二重滾珠式動(dòng)力吸振器的參數(shù)設(shè)計(jì)

向重衛(wèi)，張小龍

（西安建筑科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，陜西 西安 710055）

1 引言

振動(dòng)在工程中隨處可見，大部分振動(dòng)是有害的，有害的振動(dòng)能加快機(jī)械設(shè)備的磨損，使其性能和工作精度降低。所以對(duì)于振動(dòng)控制的研究具有特別重要的意義。動(dòng)力吸振器應(yīng)用已經(jīng)歷一個(gè)多世紀(jì)，對(duì)其研究已有相對(duì)成熟的理論。由于動(dòng)力吸振器結(jié)構(gòu)簡單，便于制造，可靠性高，故而廣泛應(yīng)用于工程中[1]。

在吸振器研究方面，文獻(xiàn)[2]給出n級(jí)并聯(lián)和n級(jí)串聯(lián)式動(dòng)力吸振器優(yōu)化的通用模型，并且介紹了定點(diǎn)優(yōu)化和數(shù)值優(yōu)化兩種方法。文獻(xiàn)[3]利用達(dá)朗伯原理建立了附有動(dòng)力吸振器的兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行了最優(yōu)化設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[4]對(duì)雙滾子型動(dòng)力吸振器進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，得出了最優(yōu)振幅放大率曲線。文獻(xiàn)[5]提出了一種新型滾珠式多向動(dòng)力吸振器，并且進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化。文獻(xiàn)[6]研制一種雙自由度自調(diào)諧吸振器，可在豎直平動(dòng)和橫向擺動(dòng)兩個(gè)方向上調(diào)節(jié)自身的固有頻率，實(shí)現(xiàn)兩個(gè)方向的吸振。文獻(xiàn)[7]利用兩球同向旋轉(zhuǎn)時(shí)在接觸點(diǎn)處逆向運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生阻尼力，設(shè)計(jì)了一種兩球轉(zhuǎn)動(dòng)式吸振器。文獻(xiàn)[8]分別以等效懸臂梁模型和垂尾模型為例，參照所設(shè)計(jì)的電渦流耗能動(dòng)力吸振器的具體參數(shù)，通過有限元仿真分析驗(yàn)證了多重動(dòng)力吸振器在等效懸臂梁模型和垂尾模型中的吸振效果。文獻(xiàn)[9]針對(duì)既有研究對(duì)人體各部位進(jìn)行單獨(dú)分析時(shí)自由度較少的限制，提出了人體坐姿九自由度垂向振動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型，同時(shí)對(duì)模型進(jìn)行振動(dòng)響應(yīng)分析。文獻(xiàn)[10]構(gòu)建了雙級(jí)擺線鋼球減速器動(dòng)力學(xué)分析模型，對(duì)其彎曲與扭轉(zhuǎn)受迫振動(dòng)進(jìn)行了研究。

據(jù)此，理論設(shè)計(jì)了一種由簡單球體和球面組成的二重滾珠式吸振器，通過拉格朗日方程建立動(dòng)力學(xué)模型，運(yùn)用解析及數(shù)值計(jì)算對(duì)其進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

2 吸振器理論

2.1 吸振器動(dòng)力學(xué)模型及微分方程

模型，如圖1所示。振動(dòng)主體M用剛度為k的彈簧和阻尼系數(shù)為c的阻尼器與基礎(chǔ)相聯(lián)，兩個(gè)質(zhì)量和半徑為m1、m2和r1、r2的吸振球在半徑分別為R1、R2的圓弧面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。系統(tǒng)平衡時(shí)，吸振球處于圓弧面最底部，兩球相隔距離為a，彈簧無伸長，在系統(tǒng)上作用有一F cosωt的激勵(lì)。建立固定坐標(biāo)系O-XY，如圖1所示。以圖示為坐標(biāo)原點(diǎn)，取振動(dòng)主體的水平位移z及吸振球心繞球面中心O′1、O′2的角位移θ1、θ2為廣義坐標(biāo)。

圖1 吸振器動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 Dynamic Model of Vibration Absorber

設(shè)兩吸振球心在O-XY坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為（x1、y1）（x2，、y2），則有：

