溫度對(duì)高速平板邊界層轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)的影響

劉智勇, 禹 旻, 楊武兵

(中國(guó)航天空氣動(dòng)力技術(shù)研究院, 北京 100074)

0 引 言

邊界層轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)是高速飛行器發(fā)展中不可回避的重要問(wèn)題，轉(zhuǎn)捩帶來(lái)的高熱流和高摩阻給飛行器的熱防護(hù)、氣動(dòng)外形等設(shè)計(jì)帶來(lái)了新的挑戰(zhàn)。如何更準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)和預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)捩，是學(xué)術(shù)和工程界共同關(guān)心的問(wèn)題。高速邊界層的自然轉(zhuǎn)捩包括感受性、擾動(dòng)的線性和非線性增長(zhǎng)、擾動(dòng)發(fā)展的飽和并崩潰的過(guò)程。其中，擾動(dòng)的增長(zhǎng)過(guò)程占據(jù)了相當(dāng)長(zhǎng)的距離，是轉(zhuǎn)捩位置預(yù)測(cè)中最重要的過(guò)程。擾動(dòng)的增長(zhǎng)由流動(dòng)穩(wěn)定性理論描述，目前已對(duì)可壓縮邊界層流動(dòng)的穩(wěn)定性特征取得了豐富的認(rèn)識(shí)，這對(duì)轉(zhuǎn)捩的研究奠定了理論基礎(chǔ)。

風(fēng)洞試驗(yàn)是高速邊界層轉(zhuǎn)捩研究的一個(gè)重要手段，尤其是靜風(fēng)洞技術(shù)和轉(zhuǎn)捩測(cè)量技術(shù)的發(fā)展，為實(shí)際飛行條件下的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)提供了豐富而有價(jià)值的數(shù)據(jù)[1]。為了模擬飛行條件下的轉(zhuǎn)捩現(xiàn)象，風(fēng)洞試驗(yàn)一般會(huì)選擇相同的馬赫數(shù)、雷諾數(shù)等相似參數(shù)，但來(lái)流噪聲、來(lái)流總溫和壁溫條件卻往往與飛行條件存在較大差別。而且由于不同風(fēng)洞的模擬能力不同，以上參數(shù)的差異在不同風(fēng)洞之間也是廣泛存在的，這些差異也被認(rèn)為是導(dǎo)致不同風(fēng)洞的轉(zhuǎn)捩結(jié)果不一致的可能原因[2-3]。為了對(duì)不同轉(zhuǎn)捩試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行關(guān)聯(lián)，就需要對(duì)上述參數(shù)如何定量影響邊界層轉(zhuǎn)捩過(guò)程進(jìn)行細(xì)致研究。

我們知道，對(duì)于可壓縮平板邊界層流動(dòng)，當(dāng)馬赫數(shù)較小時(shí)(Ma<2.2)，唯一的不穩(wěn)定模態(tài)是第一模態(tài)，而隨著馬赫數(shù)的增高，第二模態(tài)(Mack模態(tài))出現(xiàn)并表現(xiàn)出更強(qiáng)的不穩(wěn)定性，是主導(dǎo)的失穩(wěn)模態(tài)。第一模態(tài)和第二模態(tài)與快、慢模態(tài)有關(guān)，F(xiàn)edorov和Tumin[4]對(duì)傳統(tǒng)的模態(tài)稱謂進(jìn)行了討論，認(rèn)為快、慢模態(tài)比第一、第二模態(tài)的說(shuō)法更符合數(shù)學(xué)描述，并且更不容易產(chǎn)生混淆。同時(shí)發(fā)現(xiàn)在不同的流動(dòng)參數(shù)下，第一、第二模態(tài)可能分別屬于慢、快模態(tài)，也可能同屬于慢模態(tài)，兩種情況分別對(duì)應(yīng)于兩種不同的模態(tài)分枝類型(圖1)。

