高超聲速流動(dòng)穩(wěn)定性及轉(zhuǎn)捩工程應(yīng)用若干研究進(jìn)展

黃章峰, 萬(wàn)兵兵, 段茂昌

(1. 天津大學(xué) 力學(xué)系, 天津 300072; 2. 中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心 空氣動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 綿陽(yáng) 621000)

0 引 言

層流和湍流是自然界中廣泛存在的兩種不同的流態(tài)，層流過(guò)渡到湍流的過(guò)程稱為轉(zhuǎn)捩。由于湍流的摩擦系數(shù)和傳熱系數(shù)遠(yuǎn)大于層流，邊界層是否轉(zhuǎn)捩和在何處轉(zhuǎn)捩直接影響飛行器的摩擦阻力、熱防護(hù)及流動(dòng)分離位置等，直接關(guān)系到飛行器的設(shè)計(jì)及其性能、安全、控制和精度等問(wèn)題。因此轉(zhuǎn)捩及湍流的研究一直是空氣動(dòng)力學(xué)關(guān)注的熱點(diǎn)之一。航空航天技術(shù)關(guān)系到國(guó)家的經(jīng)濟(jì)及安全，近年來(lái)航空航天技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展對(duì)高超聲速邊界層的轉(zhuǎn)捩和湍流研究提出了迫切的要求[2-3]。

邊界層轉(zhuǎn)捩的途徑有很多，F(xiàn)edorov[4]給出了邊界層可能存在的5種轉(zhuǎn)捩途徑。對(duì)于在高空飛行的飛行器，其邊界層轉(zhuǎn)捩應(yīng)是由小擾動(dòng)引發(fā)的，屬于所謂的自然轉(zhuǎn)捩。

邊界層的自然轉(zhuǎn)捩的科學(xué)問(wèn)題主要有三個(gè)[5]：一是來(lái)流中的擾動(dòng)轉(zhuǎn)化為邊界層中擾動(dòng)的過(guò)程，即感受性問(wèn)題；二是邊界層中擾動(dòng)的演化過(guò)程，即流動(dòng)穩(wěn)定性問(wèn)題；三是邊界層中擾動(dòng)演化到某一位置開(kāi)始轉(zhuǎn)捩的過(guò)程，即轉(zhuǎn)捩機(jī)理。

經(jīng)過(guò)上百年的努力，在上述三個(gè)科學(xué)問(wèn)題的理論研究方面均取得了重大進(jìn)展[6-8]，尤其是對(duì)不可壓縮流動(dòng)。近15年來(lái)，隨著高超聲速技術(shù)的快速發(fā)展，邊界層轉(zhuǎn)捩也得到了更加廣泛和深入的研究，人們對(duì)流向行波失穩(wěn)(如第一模態(tài)、第二模態(tài))、橫流失穩(wěn)、G?rtler渦失穩(wěn)等失穩(wěn)機(jī)理取得了較深刻認(rèn)識(shí)[9]，對(duì)邊界層層流突變?yōu)橥牧鞯霓D(zhuǎn)捩機(jī)理有了充分的認(rèn)識(shí)[10]，在高超聲速邊界層轉(zhuǎn)捩風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)方面也取得了重要進(jìn)展[11-12]，而且國(guó)內(nèi)也開(kāi)始著手高超聲速邊界層轉(zhuǎn)捩的飛行試驗(yàn)研究[13-15]。

對(duì)邊界層自然轉(zhuǎn)捩機(jī)理的研究是為了更好地進(jìn)行轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)。邊界層轉(zhuǎn)捩精確預(yù)測(cè)是學(xué)科研究的目標(biāo)，也是工程的需要，從而為精確計(jì)算氣動(dòng)力和氣動(dòng)熱提供依據(jù)[16]。目前主要的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)方法有三類(lèi)：轉(zhuǎn)捩準(zhǔn)則[17]、湍流轉(zhuǎn)捩模式[18-19]和eN方法[20-22]，其中eN方法的理論基礎(chǔ)是線性穩(wěn)定性理論(簡(jiǎn)稱LST)[23]，該方法盡可能多地利用了邊界層中擾動(dòng)演化的理論預(yù)測(cè)，被認(rèn)為是基于科學(xué)問(wèn)題研究的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)方法。

eN方法起源于航空界，主要解決二維性強(qiáng)、外形簡(jiǎn)單的機(jī)翼在亞聲速巡航狀態(tài)的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)問(wèn)題，在航空界取到了很好的效果，被波音公司的資深工程師Cebeci認(rèn)為是最有效的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)方法。

雖然高超聲速邊界層穩(wěn)定性和轉(zhuǎn)捩在理論基礎(chǔ)研究方面取得了很大的進(jìn)展，但在工程應(yīng)用方面還存在明顯的不足，主要體現(xiàn)在三個(gè)方面：(1) 流動(dòng)穩(wěn)定性研究模型簡(jiǎn)單。流動(dòng)穩(wěn)定性的理論基礎(chǔ)研究主要以平板、零迎角錐、小迎角錐等簡(jiǎn)單外形為研究對(duì)象，而工程應(yīng)用的實(shí)際飛行器具有迎角大、外形復(fù)雜、三維性強(qiáng)等特點(diǎn)，流動(dòng)穩(wěn)定性在非平行流、三維流動(dòng)中的應(yīng)用能力有待提高；(2) 沒(méi)有考慮感受性問(wèn)題。eN方法忽略了來(lái)流擾動(dòng)激發(fā)邊界層內(nèi)不穩(wěn)定波的過(guò)程，僅從中性曲線的起始位置開(kāi)始積分，采用幅值放大因子N值來(lái)判斷轉(zhuǎn)捩位置。飛機(jī)在亞聲速巡航狀態(tài)的飛行環(huán)境單一，可以采用給定的轉(zhuǎn)捩判據(jù)NT來(lái)判斷轉(zhuǎn)捩位置；但高超聲速飛行器的飛行環(huán)境復(fù)雜，轉(zhuǎn)捩判據(jù)嚴(yán)重依賴于實(shí)際飛行情況。(3) 軟件不能滿足工程應(yīng)用部門(mén)的需求[24]?，F(xiàn)有軟件通用性較差，效率、自動(dòng)化、智能化較低，對(duì)操作人員的專業(yè)水平要求高。