假設(shè)吸振球沿圓弧面軌道作無滑動(dòng)的純滾動(dòng)，并設(shè)吸振球從圓弧面最底部的平衡位置開始滾動(dòng)到圖1位置時(shí)滾動(dòng)角度為φ，如圖2所示。則有下述關(guān)系（兩個(gè)吸振球情況相似）：

系統(tǒng)的動(dòng)能T、勢能U和耗散函數(shù)V分別為：

當(dāng)系統(tǒng)作用有外部激勵(lì)F cosωt時(shí)，結(jié)合式（5）～式（7），根據(jù)拉格朗日方程，可列出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程如下：

假設(shè)吸振球在其平衡位置做微小振動(dòng)，θ1、θ2為微小量。即θ＝O（ε），取sinθ≈θ，cosθ≈1略去O（ε3）及其以上量級(jí)小量，則式（8）對(duì)應(yīng)的無量綱方程式為：

圖2 吸振球滾動(dòng)模型Fig.2 Vibration Absorption Ball Rolling Model

2.2 求解系統(tǒng)的振幅比

式（9）第一個(gè)方程右邊加上j sinλt*，等號(hào)右邊變?yōu)閑jλt*，實(shí)部為原方程解，假設(shè)解為：z*=Zejλt*，θ*1=Θ1ejλt*，θ*2=Θ2ejλt*

將假設(shè)解帶入，則（9）可化為：

解方程組（10）可得：

其中，D=A1A2-196ξ1η1ξ2η2λ2，E=ξ1η1A2+ξ2η2A1，g=CD-28ζλ2E-λ2μ1B1A2-λ2μ2B2A1，h=14λEC+2ζλD-14λ3μ1B1ξ2η2-14λ3μ2B2ξ1η1

建立以λ—橫坐標(biāo)，Z—縱坐標(biāo)的坐標(biāo)系，則Z隨ξ1、ξ2和μ1、μ2的變化規(guī)律，如圖3、圖4所示。

圖3 吸振球阻尼比對(duì)系統(tǒng)振幅的影響Fig.3 Effect of Damping Ratio of Vibration Absorbing Sphere on System Amplitude

圖4 吸振球質(zhì)量比對(duì)系統(tǒng)振幅的影響Fig.4 Effect of Mass Ratio of Vibration Absorption Ball on System Amplitude

從圖3可以看出，無論兩阻尼比如何變化，系統(tǒng)的振幅比曲線總是過三個(gè)定點(diǎn)，我們可以利用此特點(diǎn)來對(duì)吸振器進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)。從圖4可以看出，吸振器的質(zhì)量比越大，吸振效果越好，但是在系統(tǒng)工作中，由于受到現(xiàn)實(shí)條件的限制，吸振器不可能達(dá)到理論中的足夠大，我們會(huì)選擇一個(gè)合適的質(zhì)量比來進(jìn)行研究。

3 動(dòng)力吸振器的最優(yōu)參數(shù)設(shè)計(jì)

3.1 三定點(diǎn)定理

從圖3中可知，Z隨兩吸振球的阻尼比ξ1、ξ2的變化總是過三個(gè)定點(diǎn)，而這三個(gè)點(diǎn)的振幅比在已知條件確定的情況下是無法改變的，在吸振器質(zhì)量比選定合適的情況下，如果適當(dāng)調(diào)整其參數(shù)（吸振球的阻尼比ξ1、ξ2和固有頻率比η1、η2），使得這三個(gè)定點(diǎn)保證基本平齊，且在定點(diǎn)處均取得極大值（或接近極大值），則在系統(tǒng)工作狀態(tài)中的振幅比均不會(huì)超過三個(gè)定點(diǎn)，可以保證系統(tǒng)在工作中共振點(diǎn)附近的振動(dòng)穩(wěn)定性，有效降低強(qiáng)迫振動(dòng)的響應(yīng)，從而保證系統(tǒng)穩(wěn)定工作，我們可以利用這個(gè)特性來進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。三定點(diǎn)在圖中位置，如圖5所示。