模態(tài)的分枝特性對(duì)邊界層轉(zhuǎn)捩現(xiàn)象中的感受性過(guò)程和擾動(dòng)線性增長(zhǎng)過(guò)程都有重要影響。Fedorov和Khokhlov[5-6]研究了邊界層中的各類模態(tài)同步分枝現(xiàn)象，通過(guò)對(duì)快、慢模態(tài)的細(xì)致研究[7]，發(fā)現(xiàn)不穩(wěn)定的第二模態(tài)可能對(duì)應(yīng)慢模態(tài)，也可能對(duì)應(yīng)快模態(tài)。Ma和Zhong[8]也對(duì)快、慢模態(tài)的同步現(xiàn)象進(jìn)行了研究，并分析了其與Mack模態(tài)的關(guān)系，指出快、慢模態(tài)的同步對(duì)Mack模態(tài)的出現(xiàn)和增長(zhǎng)具有非常重要的意義。Fedorov和Tumin[4]對(duì)高速邊界層的分枝特性進(jìn)行了較為全面的研究，發(fā)現(xiàn)雷諾數(shù)、溫度和馬赫數(shù)等流動(dòng)參數(shù)都會(huì)對(duì)分枝類型產(chǎn)生影響。Fedorov[9]結(jié)合對(duì)模態(tài)同步和分枝已有的認(rèn)識(shí)，指出在擾動(dòng)線性發(fā)展過(guò)程中，快、慢模態(tài)通過(guò)模態(tài)交換機(jī)制(分枝)產(chǎn)生不穩(wěn)定性，擾動(dòng)沿流向增長(zhǎng)，擾動(dòng)發(fā)展到一定幅值后發(fā)生非線性崩潰，轉(zhuǎn)捩發(fā)生。

(a) Ma=3.8

(b) Ma=4.2圖1 擾動(dòng)增長(zhǎng)率隨波數(shù)的變化(T0=300 K，Re=2000)Fig.1 Variation of growth rate with wave number (T0=300 K，Re=2000)

從前述的研究結(jié)果可知，由于快、慢模態(tài)存在不同的分枝類型，第二模態(tài)不穩(wěn)定性可能屬于快模態(tài)，也可能屬于慢模態(tài)；而第一模態(tài)不穩(wěn)定性總是屬于慢模態(tài)。那么，對(duì)于同時(shí)存在第一、第二模態(tài)不穩(wěn)定性的邊界層流動(dòng)，單一擾動(dòng)可能經(jīng)歷以下三種線性增長(zhǎng)過(guò)程：當(dāng)?shù)诙B(tài)屬于快模態(tài)(如圖1(a)所示，對(duì)應(yīng)Fedorov[4]的A或C型分枝)時(shí)，① 慢模態(tài)擾動(dòng)只經(jīng)歷第一模態(tài)增長(zhǎng)，② 快模態(tài)擾動(dòng)只經(jīng)歷第二模態(tài)增長(zhǎng)；當(dāng)?shù)诙B(tài)屬于慢模態(tài)(如圖1(b)所示，對(duì)應(yīng)Fedorov[4]的B或D型分枝)時(shí)，③ 慢模態(tài)擾動(dòng)先后經(jīng)歷第一、第二模態(tài)增長(zhǎng)(快模態(tài)擾動(dòng)不經(jīng)歷增長(zhǎng)過(guò)程)。因此，在進(jìn)行穩(wěn)定性分析和轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)時(shí)，對(duì)于A、C型分枝情況，快模態(tài)擾動(dòng)和慢模態(tài)擾動(dòng)都應(yīng)該考慮，而對(duì)于B、D型分枝，可只考慮慢模態(tài)擾動(dòng)。另外，當(dāng)邊界層流動(dòng)參數(shù)發(fā)生變化導(dǎo)致快、慢模態(tài)分枝類型發(fā)生改變時(shí)，前述的擾動(dòng)增長(zhǎng)過(guò)程也會(huì)發(fā)生改變，由此預(yù)測(cè)得到的轉(zhuǎn)捩位置可能產(chǎn)生較大的變化，這在前期的研究中已有體現(xiàn)[10]。因此，在采用穩(wěn)定性分析方法對(duì)邊界層轉(zhuǎn)捩進(jìn)行預(yù)測(cè)之前，應(yīng)該首先對(duì)快、慢模態(tài)的分枝情況進(jìn)行分析。