本文將回顧近年來(lái)在高超聲速流動(dòng)穩(wěn)定性及轉(zhuǎn)捩工程應(yīng)用研究的若干進(jìn)展，介紹流動(dòng)穩(wěn)定性在復(fù)雜外形流、非平行流、局部突變流、強(qiáng)三維流方面的工程化拓展研究；總結(jié)eN方法在感受性、積分方法、轉(zhuǎn)捩判據(jù)、軟件開(kāi)發(fā)方面的工程化拓展研究進(jìn)展；分析零迎角錐風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)、橢圓錐風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)、小迎角錐彈道靶試驗(yàn)和大迎角錐飛行試驗(yàn)的典型案例。

1 流動(dòng)穩(wěn)定性方法工程化拓展研究

1.1 線性穩(wěn)定性理論(LST)簡(jiǎn)介

流動(dòng)穩(wěn)定性分析主要包括三步。第一步，通過(guò)各種理論或數(shù)值模擬方法得到流場(chǎng)的層流基本流，并做局部平行流假設(shè)。以直角坐標(biāo)系(x,y,z)為例，忽略法向y方向的速度，忽略基本流沿流向x方向和展向z方向的導(dǎo)數(shù)。

第二步，將擾動(dòng)波設(shè)成行進(jìn)波解的形式：

φ′(x,y,z,t)=φ(y)exp[iθ(x,z,t)]

(1)

其中φ為特征函數(shù)，形函數(shù)θ(x,z,t)可定義得到擾動(dòng)波的波參數(shù)包括頻率ω、流向波數(shù)α和展向波數(shù)β：

(2)

第三步，對(duì)擾動(dòng)控制方程進(jìn)行線化，并將公式(1)代入后就可得到波參數(shù)的控制方程：

(3)

1.2 復(fù)雜外形流拓展

實(shí)際飛行器的外形比較復(fù)雜，無(wú)法直接在直角坐標(biāo)系進(jìn)行穩(wěn)定性分析，需要將層流基本流投影到正交曲線坐標(biāo)系(q1,q2,q3)下，并做局部平行流假設(shè)。其中q1為當(dāng)?shù)貏?shì)流方向，q2為壁面法向方向，q3為壁面上與q1垂直的方向。

類(lèi)似于直角坐標(biāo)系下，將擾動(dòng)設(shè)成行進(jìn)波的形式，將公式(1～3)中的(x,y,z)用(q1,q2,q3)代替，可得到與直角坐標(biāo)系類(lèi)似的特征值問(wèn)題，只不過(guò)f還是流向曲率、展向曲率及其導(dǎo)數(shù)的函數(shù)。相對(duì)于直角坐標(biāo)系，正交曲線坐標(biāo)系的方程更加復(fù)雜，采用矢量形式可以大大簡(jiǎn)化工作量。

1.3 非平行流拓展：EEVn

對(duì)于平板邊界層，邊界層的厚度與雷諾數(shù)的負(fù)二分之一次方成比例，因此當(dāng)雷諾數(shù)比較大時(shí)，流動(dòng)的非平行性很弱，可以進(jìn)行局部平行流假設(shè)。然而非平行性對(duì)可壓縮流動(dòng)、三維擾動(dòng)、橫流影響較大[25]，在工程中需要考慮。拋物化穩(wěn)定性方程(簡(jiǎn)稱PSE)[26]是當(dāng)前常用的考慮非平行性的數(shù)值方法，在不可壓縮流中得到了很好的應(yīng)用。但PSE是拋物型的，需要推進(jìn)求解，工程應(yīng)用不方便[27]。

黃章峰等[28]提出了一種考慮基本流非平行性的擴(kuò)展特征值方法(簡(jiǎn)稱EEVn)：

(1) 不再對(duì)層流基本流做平行流假設(shè)，即保留法向速度和基本流沿x的各階導(dǎo)數(shù)；

(2) 行進(jìn)波解形式中特征函數(shù)φ(x,y)和流向波數(shù)α均是x的函數(shù)，即

(4)

(3) 保留線化控制方程中x的各階導(dǎo)數(shù)，然后將各個(gè)物理量沿流向做泰勒展開(kāi)，并將前n階項(xiàng)組合成一個(gè)新的波參數(shù)控制方程。以n=1為例：

(5)

(4) 通過(guò)解特征值問(wèn)題可求得流向波數(shù)和特征函數(shù)，在此基礎(chǔ)上對(duì)當(dāng)?shù)夭〝?shù)進(jìn)行修正：

(6)

EEVn可以考慮階數(shù)為n的高精度情況，而且仍是一個(gè)特征值問(wèn)題，可以替代LST，實(shí)現(xiàn)增長(zhǎng)率的精確求解。當(dāng)n=1為階數(shù)最小的常用方法，稱為拋物化穩(wěn)定性方程的展開(kāi)解(簡(jiǎn)稱EPSE)[29]。

圖1給出了LST、直接數(shù)值模擬(DNS)、實(shí)驗(yàn)和EEVn得到的三維擾動(dòng)增長(zhǎng)率，可以看出LST與EEVn和DNS的結(jié)果差別很大，EEV1與DNS的結(jié)果很接近，而EEV2的結(jié)果與DNS完全重合，且與實(shí)驗(yàn)符合的很好，說(shuō)明EEVn很好地捕捉了基本流非平行性對(duì)穩(wěn)定性的影響。

