爆炸作用下鋼框架單柱模型計算方法

楊濤春, 李國強, 陳素文

(1.濟南大學 土木建筑學院, 山東 濟南 250022； 2. 同濟大學 a. 土木工程學院, b. 土木工程防災(zāi)國家重點實驗室, 上海 200092)

鋼柱抗爆計算方法是對軸力及側(cè)向爆炸作用下的鋼柱進行動力響應(yīng)分析，求解柱中內(nèi)力隨時間的變化關(guān)系及柱子的變形曲線，從而得到鋼柱損傷破壞對框架的影響過程。

在爆炸作用下，有關(guān)梁的抗爆研究已比較成熟：在彈性階段，可直接根據(jù)高等動力學理論得到梁響應(yīng)的解析解；在塑性階段，可通過假定合理的梁變形機構(gòu)，引入塑性鉸，簡化得到梁的最大變形響應(yīng)值；在爆炸荷載下，針對鋼筋混凝土構(gòu)件的彎曲和剪切破壞，Krauthammer等[1-2]提出基于等效單自由度的簡化分析模型，從而將梁的最大響應(yīng)值求解方法進一步簡化。

與梁的響應(yīng)形式不同，在爆炸荷載作用下，鋼柱中存在較大軸力，可引起沿柱子軸向伸縮變形，同時，柱的軸力和側(cè)移也會導(dǎo)致二階效應(yīng)，使柱子產(chǎn)生更大變形。對于梁柱構(gòu)件的大變形理論，在側(cè)向荷載作用下，主要應(yīng)用在懸臂梁、薄梁體系的彈、塑性分析中，當同時考慮側(cè)向及軸向荷載作用時，該理論在鋼柱的穩(wěn)定、抗火和抗爆理論研究中應(yīng)用較多。

在爆炸荷載下，鋼柱將呈現(xiàn)大變形特征，同時材料塑性變形、應(yīng)變率和強化效應(yīng)等使得鋼柱響應(yīng)呈現(xiàn)較強的幾何非線性和材料非線性特性，因此，可通過數(shù)值方法對柱子進行分析求解。梁柱的數(shù)值分析方法有2種，一是采用單元節(jié)點的軸向變形和撓度變形作為未知量，二是采用單元變形后的弧線長度和截面轉(zhuǎn)角作為未知量[3-5]，其共同點都是將梁柱長度及截面劃分成若干單元來進行分析。在求解平衡控制方程時，主要采用解析法和數(shù)值法[5]。解析法通常是利用橢圓積分求得控制方程的閉合解，數(shù)值法有打靶法、數(shù)值積分法等。當同時考慮幾何非線性和材料非線性時，結(jié)構(gòu)控制方程將非常復(fù)雜，可用有限元法求解。

本文中以鋼柱變形后單元的弧線長度和截面轉(zhuǎn)角為未知量，給出鋼柱在爆炸作用下動力響應(yīng)的差分計算方法，考慮了大撓度和軸向變形對梁柱截面曲率的影響。Zupan等[6]利用類似方法進行了常溫下的梁柱分析，Vratanar等[7]進一步驗證該方法可以用于火災(zāi)下的結(jié)構(gòu)分析，王培軍[8]用此方法求得了柱子在火災(zāi)作用下的軸力-溫度關(guān)系曲線。在推導(dǎo)爆炸作用下柱子動力平衡方程時，以柱的軸向及側(cè)向變形為未知量，此未知量與變形后單元的弧線長度和截面轉(zhuǎn)角等價，僅為方程表達方便。在數(shù)值求解梁柱方程時運用中心差分法，并在爆炸荷載作用下結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)問題上得到了廣泛應(yīng)用[9-10]，如Krauthammer等[1-2]以Timoshenko梁理論為基礎(chǔ)，應(yīng)用有限差分法分析了鋼筋混凝土梁的動力響應(yīng)和破壞形式。宋春明等[11-12]也用有限差分法對具有柔性動邊界的梁進行了彈、塑性動力響應(yīng)分析，運用相同方法研究了柔性動邊界拱的動力響應(yīng)。本文中提出的差分計算方法介于精確有限元法與簡化設(shè)計方法之間，可以作為有限元法的補充。

1 爆炸荷載下鋼框架柱的計算模型

1.1 單柱模型

在爆炸荷載下，需要通過對整體鋼框架分析來求解受爆鋼柱的動力響應(yīng)。此操作過程復(fù)雜，且耗時長，因此，可將單柱與整體框架分解，在考慮框架對受爆柱端約束的前提下，簡化受爆鋼柱的抗爆分析。根據(jù)文獻[13]，在求解單柱的柱端約束時，對于柱端橫向和轉(zhuǎn)動約束，僅考慮與柱端直接相連的相關(guān)梁柱構(gòu)件，且這些構(gòu)件的遠端簡化為固端連接，同時計入樓層分布質(zhì)量的影響，柱端豎向約束根據(jù)樓層各梁柱構(gòu)件的串、并聯(lián)關(guān)系得到，單柱簡化過程及其抗爆模型如圖1所示。以下將運用差分法求解爆炸作用下鋼柱的響應(yīng)。

q—均布荷載。(a)整體鋼框架示意圖

p—爆炸荷載； K1—軸向剛度； m1—軸向質(zhì)量； K2—橫向剛度； m2—橫向質(zhì)量； K—轉(zhuǎn)動剛度；J—轉(zhuǎn)動慣量； N′—鋼柱外軸力； L—柱長； n—柱單元數(shù)。(b)受爆鋼柱簡化模型圖1 鋼框架中受爆單柱計算模型