基于以上認(rèn)識(shí)可以知道，溫度條件的改變可以導(dǎo)致快、慢模態(tài)分枝類型發(fā)生變化，進(jìn)一步導(dǎo)致擾動(dòng)的線性增長(zhǎng)過(guò)程發(fā)生改變。同時(shí)，溫度條件對(duì)邊界層自身的穩(wěn)定性和轉(zhuǎn)捩也會(huì)產(chǎn)生影響。對(duì)于來(lái)流總溫，早在1966年，Mack[11]就指出這是影響可壓縮邊界層轉(zhuǎn)捩位置的因素之一，而近期關(guān)于高超聲速圓錐邊界層的研究[2]也表明，總溫的增加對(duì)流動(dòng)起穩(wěn)定作用。而壁溫對(duì)邊界層穩(wěn)定性的影響更是廣為人知：冷壁對(duì)第一模態(tài)起穩(wěn)定作用，對(duì)第二模態(tài)起不穩(wěn)定作用，而熱壁則相反[12-14]；對(duì)高超聲速圓錐邊界層的轉(zhuǎn)捩研究發(fā)現(xiàn)，低壁溫條件促進(jìn)邊界層的轉(zhuǎn)捩[15]。然而，對(duì)于轉(zhuǎn)捩試驗(yàn)結(jié)果的關(guān)聯(lián)，上述溫度的定性影響規(guī)律顯然是不足夠的，必須對(duì)溫度的影響做更細(xì)致的研究，獲得定量的影響規(guī)律。

本文針對(duì)轉(zhuǎn)捩試驗(yàn)研究中的主要差異因素——來(lái)流總溫和壁溫，開展了其影響下的高速平板邊界層轉(zhuǎn)捩研究，重點(diǎn)考察了不同溫度條件下高速平板邊界層流動(dòng)中快、慢模態(tài)的分枝特性；還采用eN方法研究了溫度對(duì)轉(zhuǎn)捩的影響規(guī)律，發(fā)現(xiàn)在相同馬赫數(shù)下，轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)與溫度比存在一致性的依賴關(guān)系，利用這一關(guān)系，初步建立了轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)與溫度比和N值的函數(shù)關(guān)系式，可用于關(guān)聯(lián)不同風(fēng)洞的轉(zhuǎn)捩結(jié)果和促進(jìn)轉(zhuǎn)捩天地相關(guān)性的研究。

1 溫度對(duì)快/慢模態(tài)同步和分枝的影響

采用線性穩(wěn)定性理論方法對(duì)不同溫度條件下的平板邊界層流動(dòng)進(jìn)行了分析，分別考察了快、慢模態(tài)的相速度和增長(zhǎng)率隨頻率的變化。邊界層速度和分布由邊界層相似性解得到，采用的線性穩(wěn)定性方法可參閱文獻(xiàn)[16]。圖1顯示了本文所采用的線性穩(wěn)定性計(jì)算方法得到的結(jié)構(gòu)與文獻(xiàn)[4]的對(duì)比，兩者在不穩(wěn)定擾動(dòng)和模態(tài)分枝類型結(jié)果上吻合良好，這也驗(yàn)證了本文程序的可靠性。

1.1 壁溫的影響

Fedorov等[4]對(duì)不同馬赫數(shù)下的絕熱壁和冷壁進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)壁溫的改變會(huì)使快、慢模態(tài)的分枝類型發(fā)生變化。而對(duì)于轉(zhuǎn)捩試驗(yàn)而言，進(jìn)行比較和關(guān)聯(lián)的試驗(yàn)結(jié)果通常針對(duì)相同的馬赫數(shù)，因此本文研究了在同一馬赫數(shù)條件下，不同壁溫條件下的快、慢模態(tài)分枝類型及其變化。