1.4 局部突變流拓展：LSA

實(shí)際工況中，飛行器上不可避免地存在鉚釘、螺釘、焊點(diǎn)等表面局部凸起或凹陷，部件之間存在接縫、折角，或是為流動(dòng)控制而人為設(shè)計(jì)的局部的粗糙元、冷卻、吹吸、多孔壁、波紋壁等，這些都將引起流場(chǎng)的局部突變，基于緩變流場(chǎng)假設(shè)的穩(wěn)定性分析方法不再適用，給轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)帶來(lái)困難。

(a) 三維擾動(dòng)DNS驗(yàn)證

(b) 三維擾動(dòng)Kachanov實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證圖1 EEVn計(jì)算非平行流的結(jié)果[28]Fig.1 Results of non-parallel flow obtained by EEVn[28]

考慮突變是局部的，擾動(dòng)與突變作用后將產(chǎn)生散射波[30]。黃章峰等[31]提出了局部散射法(簡(jiǎn)稱LSA)來(lái)定量考慮局部突變對(duì)穩(wěn)定性的影響。如圖2所示，在局部突變附近，基本流沿流向變化劇烈，擾動(dòng)不再滿足行進(jìn)波的形式，但遠(yuǎn)離突變的上游和下游擾動(dòng)的演化仍滿足線性穩(wěn)定性理論。如果忽略局部突變的存在，從上游向下、從下游向上對(duì)增長(zhǎng)率積分可以在突變中心得到兩個(gè)擾動(dòng)幅值，這兩個(gè)幅值之比恰好反映了局部突變對(duì)穩(wěn)定性的影響。

圖2 局部散射法示意圖[31]Fig.2 Schematic diagram of local scattering approach (LSA) [31]

以二維流場(chǎng)為例，LSA的基本思路是：

(1)將擾動(dòng)寫(xiě)成一般形式：

φ′(x,y,t)=φ(x,y)exp(-iωt)

(7)

(2) 在入口引入擾動(dòng)φ′=A0φ(x0,y)exp(iα0x)，在出口引入邊界條件φ′=Anφ(xn,y)exp(iαnx)，定義傳遞系數(shù)Tr=ATc/AIc～An/A0。

(3) 代入線化擾動(dòng)控制方程，得到以傳遞系數(shù)Tr為特征值的控制方程：

(8)

其中α0和αn是忽略局部突變時(shí)光滑流場(chǎng)在入口和出口給定頻率的流向波數(shù)。

圖3給出了LSA與LST、DNS、實(shí)驗(yàn)的對(duì)比結(jié)果，可以看出LSA的結(jié)果與DNS和實(shí)驗(yàn)的定量一致，而LST的結(jié)果偏差很大，說(shuō)明LSA很好地刻畫(huà)了流場(chǎng)局部突變對(duì)穩(wěn)定性的影響。

如果采用LSA事先對(duì)典型局部突變進(jìn)行參數(shù)化研究，得到各種參數(shù)下的傳遞系數(shù)，那么就可以采用光滑流場(chǎng)預(yù)測(cè)加局部修正的辦法，僅需對(duì)局部突變的轉(zhuǎn)捩判據(jù)進(jìn)行修正：

(9)

其中NT為光滑流場(chǎng)的轉(zhuǎn)捩判據(jù)，Trk為第k個(gè)局部突變的傳遞系數(shù)，NTc為修正后的局部突變流的轉(zhuǎn)捩判據(jù)，從而將轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)方法推廣到局部突變流。

1.5 強(qiáng)三維流拓展：RTPSE

對(duì)于二維平板或者軸對(duì)稱邊界層，LST和PSE已經(jīng)可以較為準(zhǔn)確地描述不穩(wěn)定波的演化特性。實(shí)際流動(dòng)一般是三維流動(dòng)，給轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)帶來(lái)很多困難。

三維邊界層中有流向和展向兩個(gè)波數(shù)，而且在擾動(dòng)演化過(guò)程中均變化。LST只提供一個(gè)求解波數(shù)的關(guān)系，如何補(bǔ)充另一個(gè)波數(shù)的關(guān)系式是三維邊界層中轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)的關(guān)鍵問(wèn)題。Cebeci等[32]利用鞍點(diǎn)法給出了補(bǔ)充的關(guān)系式，但需要迭代求解，工作量大。針對(duì)三維性較弱的邊界層，Malik等[33]建議取勢(shì)流方向的橫向波數(shù)為實(shí)數(shù)，并沿著勢(shì)流方向進(jìn)行積分，該方法的計(jì)算量和誤差均很小，對(duì)工程計(jì)算來(lái)說(shuō)是一個(gè)很好的近似。

宋潤(rùn)杰等[34]結(jié)合射線理論(RT)和PSE提出了一種三維邊界層擾動(dòng)演化預(yù)測(cè)的新方法，即RTPSE，其基本思路是：

(1)采用LST確定擾動(dòng)傳播路徑：

tanθ=-?αr/?βr

(10)

(2) 采用RT確定展向波數(shù)：

?βr/?l=-(?Ω/?z)r/Ug

(11)

其中Ω為色散關(guān)系式，l(θ)為當(dāng)?shù)厝核俣确较颍琔g為當(dāng)?shù)厝核俣却笮　?/p>

(3) 對(duì)PSE進(jìn)行改進(jìn)，其中推進(jìn)路徑不再是直線，由LST確定群速度方向；展向波數(shù)不再是常數(shù)，由RT確定展向波數(shù)修正。