1.2 運動方程

在圖1(b)所示的鋼柱的計算模型中，柱子受任意分布的爆炸荷載p作用，橫截面沿軸線不變，柱上端柔性嵌固，其軸向剛度為K1，軸向質(zhì)量為m1； 橫向剛度為K2，橫向質(zhì)量為m2； 轉(zhuǎn)動剛度為K； 轉(zhuǎn)動慣量為J； 柱子底端與地面剛接，柱長為L； 鋼柱單元數(shù)為n。

鋼柱的微元體受力狀態(tài)如圖2所示。u、w分別為微元體在x、z軸方向上的位移；M、N、Q分別為截面彎矩、軸力和剪力；θ為撓曲線上一點切線與x軸的夾角；s為變形后的撓曲線弧長。計算中采用內(nèi)力符號如下：軸力壓應(yīng)力為正，拉應(yīng)力為負；剪力以使微元體順時針方向轉(zhuǎn)動為正，逆時針轉(zhuǎn)動為負；彎矩以使柱子荷載作用側(cè)受壓為正，受拉為負；轉(zhuǎn)角以柱子軸線順時針轉(zhuǎn)動為正，逆時針轉(zhuǎn)動為負。

p—爆炸荷載； u、w—微元體在x、z軸方向上的位移；M、N、Q—截面彎矩、軸力和剪力； θ—撓曲線上一點切線與x軸的夾角； s—變形后的撓曲線弧長； t為時間。圖2 鋼柱微元體受力圖

在推導(dǎo)柱子動力平衡方程時，應(yīng)考慮以下假設(shè)：1)柱子橫截面垂直于中性軸，并保持平截面。2)忽略柱子剪切、轉(zhuǎn)動慣量影響。上述2種假定主要以梁的Bernoulli-Euler初等理論為基礎(chǔ)建立，因此構(gòu)件橫截面保持為平面，并忽略構(gòu)件剪切、轉(zhuǎn)動慣量影響。3)忽略柱中波動作用過程。由于爆炸荷載施加在柱的側(cè)向，波在柱截面高度內(nèi)的傳播時間遠遠小于鋼柱的動力響應(yīng)時間，因此，求解鋼柱的動力響應(yīng)時可忽略波的傳播過程。

在以上假定的基礎(chǔ)上，通過微元體的內(nèi)力平衡關(guān)系，得到構(gòu)件運動方程，為了方便表達，將構(gòu)件運動分解成ox、oz軸上形式，可得鋼柱的運動方程如下：

(1)

移項整理得

(2)

采用中心差分法求解構(gòu)件的上述運動方程時，需將式(2)表達成差分形式，如將柱子沿長度方向平均分成n段，柱子共有n+1個截面，第k柱段(截面號為k-1、k)變形后長度為Δsk。對于內(nèi)部微段，通過中心差分法，式(2)的微分方程轉(zhuǎn)換為離散形式的運動控制方程為

(3)

式中截面位置k的取值為1,2,…,n-1。

1.3 幾何方程

根據(jù)平截面假定，柱子橫截面上任意一點的應(yīng)變ε為

(4)

式中：ε0為壓應(yīng)變；s0為柱單元初始長度；φ為曲率；y為點到截面中性軸的距離。

變形后柱段長度為

(5)

與對柱子長度離散相同，對式(4)的幾何方程進行空間差分離散，可得如下方程。

(6)

(7)

(8)

(9)

沿截面高度分為r層，用j表示層號，離散后構(gòu)件截面上任意一點的應(yīng)變?yōu)?/p>

εk j=ε0(k)+φkyj,k=0,1,2,…,n，

(10)

式中yj為截面第j層到中性軸的距離。

彎矩M和軸力N的離散表達形式為

(11)

式中：σk j為k截面上第j層單元的應(yīng)力；Aj為截面第j層單元的總面積。

1.4 邊界條件

圖3為柱柔性嵌固的支座受力圖。其中N′為鋼柱外軸力，N0、Q0分別為鋼柱x=0截面上的軸力、剪力。

K1—軸向剛度； m1—軸向質(zhì)量； K2—橫向剛度；m2—橫向質(zhì)量； K—轉(zhuǎn)動剛度； J—轉(zhuǎn)動慣量；N′—鋼柱外軸力； θ—撓曲線上一點切線與x軸的夾角；N0、Q0—鋼柱x=0截面上的軸力、剪力。圖3 鋼柱邊界支座受力圖

根據(jù)平衡條件得到運動方程邊界條件如下。

對于柔性嵌固端，有

(12)

對于固支端，有

(13)