對(duì)于平板邊界層，來(lái)流條件為：Ma=4，單位雷諾數(shù)Re0=1.13×107/m，總溫T0=710 K(對(duì)應(yīng)來(lái)流溫度Te=169.7 K)，分別設(shè)置了4個(gè)算例以研究壁溫的影響(表1)，其中Case 4對(duì)應(yīng)絕熱壁條件。各算例對(duì)應(yīng)的邊界層速度和溫度剖面如圖2所示。

表1 考慮不同壁溫的算例設(shè)置(Ma=4)Table 1 Cases for various wall temperatures (Ma=4)

(a) 速度分布

(b) 溫度分布圖2 基本流速度和溫度剖面Fig.2 Velocity and temperature profiles of basic flows

從圖中可以看出，快模態(tài)的高頻段對(duì)應(yīng)第二模態(tài)，而在慢模態(tài)的低頻段對(duì)應(yīng)第一模態(tài)。按照Mack的定義，快模態(tài)上高頻區(qū)的不穩(wěn)定模態(tài)稱為第二模態(tài)增長(zhǎng)解；慢模態(tài)上幾乎同頻率范圍內(nèi)衰減率較大的模態(tài)稱為第二模態(tài)衰減解。而按照Fedorov[4]的分類，上述分枝類型屬于A型分枝?？梢园l(fā)現(xiàn)，在所考慮的壁溫變化范圍內(nèi)，分枝類型并沒(méi)有發(fā)生改變。

(a) 相速度

(b) 增長(zhǎng)率圖3 快、慢模態(tài)隨頻率的變化(Case 1～Case 4)Fig.3 Variation of fast and slow modes with dimensionless frequency (Case 1～Case 4)

從圖3中還可以看出，隨著壁溫的增加，第一模態(tài)由穩(wěn)定變得不穩(wěn)定，擾動(dòng)增長(zhǎng)率和失穩(wěn)區(qū)域范圍都變大。而對(duì)于第二模態(tài)，壁溫的增加使該模態(tài)變得更加穩(wěn)定，擾動(dòng)增長(zhǎng)率和失穩(wěn)區(qū)域范圍都變小。上述壁溫對(duì)可壓縮邊界層不穩(wěn)定性的影響規(guī)律與傳統(tǒng)認(rèn)識(shí)相符[13-14]。而不同的是，由于這兩個(gè)模態(tài)分別屬于慢模態(tài)和快模態(tài)，在同時(shí)顯示擾動(dòng)增長(zhǎng)率時(shí)，兩段不穩(wěn)定區(qū)域并不屬于同一條曲線。這是A、C型分枝類型的典型特征。

1.2 總溫的影響

在相同馬赫數(shù)下，風(fēng)洞條件和飛行條件下的來(lái)流總溫差異明顯，即使在不同風(fēng)洞之間也存在一定的差別。Zhao等[2]指出總溫的差異可能是導(dǎo)致不同風(fēng)洞試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)不一致的重要原因。對(duì)此，本文針對(duì)來(lái)流總溫的影響開展了初步研究。設(shè)置算例如表2所示，壁溫取絕熱條件。

表2 考慮不同總溫的算例設(shè)置(Ma=4)Table 2 Cases for various total temperatures (Ma=4)

圖4給出了擾動(dòng)頻率與相速度之間的關(guān)系。從圖中可以看出，Case 5，Case 6屬于Fedorov的B型分枝，Case 7、Case 8和Case 9屬于D型分枝。總溫的變化引起的模態(tài)分枝類型的變化，這是總溫和壁溫影響穩(wěn)定性的區(qū)別所在。同時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)總溫對(duì)兩個(gè)失穩(wěn)模態(tài)的影響：隨著總溫的增加，第一模和第二模不穩(wěn)定性都隨之減弱。這與Zhao等[2]關(guān)于總溫對(duì)圓錐邊界層穩(wěn)定性的影響規(guī)律是一致的。

(a) 相速度

(b) 增長(zhǎng)率圖4 快、慢模態(tài)隨頻率的變化(Case 5～Case 9)Fig.4 Variation of fast and slow modes with dimensionless frequency (Case 5～Case 9)