圖4給出了不同方法預(yù)測(cè)擾動(dòng)在HIFiRE-1模型(Ma=7.07，單位雷諾數(shù)9.5×106/m，迎角9°)傳播的結(jié)果，可以看出DNS計(jì)算得到的擾動(dòng)傳播路徑(圓心)與其中一條射線符合得很好；傳統(tǒng)PSE的周向波數(shù)為常數(shù)，DNS預(yù)測(cè)的周向波數(shù)沿流向變化；DNS預(yù)測(cè)的擾動(dòng)幅值放大因子與傳統(tǒng)PSE預(yù)測(cè)結(jié)果在10個(gè)流向波長(zhǎng)范圍內(nèi)相差接近1；無(wú)論是周向波數(shù)還是幅值放大因子，RTPSE與DNS的結(jié)果均完全重合，說(shuō)明RTPSE可以精確預(yù)測(cè)三維邊界層的擾動(dòng)演化，具有很大的工程應(yīng)用潛力。

(a) 擾動(dòng)傳播路徑(圓心)和射線(虛線)

(b) 周向波數(shù)

(c) 幅值放大因子圖4 RTPSE預(yù)測(cè)擾動(dòng)在9°迎角錐上傳播的結(jié)果[34]Fig.4 Prediction of disturbance propagation on a cone with 9° attack of angle by RTPSE [34]

2 轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)方法工程化拓展研究

2.1 轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)eN方法簡(jiǎn)介

eN方法是常用的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)方法，其基本概念是：若在邊界層內(nèi)存在各種頻率的小擾動(dòng)，這些擾動(dòng)在向下游傳播過(guò)程中，當(dāng)進(jìn)入各個(gè)擾動(dòng)相應(yīng)的不穩(wěn)定區(qū)域時(shí)，擾動(dòng)的幅值會(huì)被逐步放大。將各個(gè)頻率的擾動(dòng)從其幅值開(kāi)始放大的位置開(kāi)始，沿傳播路徑積分增長(zhǎng)率得到幅值的放大倍數(shù)eN，取對(duì)數(shù)后為N值。在所有擾動(dòng)中，若有某一擾動(dòng)的N值最先達(dá)到預(yù)設(shè)值NT時(shí)，則可判定轉(zhuǎn)捩發(fā)生。

eN方法主要分為4步：

(1) 對(duì)基本流進(jìn)行穩(wěn)定性分析，計(jì)算得到增長(zhǎng)率σ(β,ω,x)；

(2) 對(duì)增長(zhǎng)率做積分，計(jì)算的N值：

(12)

其中x0為擾動(dòng)開(kāi)始增長(zhǎng)的位置；

(3) 求N值包絡(luò)：

(13)

(4) 根據(jù)轉(zhuǎn)捩判據(jù)NT預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)捩位置xT：

N(xT)=NT

(14)

2.2 考慮感受性問(wèn)題

eN方法中積分增長(zhǎng)率是從擾動(dòng)的中性位置開(kāi)始的，而且假設(shè)積分起始位置的擾動(dòng)初始幅值相同，沒(méi)有考慮來(lái)流中擾動(dòng)幅值隨頻率的變化。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，轉(zhuǎn)捩位置會(huì)隨著來(lái)流湍流度的增大而明顯提前。因此需要研究來(lái)流擾動(dòng)激發(fā)邊界層內(nèi)不穩(wěn)定波的機(jī)理，確定轉(zhuǎn)捩與來(lái)流擾動(dòng)幅值之間的定量關(guān)系，為轉(zhuǎn)捩位置的預(yù)測(cè)提供擾動(dòng)演化的上游條件。

早在2009年，周恒等[35]對(duì)傳統(tǒng)eN方法進(jìn)行了改進(jìn)：

(1) 考慮積分起始位置的擾動(dòng)幅值不同，是擾動(dòng)頻率的函數(shù)，即A0=ATS(ω,x0)；

(2) 對(duì)增長(zhǎng)率積分得直接到擾動(dòng)幅值，并取包絡(luò)：

(15)

(3) 根據(jù)轉(zhuǎn)捩幅值判據(jù)AT預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)捩位置xT：

A(xT)=AT

(16)

并建議AT=0.015，取得了很好的效果。

然而改進(jìn)的eN方法難以在工程中應(yīng)用，因?yàn)椴恢婪e分起始位置的擾動(dòng)初始幅值，需要根據(jù)來(lái)流擾動(dòng)進(jìn)行估算。來(lái)流擾動(dòng)進(jìn)入高超聲速飛行器邊界層要經(jīng)過(guò)兩個(gè)過(guò)程：(1) 擾動(dòng)過(guò)激波；(2) 擾動(dòng)進(jìn)入邊界層后在邊界層內(nèi)激發(fā)不穩(wěn)定波。因此估算也分兩步：(1) 根據(jù)來(lái)流擾動(dòng)幅值A(chǔ)before估算激波后的擾動(dòng)幅值A(chǔ)after≈F1Abefore；(2) 根據(jù)激波后的擾動(dòng)幅值估算積分起始位置的擾動(dòng)幅值A(chǔ)Ts≈F2Aafter。

黃章峰等[36]研究了擾動(dòng)波與斜激波之間的線性作用，發(fā)現(xiàn)激波前的四種擾動(dòng)波(快聲波、慢聲波、熵波和渦波)與斜激波相互作用后，還有可能激發(fā)出一種新的衰減波，而且發(fā)現(xiàn)四種擾動(dòng)波過(guò)尖楔模型的斜激波后的擾動(dòng)幅值量級(jí)一致，即F1≈1～2。Balakumar等[37]以鈍錐為研究對(duì)象，考慮實(shí)驗(yàn)測(cè)得的擾動(dòng)頻譜特性，發(fā)現(xiàn)激波后的脈動(dòng)壓力幅值與積分起始位置的幅值量級(jí)一致，即F2≈0.5～1。

