統(tǒng)規(guī)格及性能參數(shù)，如表3所示。

圖2 模態(tài)試驗(yàn)系統(tǒng)方案Fig.2 Design of Modal Experiment Analysis

表3 試驗(yàn)系統(tǒng)規(guī)格及性能參數(shù)Tab.3 Specifications of Modal Test System

基于有限元模態(tài)振幅較大位置等結(jié)果，為試驗(yàn)?zāi)B(tài)中懸掛方式、激勵(lì)點(diǎn)和測點(diǎn)布置等提供指導(dǎo)，主要步驟如下：

（1）試驗(yàn)前的準(zhǔn)備即建立測試系統(tǒng)，包括懸掛工件、安裝傳感器、線纜連接各部件、建立幾何模型等，試驗(yàn)現(xiàn)場為了模擬自由邊界條件和隔離環(huán)境或基礎(chǔ)振動對模態(tài)提取的影響，將被測齒圈用彈性吊帶自由懸掛，所用彈性吊帶的伸縮頻率應(yīng)低于齒圈最低頻率的十分之一，如圖3（a）所示。結(jié)合仿真模態(tài)中振幅較大位置，經(jīng)過單點(diǎn)多次試測，尋找最佳激勵(lì)點(diǎn)。合理的測點(diǎn)位置和數(shù)量對試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析精度至關(guān)重要[7]，根據(jù)有限元模態(tài)振型和齒圈結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，加速度傳感器的布置應(yīng)避開各階模態(tài)振型的節(jié)點(diǎn)，提高信噪比，在模態(tài)分析軟件中建立齒圈的幾何試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，如圖3（b）所示?？偣膊贾?2個(gè)測點(diǎn)（a1-a16，b1-b16），均布在仿真模型變形量較大部位或振動峰值處等位置；

（2）試驗(yàn)過程，通過連續(xù)采樣方式，設(shè)置帶寬即最高分析頻率為8192Hz，頻率分辨率0.5Hz，移動力錘選取合適的敲擊方向分別激勵(lì)每個(gè)測點(diǎn)5次，保證力錘信號無連擊與過載，實(shí)時(shí)檢查各測點(diǎn)的相干函數(shù)值，對激勵(lì)力信號和響應(yīng)信號分別加力窗和指數(shù)窗以防止能量泄露；

（3）數(shù)據(jù)處理即模態(tài)參數(shù)識別，將各測點(diǎn)采集的數(shù)據(jù)導(dǎo)入LMSPolyMAX模塊，經(jīng)帶寬設(shè)置、極點(diǎn)選擇及振型計(jì)算等步驟，獲得模態(tài)穩(wěn)態(tài)圖，如圖4所示。模態(tài)定階時(shí)應(yīng)選取縱向S值（模態(tài)穩(wěn)態(tài)圖的最優(yōu)極點(diǎn)）較多的波峰位置。

圖3 試驗(yàn)現(xiàn)場圖片及測試模型Fig.3 Test Scene Picture and Test Model

圖4 PolyMAX識別的穩(wěn)態(tài)圖Fig.4 Stabilization Chart of Poly MAX Recognition

3.3 模態(tài)分析結(jié)果對比

由于試驗(yàn)?zāi)B(tài)存在各種因素影響如儀器誤差、環(huán)境噪聲等，導(dǎo)致部分頻率遺漏丟失或振型無法計(jì)算（對應(yīng)有限元模態(tài)第2階、第7階），但是試驗(yàn)?zāi)B(tài)是反應(yīng)結(jié)構(gòu)在真實(shí)環(huán)境下的動態(tài)特性，其結(jié)果仍比有限元仿真更可靠，因此基于試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析結(jié)果，去除有限元模態(tài)第2、7階后經(jīng)重新整理，如表4所示?？梢娪邢拊B(tài)和試驗(yàn)?zāi)B(tài)固有頻率相關(guān)性較好，多階頻率保持一致，最大相對偏差僅為3.02%，其中有限元模態(tài)計(jì)算結(jié)果略偏大，這主要由于有限元仿真基于對連續(xù)幾何體的離散，造成結(jié)構(gòu)剛度變大，若能進(jìn)一步細(xì)化單元和節(jié)點(diǎn)，仿真結(jié)果將更加趨向試驗(yàn)值，同時(shí)對應(yīng)階次的仿真模態(tài)與試驗(yàn)?zāi)B(tài)的振型吻合較好，如圖5所示。模態(tài)振型描述基本一致，如表2所示。

表4 有限元與試驗(yàn)?zāi)B(tài)頻率對比Tab.4 Frequency Com parison of FE Analysis&Modal Test