2 鋼柱抗爆模型的求解方法

2.1 離散方法

鋼柱在變形過程中，響應(yīng)結(jié)果可通過空間坐標與時間變量來表達。為了求解運動方程，得到鋼柱的響應(yīng)過程，需要對運動方程中變量進行離散處理。在空間軸上，將柱子沿長度方向平均分n個單元，如圖4所示，在時間軸上的離散形式采用中心差分法。

n—柱單元數(shù)。圖4 鋼柱長度方向的離散圖

(14)

式中：v為位移變量；i為不同的時間點。

將柱子的軸向、側(cè)向位移變量u、w代入式(14)，并變換后可得柱子長度方向離散點k點的下一時刻位移方程為

(15)

2.2 求解算法

在時間軸上采用中心差分法求解鋼柱的運動方程時，由式(15)并根據(jù)初始條件可求得鋼柱內(nèi)部各點的下一時刻位移，然后根據(jù)幾何方程、運動方程和材料模型可求得此時鋼柱各單元的加速度，再由式(15)求得下一時刻位移，重復(fù)依次計算，就可求得鋼柱的全過程動力響應(yīng)。

在柔性嵌固端的邊界條件處理上，對該處微段的運動式(3)采用一階差分形式，有

(16)

由方程(12)、(16)可得

(17)

對于柔性嵌固端邊界節(jié)點的位移，由中心差分法并利用式(17)求得下一時刻的位移為

(18)

同理，柔性嵌固端邊界節(jié)點轉(zhuǎn)角θ0的位移遞推公式為

(19)

為了滿足邊界條件，必須使由式(6)、(19)得出的柔性嵌固端邊界節(jié)點轉(zhuǎn)角θ0相等。

2.3 計算步驟

鋼柱運動方程的數(shù)值計算流程如圖5所示。

u、w—為微元體在x、z軸方向上的位移； Δs—柱段變形后長度； θ—撓曲線上一點切線與x軸的夾角； φ—曲率；ε—應(yīng)變； M、N、Q—截面彎矩、軸力和剪力； ü其中t為時間；鋼柱長度方向離散點；i—時間點。圖5 鋼柱運動方程數(shù)值計算流程圖

在數(shù)值求解過程中，為了保證計算收斂，同時保證結(jié)果具有足夠的精度，計算過程中的時間步長Δt應(yīng)滿足條件

(20)

3 驗證

以下通過對爆炸作用下鋼柱的響應(yīng)進行對比分析，驗證數(shù)值結(jié)果的可靠性。設(shè)計模型鋼框架的層高為3 m，跨度為4.5 m，梁柱為工字型鋼，如圖6所示。受爆鋼柱的端部集中力F通過均布荷載q計算得到；爆炸荷載為簡化的下降三角形荷載，并均布作用于柱一側(cè)翼緣，各梁柱尺寸和荷載工況見表1。對于獨立鋼柱，其柱底端固支，柱上端部約束條件可參考文獻[13]中的計算結(jié)果。在LS-DYNA程序中，采用梁單元模擬鋼柱，鋼材考慮應(yīng)變率效應(yīng)，在差分法計算時，將鋼材屈服應(yīng)力乘以動力放大系數(shù)1.2，近似考慮其應(yīng)變率效應(yīng)。

圖6 整體框架模型

表1 爆炸荷載工況

3.1 與單根鋼柱的對比

在工況1的條件下，計算不考慮鋼柱的豎向力F的作用，在此條件下鋼柱動力響應(yīng)的計算結(jié)果如圖7所示。由圖可以看出，本文中提出的差分計算法的計算結(jié)果與采用LS-DYNA程序的有限元計算結(jié)果相近，差分計算法可以較好地計算爆炸荷載下鋼柱的最大響應(yīng)。

3.2 與整體框架的對比

(a)柱端橫向位移(b)柱中橫向位移圖7 工況1條件下的鋼柱動力響應(yīng)計算結(jié)果(無軸力)

在工況2的條件下，以圖6的整體框架和本文中提出的差分計算方法求得的柱子響應(yīng)對比結(jié)果如圖8所示。由圖可知，用有限差分計算方法求解的鋼柱響應(yīng)與鋼柱在整體框架中的響應(yīng)基本吻合，但動力響應(yīng)的時間有一定差別，如果只關(guān)注爆炸荷載下鋼柱動力響應(yīng)的最大值，而忽略其響應(yīng)過程，則差分計算方法可較好地計算鋼柱響應(yīng)的最大值。

(a)柱端橫向位移

(b)柱端豎向位移

(c)柱中橫向位移圖8 工況2條件下的鋼柱動力響應(yīng)計算結(jié)果(有軸力)

4 結(jié)論

1)本文中以鋼柱變形后單元的弧線長度和截面轉(zhuǎn)角為未知量，給出了鋼柱在爆炸荷載下求解鋼柱動力響應(yīng)的差分計算方法。

2)采用中心差分法可對鋼柱動力方程進行求解，同時考慮大撓度和軸向變形對梁柱截面曲率的影響，可以較好地計算鋼柱的抗爆響應(yīng)。