2.3 積分方法改進(jìn)：廣義增長(zhǎng)率

LST中有三個(gè)波參數(shù)，分別為頻率ω、流向波數(shù)α和展向波數(shù)β，它們之間滿足色散關(guān)系式。根據(jù)波參數(shù)的虛部可以定義兩種模式：

(1) 時(shí)間模式，α和β為實(shí)數(shù)，ω為復(fù)數(shù)，其虛部代表時(shí)間方向的增長(zhǎng)率，據(jù)此可以積分得到時(shí)間模式的N值：

(17)

(2) 空間模式，ω為實(shí)數(shù)，α和β為復(fù)數(shù)，其虛部代表空間方向的增長(zhǎng)率，據(jù)此可以積分得到空間模式的N值：

(18)

無(wú)論是時(shí)間模式還是空間模式，積分時(shí)均需要滿足相應(yīng)的約束，由于控制波參數(shù)的色散關(guān)系式是隱函數(shù)，因此在三維邊界層中需要進(jìn)行迭代求解，效率低，在工程應(yīng)用中受到瓶頸。

宋潤(rùn)杰等[38]提出了廣義增長(zhǎng)率，定義為：

σ=ωi/Ug-(αicosθ+βisinθ)

(19)

其中θ為任意方向角。廣義增長(zhǎng)率的物理本質(zhì)是擾動(dòng)沿群速度方向的隨體增長(zhǎng)率，并具有守恒特性。由廣義增長(zhǎng)率守恒特性可知，廣義增長(zhǎng)率的大小與波參數(shù)虛部的取法無(wú)關(guān)，因此提出了新的積分方法：

(20)

圖5給出了后掠鈍板流動(dòng)不同積分方法得到的N值，可以看出不同方法計(jì)算得到的結(jié)果定量一致，但新方法無(wú)需迭代，操作簡(jiǎn)單，效率高，適用于一般三維流動(dòng)。

圖5 不同積分方法得到的N值結(jié)果[38]Fig.5 Results of N factor obtained by different methods [38]

2.4 理性的轉(zhuǎn)捩判據(jù)

eN方法被稱為是一種半理論半經(jīng)驗(yàn)的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)方法，半理論是指它的理論基礎(chǔ)是LST，半經(jīng)驗(yàn)是指轉(zhuǎn)捩判據(jù)主要依靠實(shí)驗(yàn)或經(jīng)驗(yàn)來(lái)確定。對(duì)于航空飛機(jī)，經(jīng)過(guò)大量的風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)和飛行試驗(yàn)，轉(zhuǎn)捩判據(jù)通常取NT=8～9。對(duì)于高超聲速飛行器，這方面的經(jīng)驗(yàn)還很少[4]。根據(jù)不同的試驗(yàn)，高超聲速飛行器的轉(zhuǎn)捩判據(jù)NT范圍在6到12之間，說(shuō)明傳統(tǒng)的轉(zhuǎn)捩判據(jù)嚴(yán)重依賴試驗(yàn)條件和飛行狀態(tài)。

改進(jìn)后的eN方法考慮了來(lái)流擾動(dòng)的頻譜特性，積分后得到的是沿波的傳播方向的幅值A(chǔ)分布，因此需要通過(guò)幅值轉(zhuǎn)捩判據(jù)AT來(lái)判斷轉(zhuǎn)捩位置。相對(duì)傳統(tǒng)的eN方法，改進(jìn)后的eN方法的判據(jù)考慮了感受性，因此是一種理性的判據(jù)。周恒等[35]建議取AT=0.015，Balakumar等[37]的結(jié)果表明轉(zhuǎn)捩時(shí)脈動(dòng)壓力幅值約為p′rms/ps=0.1～0.2，對(duì)應(yīng)的幅值轉(zhuǎn)捩判據(jù)范圍為AT≈0.025～0.05。

由于實(shí)驗(yàn)手段的限制，目前很難獲得激波前來(lái)流的擾動(dòng)頻譜特性。但是對(duì)于每座風(fēng)洞，目前可以測(cè)量得到風(fēng)洞的流場(chǎng)品質(zhì)，即激波后總壓脈動(dòng)均方根與總壓平均值之比。在流動(dòng)穩(wěn)定性分析中，通常采用擾動(dòng)速度的幅值作為參考量，其定義為脈動(dòng)速度均方根與來(lái)流速度之比。脈動(dòng)速度的幅值與流場(chǎng)品質(zhì)沒(méi)有嚴(yán)格意義上的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，但可根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行兩者關(guān)系的估算：

u′rms/u∞≈f(M1)p′rms/p20

(21)

表1給出了五種典型類(lèi)型下流場(chǎng)品質(zhì)、擾動(dòng)幅值、轉(zhuǎn)捩判據(jù)NT和幅值轉(zhuǎn)捩判據(jù)AT之間的估算值，其中激波風(fēng)洞、低噪聲風(fēng)洞、靜音風(fēng)洞的流場(chǎng)品質(zhì)由實(shí)驗(yàn)測(cè)量確定，激波風(fēng)洞、彈道靶和飛行試驗(yàn)的NT由實(shí)驗(yàn)標(biāo)定，其它結(jié)果均為定量估算結(jié)果。以激波風(fēng)洞為例，估算過(guò)程如下：根據(jù)流場(chǎng)品質(zhì)和來(lái)流馬赫數(shù)(Ma=6)估算來(lái)流的擾動(dòng)幅值，根據(jù)擾動(dòng)幅值和標(biāo)定的轉(zhuǎn)捩判據(jù)NT估算幅值判據(jù)為AT=0.034，與本文建議的轉(zhuǎn)捩幅值判據(jù)AT=0.05相當(dāng)。根據(jù)該幅值判據(jù)和流場(chǎng)品質(zhì)，可以估算出低噪聲風(fēng)洞和靜音風(fēng)洞的轉(zhuǎn)捩判據(jù)NT分別為8和10左右，根據(jù)該幅值判據(jù)和實(shí)驗(yàn)標(biāo)定的NT值可以估算出彈道靶和高空的流場(chǎng)品質(zhì)為0.01%左右。