同時(shí)還可以發(fā)現(xiàn)，Case 4和Case 9的壁溫和總溫條件相同，僅僅是穩(wěn)定性計(jì)算時(shí)選取的雷諾數(shù)不同，導(dǎo)致了模態(tài)分枝類型的差異?？梢灶A(yù)見(jiàn)，這兩種分枝類型的變化發(fā)生在雷諾數(shù)2000和4117之間。對(duì)馬赫數(shù)等參數(shù)的影響研究也發(fā)現(xiàn)了模態(tài)分枝類型發(fā)生變化的情況[17]。

由于邊界層的第一模態(tài)對(duì)應(yīng)于慢模態(tài)，而第二模態(tài)卻沒(méi)有確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此對(duì)于A、C型模態(tài)分枝的邊界層流動(dòng)，單一模態(tài)擾動(dòng)最多只會(huì)經(jīng)歷一次失穩(wěn)過(guò)程，即：慢模態(tài)擾動(dòng)經(jīng)歷第一模態(tài)失穩(wěn)，快模態(tài)擾動(dòng)經(jīng)歷第二模態(tài)失穩(wěn)，不會(huì)發(fā)生單一擾動(dòng)先后經(jīng)歷第一和第二模態(tài)失穩(wěn)的情況。這就給擾動(dòng)的線性失穩(wěn)過(guò)程帶來(lái)了更多的變化，同時(shí)也對(duì)轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)的eN方法帶來(lái)了困難，一方面需要在模態(tài)選擇時(shí)同時(shí)考慮快、慢模態(tài)，另一方面對(duì)傳統(tǒng)的N值選擇帶來(lái)了麻煩。因此，在采用穩(wěn)定性分析方法對(duì)高速邊界層進(jìn)行轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)前，應(yīng)該先對(duì)邊界層的穩(wěn)定性，尤其是模態(tài)的分枝類型進(jìn)行分析，根據(jù)特定的分枝類型確定主導(dǎo)失穩(wěn)的模態(tài)及對(duì)應(yīng)的N值。

2 溫度對(duì)轉(zhuǎn)捩的影響

本部分采用eN方法，對(duì)不同壁溫條件下的高速 平板邊界層流動(dòng)進(jìn)行轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)。計(jì)算條件為：來(lái)流馬赫數(shù)Ma=4、5、6，采用24 km高空來(lái)流條件，壁溫條件取為等溫壁，溫度Tw=300～1400 K。

在以上條件下，壁面溫度低于絕熱壁溫度，與Case 1～Case 3類似，邊界層流動(dòng)的模態(tài)分枝類型都屬于A型。在這種情況下，慢模態(tài)只經(jīng)歷第一模態(tài)失穩(wěn)，快模態(tài)只經(jīng)歷第二模態(tài)失穩(wěn)，因此在進(jìn)行eN分析時(shí)，需要考慮兩個(gè)模態(tài)。但由于冷壁對(duì)第一模態(tài)起抑制作用，因此慢模態(tài)擾動(dòng)只經(jīng)歷第一模態(tài)失穩(wěn)，幅值增長(zhǎng)有限，不是主導(dǎo)轉(zhuǎn)捩的模態(tài)，因此在實(shí)際計(jì)算中，只需考慮快模態(tài)擾動(dòng)的增長(zhǎng)。

2.1 壁溫對(duì)轉(zhuǎn)捩位置的影響

圖5給出了馬赫數(shù)為4的情況下快模態(tài)的增長(zhǎng)曲線。通過(guò)對(duì)不同頻率擾動(dòng)的增長(zhǎng)率進(jìn)行積分，得到各頻率擾動(dòng)的增長(zhǎng)曲線(彩色曲線)，再對(duì)所有增長(zhǎng)曲線取包絡(luò)線(黑色曲線)，可得到N值曲線。