圖5 系統(tǒng)振幅三定點(diǎn)Fig.5 Three Fixed Point of System Amplitude

3.1.1 三定點(diǎn)縱坐標(biāo)的確定

可以發(fā)現(xiàn)，圖5的三條曲線兩兩相交，并且每兩條曲線就會(huì)有兩個(gè)交點(diǎn)，一共形成6個(gè)交點(diǎn)，而我們所說的三個(gè)定點(diǎn)式圖線相交而成的最內(nèi)側(cè)的三個(gè)點(diǎn)。由于不同曲線的相交會(huì)形成不同的交點(diǎn)，并且同一曲線在其漸近線兩側(cè)與其他曲線形成的交點(diǎn)也不相同，下面我們將分情況來討論相交定點(diǎn)的形成。

（1）ξ1=0，ξ2=∞的情況

將C、D、E帶入Z中并消去無窮小可得：

其中，“+”代表圖線在漸近線左側(cè)，有交點(diǎn)T；“-”代表圖線在漸近線右側(cè)，有交點(diǎn)P，如圖6所示。

圖6 定點(diǎn)P的確定Fig.6 Determination of Fixed Point P

（2）ξ1=∞，ξ2=0的情況

將C、D、E帶入Z中并消去無窮小可得：

其中，“+”—圖線在漸近線左側(cè)，有交點(diǎn)Q；“-”—圖線在漸近線右側(cè)，有交點(diǎn)T，如圖7所示。

圖7 定點(diǎn)T的確定Fig.7 Determination of Fixed Point T

（3）ξ1=∞，ξ2=∞的情況

將C、D、E帶入Z中并消去無窮小可得：

其中，“+”—圖線在漸近線左側(cè)，有交點(diǎn)P；“-”—圖線在漸近線右側(cè)，有交點(diǎn)Q，如圖8所示。

3.1.2 三定點(diǎn)橫坐標(biāo)的確定

使定點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同列出等式計(jì)算化簡可以得出關(guān)于λ的表達(dá)式，此為定點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

即有：

將A1、B1、C代入式（15）并計(jì)算可得：

即有：

將A2、B2、C代入式（17）并計(jì)算可得：

將A1、B1、A2、B2、C代入式（19）可得：

圖8 定點(diǎn)Q的確定Fig.8 Determination of Fixed Point Q

3.2 最優(yōu)頻率比及最優(yōu)阻尼比

（1）P、Q等高條件

將P、Q代入Zξ1=∞，ξ2=∞有：即：

（2）P、T等高條件

將P、T代入

Zξ1=∞，ξ2=∞、Zξ1=0，ξ2=∞有：，即：

可以看到，式（19）、式（20）是關(guān)于μ1，μ2，η1，η2四個(gè)參數(shù)的方程，然后選擇可以測得的合適的參數(shù)（本例中μ1=0.05，μ2=0.05），應(yīng)用Matlab軟件中的fsolve函數(shù)求解可以得到最優(yōu)的頻率比為η1=1.1777η2=0.9815。在滿足最佳頻率比的基礎(chǔ)上，使三定點(diǎn)P、T、Q處取得極大值（或極大值附近），可以確定最優(yōu)阻尼。運(yùn)用軟件Matlab編程實(shí)現(xiàn)，確定最優(yōu)阻尼為ξ1=0.086、ξ2=0.102，參數(shù)優(yōu)化結(jié)果，如圖9所示?？梢詮膱D9看出，在系統(tǒng)的共振點(diǎn)附近有三個(gè)振幅峰值，而這三個(gè)峰值就是三個(gè)定點(diǎn)的位置，其他頻率比的振幅均處于峰值以下，峰值基本持平且控制在4.5左右，系統(tǒng)在共振點(diǎn)附近的振幅比始終處于4.5以下，說明參數(shù)優(yōu)化后可以有效控制系統(tǒng)共振點(diǎn)處的振幅。

圖9 參數(shù)優(yōu)化后的系統(tǒng)振幅Fig.9 System Amplitude After Parameter Optimization

4 結(jié)論

提出了一種結(jié)構(gòu)簡單的二重滾珠式動(dòng)力吸振器，通過解析和數(shù)值計(jì)算出了該結(jié)構(gòu)的最優(yōu)參數(shù)，通過凹槽內(nèi)滾珠的運(yùn)動(dòng)來吸收部分主系統(tǒng)的振動(dòng)能量，使吸振效果達(dá)到預(yù)期，有效降低強(qiáng)迫振動(dòng)的響應(yīng)。