需要指出的是，本文建議的幅值轉(zhuǎn)捩判據(jù)是根據(jù)有限的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)標(biāo)定得到的，雖然具有天地一致性，但其普適性仍待進(jìn)一步研究。

表1 轉(zhuǎn)捩判據(jù)的定量估算(Ma=6)

Table 1 Quantitative estimation of transition criterion (Ma=6)

類(lèi)型流場(chǎng)品質(zhì)/%擾動(dòng)幅值NTAT激波風(fēng)洞3～58.5×10-560.034低噪聲風(fēng)洞0.4～0.71.1×10-580.034靜音風(fēng)洞0.1～0.22.8×10-6100.062彈道靶0.012.8×10-7120.046高空0.012.8×10-7120.046

2.5 軟件開(kāi)發(fā)

鑒于eN方法的優(yōu)勢(shì)，國(guó)外已有學(xué)者將其應(yīng)用到工程實(shí)踐中，編制了轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)軟件。國(guó)際上著名的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)軟件典型代表有美國(guó)NASA的Malik等開(kāi)發(fā)的eMalik軟件、德宇航DLR的Schrauf等開(kāi)發(fā)的LILO軟件、美國(guó)NASA的Chang等開(kāi)發(fā)的LASTRAC軟件[39]。國(guó)內(nèi)以天津大學(xué)的羅紀(jì)生、黃章峰[40]、西北工業(yè)大學(xué)的宋文萍、韓忠華[41-43]和中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心涂國(guó)華[14]等為代表，開(kāi)展了轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)eN方法的應(yīng)用研究。

黃章峰等[43]從理論方面和工程應(yīng)用方面分析了eN方法及其預(yù)測(cè)軟件的不足，并結(jié)合工程應(yīng)用的需要，提出了面向工程的基于eN方法的高超聲速邊界層轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)軟件的實(shí)現(xiàn)途徑。其基本思路：在對(duì)eN方法進(jìn)行不斷改進(jìn)和完善的基礎(chǔ)上，結(jié)合流動(dòng)穩(wěn)定性分析和轉(zhuǎn)捩工程應(yīng)用方面的經(jīng)驗(yàn)，建立特征值、感受性系數(shù)、轉(zhuǎn)捩判據(jù)等一系列知識(shí)庫(kù)，開(kāi)發(fā)一套實(shí)用、全自動(dòng)、高效、用戶接口友好的面向工程的超聲速邊界層轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)軟件。

對(duì)標(biāo)國(guó)際著名轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)軟件，目前已經(jīng)完成了實(shí)用、智能軟件的功能設(shè)計(jì)，編碼實(shí)現(xiàn)了多塊結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格復(fù)雜外形流場(chǎng)的基本流處理、邊界層厚度辨識(shí)、特征值初值估計(jì)、非物理解判斷、轉(zhuǎn)捩位置評(píng)估等全自動(dòng)操作，實(shí)現(xiàn)了實(shí)用、全自動(dòng)、高效的高超聲速邊界層轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)軟件開(kāi)發(fā)，并在工程應(yīng)用單位進(jìn)行了初步應(yīng)用，取得了不錯(cuò)的效果。

3 典型案例

3.1 風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)：零迎角錐

研究對(duì)象為頭部半徑0.5 mm、半錐角5°、長(zhǎng)度600 mm的光滑鈍錐，結(jié)合常規(guī)激波風(fēng)洞中實(shí)驗(yàn)結(jié)果，采用傳統(tǒng)eN方法和改進(jìn)eN方法進(jìn)行了轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)，其中改進(jìn)eN方法中利用了國(guó)外激波風(fēng)洞和國(guó)內(nèi)2 m激波風(fēng)洞的原始擾動(dòng)頻譜曲線來(lái)估算積分起始位置的擾動(dòng)幅值，估算系數(shù)為F3=F1F2≈1。

圖6給出了零迎角鈍錐三種不同方法的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)結(jié)果，其中實(shí)線是第二模態(tài)擾動(dòng)波的結(jié)果，而虛線是第一模態(tài)波的結(jié)果。根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)得的轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)Rex=0.4×107～0.6×107，對(duì)于單位雷諾數(shù)為1.6×107/m的工況，實(shí)驗(yàn)測(cè)得的轉(zhuǎn)捩位置在x=250～375 mm之間。圖6(a)中對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)捩位置的NT值在6到7之間，為第二模態(tài)擾動(dòng)波引起的轉(zhuǎn)捩。圖6(b)中對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)捩位置的NT值也在6到7之間，但是為第一模態(tài)擾動(dòng)波引起的轉(zhuǎn)捩。雖然傳統(tǒng)eN方法和改進(jìn)eN方法標(biāo)定的NT值均接近，但是引起轉(zhuǎn)捩的擾動(dòng)波類(lèi)型不同。這是因?yàn)閭鹘y(tǒng)eN方法忽略了來(lái)流擾動(dòng)情況，而改進(jìn)eN方法考慮了來(lái)流擾動(dòng)情況，雖然第二模態(tài)不穩(wěn)定波動(dòng)增長(zhǎng)率要大于第一模態(tài)不穩(wěn)定波的增長(zhǎng)率，但是在常規(guī)激波風(fēng)洞中第一模態(tài)的來(lái)流擾動(dòng)幅值要明顯大于第二模態(tài)的，因此后者更接近實(shí)際情況。圖6(c)中對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)捩位置的AT值在0.05附近，為第一模態(tài)擾動(dòng)波引起的轉(zhuǎn)捩，進(jìn)一步佐證了該工況轉(zhuǎn)捩是第一模態(tài)擾動(dòng)波引起的。