圖5 擾動(dòng)累計(jì)增長(zhǎng)率及N值曲線Fig.5 Integrated growth rates and N-factor curve

在采用eN方法進(jìn)行轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)時(shí)，N值的選取對(duì)于預(yù)測(cè)結(jié)果至關(guān)重要。對(duì)于相同的外形，不同來(lái)流條件對(duì)應(yīng)的N值不同，在常規(guī)風(fēng)洞條件下，來(lái)流噪聲較大，轉(zhuǎn)捩位置靠前，對(duì)應(yīng)N值較??；而在靜風(fēng)洞和飛行條件下，來(lái)流噪聲較小，轉(zhuǎn)捩位置靠后，對(duì)應(yīng)的N值較大。本文假定擾動(dòng)累計(jì)增長(zhǎng)率N率先達(dá)到9的位置為轉(zhuǎn)捩位置。從后面的研究可以知道，N值的選取對(duì)關(guān)聯(lián)不同溫度的轉(zhuǎn)捩結(jié)果沒(méi)有影響。

從圖5中還可以看出，只有一定頻率范圍內(nèi)的擾動(dòng)，其累計(jì)增長(zhǎng)率才能達(dá)到9，因此在實(shí)際操作中，不需要對(duì)大量的擾動(dòng)進(jìn)行計(jì)算，而只需針對(duì)特定頻率范圍內(nèi)的擾動(dòng)進(jìn)行計(jì)算，便能較快地得到N值曲線受關(guān)注的部分，進(jìn)而可對(duì)轉(zhuǎn)捩位置進(jìn)行更高效的預(yù)測(cè)。

當(dāng)壁溫從300 K到1000 K變化時(shí)，擾動(dòng)幅值增長(zhǎng)曲線和N值曲線都表現(xiàn)出一致性的規(guī)律。而當(dāng)壁溫高于1200 K時(shí)，增長(zhǎng)曲線的形態(tài)發(fā)生了變化，如圖6所示，在N>6的范圍內(nèi)，增長(zhǎng)曲線的增長(zhǎng)變緩，這導(dǎo)致了N=9的轉(zhuǎn)捩位置大幅度后移。

圖6 N值分布(Ma=6)Fig.6 N-factor curve (Ma=6)

圖7給出了轉(zhuǎn)捩位置和發(fā)生轉(zhuǎn)捩時(shí)的擾動(dòng)頻率隨壁溫的變化?？梢钥闯?，兩者都在1000 K以下的范圍內(nèi)表現(xiàn)出良好的規(guī)律，而在1200 K以上表現(xiàn)出了明顯的差異。在馬赫數(shù)為4和5的條件下，也有相同的現(xiàn)象產(chǎn)生。對(duì)快模態(tài)的擾動(dòng)增長(zhǎng)率進(jìn)行分析可以發(fā)現(xiàn)，出現(xiàn)上述現(xiàn)象的原因一方面是第二模態(tài)不穩(wěn)定性隨壁溫升高而變?nèi)?，另一方面也與轉(zhuǎn)捩N值選取有關(guān)，如果轉(zhuǎn)捩N值取較小值(如5或6)，這種不一致的規(guī)律將不會(huì)出現(xiàn)。

從上面的結(jié)果來(lái)看，當(dāng)壁溫不太高時(shí)，轉(zhuǎn)捩位置與壁溫之間存在良好的依賴關(guān)系。利用數(shù)據(jù)擬合，可以將這種關(guān)系量化。對(duì)轉(zhuǎn)捩位置與壁溫的關(guān)系進(jìn)行擬合，首先將壁溫和轉(zhuǎn)捩位置分別用壁溫比和轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)來(lái)代替，令T=Tw/Te， 采用非線性指數(shù)擬合的結(jié)果圖8所示。

對(duì)應(yīng)的擬合曲線關(guān)系式為：

Retr·10-7=e(0.2872T-0.6092)+0.2503

(1)

(a) 轉(zhuǎn)捩位置

(b) 轉(zhuǎn)捩的頻率圖7 轉(zhuǎn)捩位置和頻率隨壁溫的變化(Ma=6)Fig.7 Transition location and frequency versus wall temperature(Ma=6)

圖8 指數(shù)曲線擬合結(jié)果(Ma=6)Fig.8 Data fitting with exponential function(Ma=6)

