基于多目標拓撲優(yōu)化技術的齒輪結構優(yōu)化設計

戴護民

（廣東機電職業(yè)技術學院先進制造技術學院，廣東 廣州 510550）

1 引言

齒輪因具有穩(wěn)定的傳動比而在傳動裝置中為重要的傳動件之一，齒輪結構性能的好壞不僅影響其工作壽命，也影響了傳動裝置的性能。隨著工業(yè)制造的要求不斷提高，對工程師設計出性能良好且節(jié)省材料的傳動件也提出了較高的要求。目前，相關學者對齒輪結構優(yōu)化設計做了大量研究并取得了一定成果，如文獻[1]對齒輪齒條進行邏輯齒廓方程構建，運用Matlab得出最優(yōu)的齒廓參數。文獻[2]對斜齒輪減噪進行對角修形優(yōu)化設計，設計出了承載時重合度較高的斜齒輪且降噪顯著。

近年來，國內學者已將結構優(yōu)化技術引入到齒輪結構設計過程中，但對于齒輪結構的設計研究仍停在單目標的概念設計階段或尺寸參數化設計。然而，由于齒輪工作環(huán)境的復雜性，單目標優(yōu)化僅能改善某一方面的性能，不能改進其總體性能。近年來，雖多目標優(yōu)化設計在工程結構設計中有所應用，但在齒輪結構優(yōu)化中的應用幾乎沒有[3-5]。

為了所設計的齒輪既能滿足一定的力學特性又具有抑制外界激勵的能力，提出一種可行的現代優(yōu)化設計方法[6]改善齒輪結構的剛度和一階固有頻率，使其延長齒輪結構使用壽命。

引入了多目標理論和優(yōu)化設計技術[7-8]，對冷彎成型機的直齒輪結構進行多目標拓撲優(yōu)化設計，使直齒輪改善剛度和一階固有頻率，同時，還實現結構的輕量化設計。多目標拓撲優(yōu)化中，主要采用折衷規(guī)劃法構建關于柔度和一階固有頻率的SIMP多目標優(yōu)化模型。為了能科學性地獲得各子目標函數的加權因子，運用層次分析法求解各目標的加權因子。

2 齒輪有限元前處理及工況分析

以齒輪為研究對象，齒輪材料為45鋼，材料屬性和幾何設計參數，如表1所示。

表1 齒輪的材料屬性表Tab.1 Material and Property Parameter of Gear

齒輪孔與主軸通過鍵連接，對齒輪孔運用RBE2單元進行耦合并作為固定約束。齒輪的嚙合運動使接觸處受到集中載荷，依據冷彎成型生產線工作過程中測得該集中載荷使齒輪受到關于軸心的扭轉為200N.m?；贖yperMesh對齒輪進行尺寸為4mm的網格劃分，得到31680個六面體單元和2624個五面體單元，如圖1所示。

圖1 齒輪結構有限元模型及工況條件Fig.1 Finite Element Model of Gear and its Loadstep

3 單目標拓撲優(yōu)化模型構建

3.1 靜剛度拓撲優(yōu)化模型

為了所設計的齒輪結構具有足夠的剛度來克服嚙合傳動時的接觸應力，節(jié)省齒輪結構的使用材料。以單元材料密度值ρe為設計變量，以柔度最小化為優(yōu)化目標，以優(yōu)化前后體積比為約束條件構建齒輪的固體各向同性材料懲罰法（SMIP）優(yōu)化模型。SIMP法是將有限單元作為一種人工材料密度并引入懲罰因子與材料彈性模量構建成函數關系：

式中：E0—單元e的彈性模量；ρe—單元e的相對密度，0<ρmin≤ρe≤1且ρmin是空洞處的最小密度值，為了避免優(yōu)化求解中的奇異現象；E0—初始材料彈性模量；p—密度懲罰因子，常取p=3，中間密度材料的懲罰因子p的取值范圍如下式：