(a) 傳統(tǒng)eN方法預(yù)測(cè)結(jié)果

(b) 基于國(guó)外激波風(fēng)洞擾動(dòng)頻譜特性的預(yù)測(cè)結(jié)果

(c) 基于國(guó)內(nèi)激波風(fēng)洞擾動(dòng)頻率特性的預(yù)測(cè)結(jié)果圖6 零迎角鈍錐轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)與風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)對(duì)比Fig.6 Transition prediction of blunt cone with zero angle of attack and its comparison with wind tunnel test

3.2 風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)：橢圓錐(HIFiRE-5)

2010年Steven等[44]在常規(guī)激波風(fēng)洞中(實(shí)驗(yàn)條件為馬赫數(shù)6、來(lái)流總溫426.4 K，單位雷諾數(shù)1.02×107/m)對(duì)零迎角、零側(cè)滑角橢圓錐模型(HIFiRE-5)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，采用TSP技術(shù)給出了典型工況下的轉(zhuǎn)捩位置。

圖7給出了轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)結(jié)果，其中紅色區(qū)域(高熱流區(qū))為實(shí)驗(yàn)測(cè)得的湍流區(qū)域，藍(lán)色區(qū)域(低熱流區(qū))為實(shí)驗(yàn)測(cè)得的層流區(qū)域，紅色與藍(lán)色相交的地方為轉(zhuǎn)捩區(qū)域。線條為eN方法的預(yù)測(cè)結(jié)果，可以看出當(dāng)NT取6～7時(shí)，理論預(yù)測(cè)得到的轉(zhuǎn)捩線基本上與實(shí)驗(yàn)得到的轉(zhuǎn)捩線重合。進(jìn)一步分析可知引起轉(zhuǎn)捩的不穩(wěn)定波的頻率大約為40 kHz，屬于較低頻率的橫流行進(jìn)波或第一模態(tài)不穩(wěn)定波。

(a) 常規(guī)風(fēng)洞，N值包絡(luò)(F=1～200 kHz)

(b) 常規(guī)風(fēng)洞，固定頻率F=40 kHz圖7 HIFiRE-5的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)與常規(guī)風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)[44]對(duì)比Fig.7 Transition prediction of HIFiRE-5 and its comparison with experiment result of conventional wind tunnel [44]

3.3 彈道靶實(shí)驗(yàn)：小迎角錐

柳森等[45]在彈道靶上開(kāi)展了小迎角鈍錐模型高超聲速邊界層轉(zhuǎn)捩的自由飛實(shí)驗(yàn)，給出轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)大約為Rex=0.42×107～0.83×107。針對(duì)實(shí)驗(yàn)工況進(jìn)行了基本流計(jì)算、穩(wěn)定性分析和轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)，分別考慮0°和5°迎角。圖8給出了相應(yīng)的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)結(jié)果。

對(duì)于0°迎角，基于彈道靶實(shí)驗(yàn)得到了轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)Rex=0.4×107，從圖8(a)可以估算出相應(yīng)的轉(zhuǎn)捩判據(jù)NT在12～13之間。由于彈道靶實(shí)驗(yàn)環(huán)境更接近高空真實(shí)情況，其背景擾動(dòng)比常規(guī)風(fēng)洞小很多，因此相應(yīng)標(biāo)定的轉(zhuǎn)捩判據(jù)NT=12～13比常規(guī)風(fēng)洞標(biāo)定的NT=6～7要大一倍左右。對(duì)于5°迎角，如果以NT=13來(lái)判斷轉(zhuǎn)捩發(fā)生的位置，從圖8(b)中可以看出轉(zhuǎn)捩發(fā)生的位置在側(cè)面最早發(fā)生，在迎風(fēng)面次之，在背風(fēng)面最靠后，相應(yīng)的轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)范圍在Rex=0.2×107～0.6×107之間。對(duì)于有迎角工況，迎風(fēng)面和背風(fēng)面的轉(zhuǎn)捩發(fā)生位置相差較大，而在實(shí)驗(yàn)中由于迎角和側(cè)滑角無(wú)法控制，實(shí)驗(yàn)測(cè)量轉(zhuǎn)捩發(fā)生位置可能處于迎風(fēng)面到背風(fēng)面的某個(gè)位置上，因此測(cè)量的轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)會(huì)在一個(gè)較大范圍內(nèi)變化。圖8(b)給出轉(zhuǎn)捩位置的同時(shí)還給出了引起轉(zhuǎn)捩擾動(dòng)的頻率，可以看出迎風(fēng)面轉(zhuǎn)捩主要以高頻的第二模態(tài)為主，而在背風(fēng)面轉(zhuǎn)捩以較低頻的第一模態(tài)為主。

(a) 0°迎角轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)結(jié)果

(b) 5°迎角時(shí)轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)結(jié)果圖8 小迎角錐轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)與彈道靶實(shí)驗(yàn)對(duì)比Fig.8 Transition prediction of cone with small angle of attack and its comparison with ballistic target test

3.4 飛行試驗(yàn)：大迎角錐

最近，國(guó)內(nèi)開(kāi)展了大迎角錐的飛行試驗(yàn)研究，成功測(cè)到了轉(zhuǎn)捩發(fā)生的過(guò)程。本文針對(duì)H=25 km和H=27 km兩種典型工況開(kāi)展了轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)與轉(zhuǎn)捩判據(jù)標(biāo)定研究，結(jié)果見(jiàn)圖9。