圖5 仿真模態(tài)與試驗(yàn)?zāi)B(tài)振型對比Fig.5 Comparison of Simulation Mode and Experimental Mode

通過試驗(yàn)?zāi)B(tài)和有限元模態(tài)的結(jié)果對比，相關(guān)性較好，證明所建立的行星齒輪內(nèi)齒圈全六面體網(wǎng)格模態(tài)模型能較好地反映結(jié)構(gòu)振動的實(shí)際性能，可以作為保證后續(xù)動態(tài)特性準(zhǔn)確可靠分析的基準(zhǔn)模型。

4 齒圈動態(tài)特性仿真

4.1 齒圈柔性對固有特性的影響

內(nèi)齒圈的柔性對抑制行星齒輪系統(tǒng)的振動和降低傳動噪聲具有重要影響，有利于提高行星齒輪系統(tǒng)的功重比。由于內(nèi)齒圈的柔性與內(nèi)齒圈的厚度之間息息相關(guān)[8-9]，為了直觀分析統(tǒng)計(jì)，以厚度來表征內(nèi)齒圈的結(jié)構(gòu)柔性，通過分析內(nèi)齒圈厚度和固有頻率之間的關(guān)系，考察內(nèi)齒圈柔性對系統(tǒng)固有特性的影響。

圖6 內(nèi)齒圈厚度對系統(tǒng)第1階固有頻率的影響Fig.6 Effect of Thickness on Natural Frequency（N=1）

以表1參數(shù)為基準(zhǔn)值，在其他設(shè)計(jì)參數(shù)不變的條件下，利用上述所建模態(tài)仿真模型，借助Hypermesh軟件功能，對齒圈厚度方向單元進(jìn)行“scale”、“remesh”、“smooth”等操作，按比例直接改變齒圈厚度并進(jìn)行有限元自由模態(tài)分析。經(jīng)過反復(fù)試算后發(fā)現(xiàn)，隨著內(nèi)齒圈厚度的增加，齒圈的結(jié)構(gòu)剛度增大，系統(tǒng)的第1階固有頻率也隨之增大，因篇幅所限僅給出齒圈厚度系數(shù)在［0.5，2.25］即厚度為［12mm，54mm］變化范圍，如圖6所示。表明齒圈的柔性越大，系統(tǒng)的固有頻率越高，但在一定厚度范圍后，固有頻率變化趨于平穩(wěn)，內(nèi)齒圈的柔性可作為行星齒輪分析的一個(gè)重要影響因素。

4.2 典型斷齒故障的工作模態(tài)仿真

由于行星齒輪系統(tǒng)部件故障狀態(tài)下的動態(tài)特性對其故障的監(jiān)測與診斷具有重要意義，在Hypermesh軟件中通過“delete-elems”命令直接對上述齒圈模態(tài)仿真基準(zhǔn)模型刪除一個(gè)齒的全部單元，模擬單條輪齒斷裂故障，進(jìn)行典型斷齒故障下的內(nèi)齒圈實(shí)際工作模態(tài)分析。

雖然在實(shí)際工作中存在各種約束，但對于齒圈的模態(tài)分析，相對于本身的結(jié)構(gòu)和剛度，約束的位置和大小對其固有頻率的影響較小[10]，因此在齒圈螺栓孔內(nèi)表面施加各個(gè)方向的自由度約束，無需施加力載荷等其他邊界條件。從有限元仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn)，單條輪齒斷齒故障情況下齒圈的工作模態(tài)頻率為11791Hz，該模態(tài)頻率下為扭轉(zhuǎn)振動，如圖7所示。

圖7 典型斷齒故障齒圈模型及工作模態(tài)Fig.7 Establishment and Working Mode of Ring Gear with Broken Tooth

5 結(jié)論

（1）通過有限元模態(tài)與試驗(yàn)?zāi)B(tài)的對比分析，識別了內(nèi)齒圈結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)，低階固有頻率的最大相對誤差僅為3.02%，對應(yīng)振型吻合較好，驗(yàn)證了所構(gòu)建的全六面體內(nèi)齒圈模態(tài)仿真模型的合理性和計(jì)算精度；（2）基于模態(tài)模型，以齒圈厚度表征系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)柔性，隨著厚度增加，結(jié)構(gòu)剛度增大，第1階彎曲振動頻率顯著增大，齒圈的結(jié)構(gòu)柔性對其振動特性有著至關(guān)重要的影響，同時(shí)獲得單條輪齒斷裂典型故障下的齒圈工作模態(tài)頻率及振型。