式中：μ0—給定材料的泊松比，常取值為0.3。

式（1）是單元密度與材料彈性模量間的顯性非線性關系，優(yōu)化過程中引入懲罰因子p對單元密度值進行“懲罰”，使優(yōu)化結果的中間密度單元能有效地實現0或1的二值化，得到較清晰邊界。鑒于此，采用SIMP法構建的齒輪結構靜態(tài)優(yōu)化模型：

式中：C—結構柔度值；U—外載荷作用下的位移；K—齒輪整體剛度；f—優(yōu)化前后體積比；V0—齒輪初始體積；ρi—第i個單元密度；ρmin—單元最小密度值，取ρmin=0.001。避免剛度矩陣發(fā)生奇異。KU=F—平衡方程，由齒輪受邊界約束和外載荷所得?！w積約束，—優(yōu)化后結構體積。C=UTKU—目標函數，由C=FTU并依據平衡方程所得。

3.2 靜剛度優(yōu)化結果

運用OptiStruct進行優(yōu)化求解，經過35步優(yōu)化迭代可得齒輪靜態(tài)拓撲優(yōu)化后的材料分布情況，如圖2所示。

圖2 直齒輪靜態(tài)拓撲優(yōu)化結果Fig.2 Static Topology Optimization Result of Gear

優(yōu)化迭代后，直齒輪柔度最大值和最小值，如表2所示。

表2 優(yōu)化前后齒輪柔度參數表Tab.2 Com pliance of Gear Before and After Optim ization

通過對齒輪的靜態(tài)柔度拓撲優(yōu)化可得，齒輪柔度值從2.595825mm/N明顯下降到1.748555mm/N，齒輪的整體質量從2.38kg下降到0.714kg，如表2所示。

3.3 模態(tài)拓撲優(yōu)化模型

模態(tài)拓撲優(yōu)化主要是將工程師所關心的結構低階固有頻率進行改進，因結構低階固有頻率易接近外界激勵而引起“共振”現象。以單元材料密度值ρe為設計變量，以一階固有頻率最大化為優(yōu)化目標，以優(yōu)化前后體積比為約束條件構建齒輪的模態(tài)優(yōu)化模型并基于OptiStruct進行優(yōu)化求解。然而，優(yōu)化過程中因單元材料的去除使空洞區(qū)域邊界的相鄰階次頻率出現震蕩病態(tài)現象，為了改進該問題，依據文獻[9]的平均特征值原理對優(yōu)化目標進行修正并得模態(tài)優(yōu)化模型：

式中：Λi—修正的第i階特征值；

λi—第i階特征值；

ωi—第i階對應的加權值；

s、λ0—給定的參數；

K—總剛度矩陣；

Dg—總自由度數，取i=1；

m—需要優(yōu)化的階次，取m=1。

3.4 模態(tài)優(yōu)化結果

運用OptiStruct進行優(yōu)化求解，經過39次迭代步得模態(tài)拓撲優(yōu)化后齒輪結構的材料分布形式，如圖3所示。

圖3 直齒輪模態(tài)拓撲優(yōu)化結果Fig.3 Modal Topology Optimization Result of Gear

通過優(yōu)化前后對齒輪的模態(tài)特性比較，其一階固有頻率和質量，如表3所示。

表3 優(yōu)化前后直齒輪一階固有頻率參數表Tab.3 First Order Natural Frequency of Gear Before and After Optim ization

通過對齒輪的模態(tài)一階固有頻率拓撲優(yōu)化可得，齒輪一階固有頻率從582.4443Hz明顯上升到857.2964Hz，齒輪的整體質量從2.38kg下降到1.14kg，如表3所示。

4 齒輪多目標拓撲優(yōu)化模型構建

4.1 多目標優(yōu)化模型

對直齒輪的多目標拓撲優(yōu)化主要依據前文的優(yōu)化目標和優(yōu)化結果參數等構建多目標優(yōu)化函數，并以多目標優(yōu)化函數最小化，以優(yōu)化前后的體積比為約束條件進行優(yōu)化求解，使多目標優(yōu)化的直齒輪不僅能改善其靜態(tài)剛度和模態(tài)一階固有頻率等特性，還實現齒輪結構的輕量化設計。采用折衷規(guī)劃法和平均頻率法構建的多目標優(yōu)化函數為：