類似的，對(duì)馬赫數(shù)為4和5的工況也可以得到相應(yīng)的擬合曲線。

2.2 基于壁溫影響的轉(zhuǎn)捩關(guān)聯(lián)公式

邊界層的失穩(wěn)和轉(zhuǎn)捩始于邊界層對(duì)擾動(dòng)的感受性過(guò)程，對(duì)于自然轉(zhuǎn)捩而言，擾動(dòng)主要來(lái)源于來(lái)流。假設(shè)來(lái)流中的擾動(dòng)平均幅值為Ain，經(jīng)過(guò)感受性過(guò)程之后，進(jìn)入邊界層后，擾動(dòng)在增長(zhǎng)之前的平均幅值變?yōu)锳0，擾動(dòng)增長(zhǎng)到轉(zhuǎn)捩時(shí)的平均幅值為Atr，后一過(guò)程可以用eN方法來(lái)描述。感受性過(guò)程是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程，這里不對(duì)感受性過(guò)程進(jìn)行分析，而只關(guān)注對(duì)邊界層內(nèi)初始擾動(dòng)的線性增長(zhǎng)過(guò)程。且對(duì)于不同的來(lái)流和壁面條件，認(rèn)為轉(zhuǎn)捩時(shí)的擾動(dòng)幅值水平是相當(dāng)?shù)?如Atr=1.5%[18])。

不同的來(lái)流條件帶來(lái)的初始擾動(dòng)幅值A(chǔ)0不同，擾動(dòng)增長(zhǎng)到轉(zhuǎn)捩位置的過(guò)程也不同。較大初始擾動(dòng)增長(zhǎng)的過(guò)程短，對(duì)應(yīng)的N值小，較小初始擾動(dòng)增長(zhǎng)的過(guò)程長(zhǎng)，對(duì)應(yīng)的N值大。因此，采用eN方法進(jìn)行轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)時(shí)，需要通過(guò)A0來(lái)確定N值，即

N=N(A0)

(2)

那么，初始擾動(dòng)的影響可以用N值來(lái)體現(xiàn)。圖9顯示了不同壁溫條件下，N值與轉(zhuǎn)捩位置的關(guān)系?？梢钥闯?，N值越小對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)捩位置越靠前，這也意味著初始的擾動(dòng)幅值較大。

在本文的研究中，考慮的N值范圍為2～9，即認(rèn)為大部分的擾動(dòng)增長(zhǎng)都在此范圍之內(nèi)。由圖10可見(jiàn)，該范圍內(nèi)的雷諾數(shù)與N值的對(duì)數(shù)值呈現(xiàn)出近似線性的關(guān)系。從圖中可以看出，各條線之間近似平行，而其中的差異只源于壁溫的影響。

可以推測(cè)，在對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下，壁溫的影響是線性的。前面的研究考察了壁溫對(duì)轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)的影響，通過(guò)數(shù)據(jù)擬合得到了兩者的依賴關(guān)系，即：

Retr0(T;N=9)=eaT+b+c

(3)

式中a、b、c為待定系數(shù)。在這部分的研究中，設(shè)定了N=9的轉(zhuǎn)捩基準(zhǔn)，這實(shí)際上對(duì)應(yīng)于初始擾動(dòng)很小的流動(dòng)情況。若以這種情況作為參考，將壁溫的影響規(guī)律引入上圖的結(jié)果，考慮歸一化的轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)組合參數(shù)Retr(T;N)/Retr0(T;N=9)，可以得到圖11的結(jié)果。

圖9 不同壁溫條件下的N值曲線Fig.9 N-factor curves with different wall temperatures

(a) 常規(guī)坐標(biāo)

(b) 對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖10 雷諾數(shù)隨N值的變化Fig.10 Variation of Reynolds number with N-factor

可以看出，在對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下，不同溫度下的曲線幾乎重合，形成一條過(guò)坐標(biāo)點(diǎn)(9，1)的近似直線。因此，可以進(jìn)一步假設(shè)存在以下線性關(guān)系：

(4)

上式的系數(shù)可以通過(guò)曲線上的數(shù)據(jù)求得。從以上結(jié)果可以看出，由于存在良好的線性近似關(guān)系，N值可以在2～9中任意選取，不會(huì)對(duì)圖11中的線性結(jié)果產(chǎn)生本質(zhì)的影響。