圖9(a) 給出了不同轉(zhuǎn)捩判據(jù)下橫流轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)結(jié)果，可以看出橫流轉(zhuǎn)捩主要發(fā)生在側(cè)面，在背風(fēng)面子午線和迎風(fēng)面子午線上均沒(méi)有發(fā)生橫流轉(zhuǎn)捩。轉(zhuǎn)捩位置隨著轉(zhuǎn)捩判據(jù)NT值的不同而不同，但總體趨勢(shì)是側(cè)面靠背風(fēng)面區(qū)域先轉(zhuǎn)捩，側(cè)面靠迎風(fēng)面區(qū)域后轉(zhuǎn)捩。隨著飛行高度的下降，橫流引起的轉(zhuǎn)捩位置前移，不對(duì)稱性較弱。

(a) 橫流轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)(實(shí)線：H=25 km，虛線：H=27 km)

(b) TS波轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)(實(shí)線：H=25 km，虛線：H=27 km)

(c) H=25 km工況轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)結(jié)果實(shí)驗(yàn)標(biāo)定(實(shí)線：TS波，虛線：橫流)

圖9 大迎角圓錐轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)與飛行試驗(yàn)標(biāo)定
Fig.9 Transition prediction of cone with large angle of attack and its calibration by flight test

圖9(b)給出了不同轉(zhuǎn)捩判據(jù)下第TS波轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)結(jié)果，可以看出TS波轉(zhuǎn)捩主要發(fā)生在迎風(fēng)面，但迎風(fēng)面子午線上的轉(zhuǎn)捩位置并不是最靠前，在迎風(fēng)面子母線附近的轉(zhuǎn)捩位置更靠前一些。由于迎角的存在，TS波引起的轉(zhuǎn)捩位置存在較強(qiáng)的不對(duì)稱性。隨著飛行高度的下降，側(cè)面轉(zhuǎn)捩位置前移，但迎風(fēng)面的轉(zhuǎn)捩位置略有后移。

圖9(c)給出了大迎角錐根據(jù)飛行試驗(yàn)進(jìn)行標(biāo)定的結(jié)果，其中實(shí)線為T(mén)S波預(yù)測(cè)結(jié)果，虛線為橫流預(yù)測(cè)結(jié)果，黑點(diǎn)為飛行試驗(yàn)測(cè)量結(jié)果。對(duì)于高度H=25 km的工況，采用飛行試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行初步標(biāo)定，發(fā)現(xiàn)橫流NT=8～9和TS波NT=12～13時(shí)的轉(zhuǎn)捩線與試驗(yàn)定量一致。不同區(qū)域?qū)е罗D(zhuǎn)捩的擾動(dòng)波類(lèi)型不同，側(cè)面靠背風(fēng)面是由橫流不穩(wěn)定波引起的轉(zhuǎn)捩，而側(cè)面靠迎風(fēng)面是由于TS不穩(wěn)定波引起的轉(zhuǎn)捩。

4 結(jié)論與展望

本文回顧了近年來(lái)高超聲速流動(dòng)穩(wěn)定性和轉(zhuǎn)捩在工程應(yīng)用研究方面的進(jìn)展。在流動(dòng)穩(wěn)定性方面：(1) 將直角坐標(biāo)系下的分析方法拓展到正交曲線坐標(biāo)系，使之適應(yīng)復(fù)雜外形分析的需要；(2) 提出了一種考慮基本流和特征函數(shù)沿流向變化的擴(kuò)展特征值方法，提升了流動(dòng)穩(wěn)定性分析非平行流的能力；(3) 提出了局部散射法，定義了傳遞系數(shù)來(lái)定量考慮局部突變的影響；(4) 結(jié)合射線理論和拋物化穩(wěn)定性方程提出了一種三維邊界層擾動(dòng)演化的精確預(yù)測(cè)方法。在轉(zhuǎn)捩方面：(1) 基于流場(chǎng)品質(zhì)對(duì)積分起始位置的擾動(dòng)初始幅值進(jìn)行了估算，初步考慮了來(lái)流感受性的影響；(2) 基于廣義增長(zhǎng)率守恒特性提出了適合于三維邊界層的積分方法；(3) 初步定量給出了基于擾動(dòng)幅值為判據(jù)的理性轉(zhuǎn)捩判據(jù)；(4) 面向工程，開(kāi)發(fā)了一套實(shí)用、全自動(dòng)、高效的高超聲速邊界層轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)軟件，并在工程應(yīng)用單位進(jìn)行了初步應(yīng)用，取得了不錯(cuò)的效果。結(jié)合風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)、彈道靶實(shí)驗(yàn)和飛行試驗(yàn)，在零迎角錐、橢圓錐、小迎角錐和大迎角錐的典型案例進(jìn)行了應(yīng)用。

然而，流動(dòng)穩(wěn)定性和轉(zhuǎn)捩在工程應(yīng)用方面，仍然任重而道遠(yuǎn)。流動(dòng)穩(wěn)定性分析方法在非平行性、三維性、非線性、多態(tài)性等方面的能力還有待進(jìn)一步提高；轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)方法在感受性、模態(tài)轉(zhuǎn)換、轉(zhuǎn)捩機(jī)理、轉(zhuǎn)捩判據(jù)等方面還有待進(jìn)一步深入研究；轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)軟件在實(shí)用性、智能性、功能性、魯棒性、高效性等方面有待進(jìn)一步完善；在工程應(yīng)用中還會(huì)遇到新現(xiàn)象、新問(wèn)題、新需求、新目標(biāo)。筆者致力于這些問(wèn)題的解決與工程應(yīng)用研究。

致謝:本研究得到了基金委、航天科技、航天科工等單位的大力支持，在此表示感謝。本文的主要內(nèi)容在“中國(guó)流動(dòng)穩(wěn)定性與轉(zhuǎn)捩研究40年：成就、機(jī)遇和挑戰(zhàn)”研討會(huì)上報(bào)告過(guò)。祝周恒先生身體健康：“層流很穩(wěn)定，健康占主導(dǎo)；轉(zhuǎn)捩被推遲，益壽又延年；湍流不報(bào)到，永葆青春態(tài)！”