運用數理學決策論中的層次分析法確定多目標函數中靜態(tài)柔度和模態(tài)一階固有頻率的加權因子，依據文獻[10]構建決策矩陣為：

式中：S11、S12—靜態(tài)柔度目標函數的相關元素；M11、M12—模態(tài)一階固有頻率目標函數的相關元素；依據文獻[10]可得主對角線元素。

因齒輪需一定的剛度來確定傳動的穩(wěn)定性且其相對動態(tài)特性更為主要，依據層次分析法[10]中對決策矩陣中目標函數的重要性程度進行參數化為：

基于matlab對決策矩陣R求解特征解可得：

運用文獻[10]中決策矩陣的一致性判別準則得到最大特征值對應的特征向量為：

依據特征向量w得到加權因子所占比為3：1，也符合式（8）的決策矩陣重要性參數的取值，最終可得靜、模態(tài)目標函數的加權因子為0.75、0.25。

4.2 基于Dequation多目標函數定義

基于OptiStruct的多目標優(yōu)化函數，在優(yōu)化過程中因其局限性而只能進行單目標函數優(yōu)化設計，尤其是在非凸優(yōu)化問題中不能得到全部的Pareto解。運用Optistruct中的dequation函數定義面板并依據第2.2節(jié)的柔度最大值和最小值，第2.4節(jié)的一階固有頻率最大值和最小值并結合式（5）進行編輯可得：

式中：f（x，y）—多目標函數；x、y—多目標優(yōu)化過程中的柔度和一階固有頻率。

5 多目標優(yōu)化結果

對直齒輪的多目標拓撲優(yōu)化以目標函數F（a，b）最小化，優(yōu)化前后體積比為約束條件進行優(yōu)化求解。通過35次得優(yōu)化迭代得到齒輪結構的多目標優(yōu)化結果、優(yōu)化后的應力分布、柔度值和一階模態(tài)振型，如圖4～圖5所示。

圖4 直齒輪多目標拓撲結果Fig.4 Multi-Objective Topology Optimization Result of Gear

圖5 直齒輪多目標優(yōu)化后一階模態(tài)振型Fig.5 First Order Modal Mode of Gear After Multi-Objective Optimization

優(yōu)化迭代后直齒輪多目標拓撲優(yōu)化后柔度值和一階固有頻率變化情況，如表4所示。

表4 多目標拓撲優(yōu)化前后性能參數Tab.4 Performance Parameters Before and After Multi-Objective Optim ization

通過對齒輪多目標拓撲優(yōu)化結果可得，齒輪柔度值從2.595825mm/N明顯下降到1.748555mm/N，模態(tài)一階固有頻率從582.44Hz明顯下降到785.40Hz，齒輪的整體質量從2.38kg下降到0.83kg，如表4所示。從圖7中的一階模態(tài)振型可以看出，齒輪受到繞Z軸扭轉的趨勢，表明實際工作過程中盡量避免給齒輪扭轉激勵，以免齒輪產生共振現象。

6 結論

對齒輪結構的優(yōu)化設計主要引入拓撲學和多目標理論，運用OptiStruct對直齒輪進行多目標拓撲優(yōu)化設計?；贠ptiStruct對齒輪的多目標優(yōu)化結果表明：齒輪柔度值得到明顯的下降，即優(yōu)化后齒輪提高了結果剛度，改善了結構力學性能；齒輪模態(tài)一階頻率地增大，大大地改善了結構的動態(tài)特性?；趯哟畏治龇ㄓ嬎愀髯幽繕撕瘮档臋嘀乇?，為多目標優(yōu)化目標的構建提供了理論依據。此外，還能為學者將更優(yōu)的數理統(tǒng)計理論應用到優(yōu)化技術中提供了一定的參考。