利用線性關(guān)系可進(jìn)一步得到：

Retr=Retr0·(c3·N)c1

(5)

(6)

式中的系數(shù)見(jiàn)表3。

(a) 歸一化轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)

(b) 線性擬合圖11 N值與歸一化轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)的關(guān)系Fig.11 Variation of scaled transitional Reynolds number with N-factor

表3 式(6)中的系數(shù)
Table 3 Coefficients in Eq.(6)

Maabcc141.166-1.9210.51741.38050.5362-1.2260.29791.59360.2872-0.60920.25031.667

式(5)實(shí)際上是一種轉(zhuǎn)捩準(zhǔn)則，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)與壁溫和初始擾動(dòng)幅值的關(guān)系。改變馬赫數(shù)會(huì)對(duì)準(zhǔn)則中的系數(shù)帶來(lái)變化。一般來(lái)說(shuō)，風(fēng)洞試驗(yàn)可以模擬飛行條件下的馬赫數(shù)，因此在轉(zhuǎn)捩的關(guān)聯(lián)性研究中，采用上式的轉(zhuǎn)捩準(zhǔn)則可以對(duì)不同風(fēng)洞中，和風(fēng)洞與天空中的轉(zhuǎn)捩結(jié)果進(jìn)行關(guān)聯(lián)。容易得到：

(7)

不同試驗(yàn)條件下的壁溫條件體現(xiàn)在(6)或(7)式右端第一項(xiàng)中，而不同的初始擾動(dòng)幅值體現(xiàn)在右端第二項(xiàng)中。因此，在風(fēng)洞試驗(yàn)中測(cè)得的轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)可以通過(guò)上式轉(zhuǎn)化為空中的轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)。類似地，不同風(fēng)洞之間的試驗(yàn)結(jié)果也可以通過(guò)上述關(guān)系式進(jìn)行關(guān)聯(lián)。

應(yīng)該注意的是，式(7)中的N值需要采用先驗(yàn)試驗(yàn)標(biāo)定值，或通過(guò)完善感受性研究加以確定。而前者需要大量的風(fēng)洞和飛行試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行支撐，后者需要對(duì)感受性過(guò)程進(jìn)行更深入的研究和合理的模化。在目前看來(lái)，上述基于平板邊界層的轉(zhuǎn)捩關(guān)聯(lián)式是關(guān)聯(lián)不同溫度條件下轉(zhuǎn)捩結(jié)果的初步研究，為建立完整的轉(zhuǎn)捩關(guān)聯(lián)關(guān)系奠定了基礎(chǔ)，該思路也可用于其它外形的邊界層轉(zhuǎn)捩關(guān)聯(lián)和預(yù)測(cè)。

3 結(jié) 論

本文研究了溫度對(duì)高速平板邊界層流動(dòng)穩(wěn)定性和轉(zhuǎn)捩的影響。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：第一，不同的總溫條件會(huì)帶來(lái)快、慢模態(tài)分枝類型的變化，并且隨著總溫升高，第一模態(tài)和第二模態(tài)的不穩(wěn)定性都減弱。第二，在不高于1000 K的壁溫條件下，壁溫與高速邊界層擾動(dòng)增長(zhǎng)關(guān)系呈現(xiàn)出良好的規(guī)律，這種規(guī)律可以以指數(shù)函數(shù)的形式量化體現(xiàn)；而當(dāng)壁溫更高時(shí)，這種規(guī)律受到破壞。第三，利用壁溫對(duì)擾動(dòng)增長(zhǎng)的影響規(guī)律，并結(jié)合初始擾動(dòng)與N值的關(guān)系，可以得到轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)的關(guān)聯(lián)準(zhǔn)則，并可用于關(guān)聯(lián)轉(zhuǎn)捩結(jié)果的進(jìn)一步研究。這種思路可對(duì)其他外形的高速邊界層流動(dòng)轉(zhuǎn)捩的關(guān)聯(lián)和預(yù)測(cè)提供參考。