“四基”及其培養(yǎng)

使學生獲得進一步學習、未來發(fā)展所必需的數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗（簡稱“四基”），是新版《數(shù)學課程標準》的一個重要特征。

一、從“雙基”到“四基”

重視基礎(chǔ)知識、基本技能（即“雙基”）是我國基礎(chǔ)教育的歷史傳統(tǒng)。

1952年頒布的《小學算術(shù)教學大綱（草案）》在教學目的中指出：“主要使兒童能夠自覺地、正確地和迅速地進行整數(shù)計算，能夠運用已經(jīng)獲得的知識、技能和技巧去解答算術(shù)應(yīng)用題和解決日常生活中簡單的計算問題。算術(shù)教學必須有助于兒童智慧的發(fā)展和道德品質(zhì)的培養(yǎng)，以促進全面發(fā)展的教育任務(wù)的實現(xiàn)，應(yīng)該做到使數(shù)和量成為兒童認識周圍現(xiàn)實的工具?！泵鞔_提出小學算術(shù)教學的任務(wù)是保證兒童自覺地、鞏固地掌握算術(shù)知識和直觀幾何知識，并使他們獲得實際運用這些知識的技能，是小學數(shù)學“雙基”的最早表述。

1963年的《全日制小學算術(shù)教學大綱（草案）》《全日制中學數(shù)學教學大綱（草案）》和1986年的《全日制中學數(shù)學教學大綱》都重視數(shù)學“雙基”教學。1986年的《全日制中學數(shù)學教學大綱》中明確提出了數(shù)學“基礎(chǔ)知識”與“基本技能”，數(shù)學“雙基”教學理念在教學大綱中正式確立。1978年的《全日制十年制學校小學數(shù)學教學大綱（試行草案）》將“小學算術(shù)”發(fā)展為“小學數(shù)學”，同樣重視基礎(chǔ)知識、基本技能，并著眼數(shù)學思想與數(shù)學能力。2001年頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》明確提出，讓學生“獲得適應(yīng)未來社會生活和進一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學知識（包括數(shù)學事實、數(shù)學活動經(jīng)驗）以及基本的數(shù)學思想方法和必要的應(yīng)用技能”。表述中保留了基礎(chǔ)知識、基本技能，并將基本思想、基本活動經(jīng)驗的原型列入其中。2011年12月頒布的《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》首次明確將基本思想、基本活動經(jīng)驗與基礎(chǔ)知識、基本技能并列為“四基”。新版的《數(shù)學課程標準》繼承了這種表述。

“四基”是“雙基”內(nèi)涵豐富發(fā)展和分化的結(jié)果，是我國數(shù)學課程改革的一次重大突破，是數(shù)學課程目標的一種新要求。由傳統(tǒng)的“雙基”發(fā)展成“四基”，體現(xiàn)了我國基礎(chǔ)教育在繼承中發(fā)展的特色。

二、“四基”內(nèi)涵分析

1.基礎(chǔ)知識、基本技能

基礎(chǔ)知識指數(shù)學中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容所反映出來的數(shù)學方法?；炯寄苤改軌虬凑找欢ǖ某绦蚺c步驟運算、作圖或畫圖，能夠進行簡單的推理。

對于“雙基”的內(nèi)容，即對于什么是學生應(yīng)該掌握的“基礎(chǔ)知識”和“基本技能”，在信息技術(shù)突飛猛進，獲取知識、技能的渠道大大增加的當今時代，應(yīng)該與時俱進。新版的《數(shù)學課程標準》適當刪減了繁雜的計算（如三位數(shù)乘三位數(shù)等）、重復(fù)的內(nèi)容（如等腰梯形）等，適當增加了數(shù)感、估算、算法、符號意識、收集和處理數(shù)據(jù)、統(tǒng)計初步、數(shù)學建模初步等內(nèi)容，就是數(shù)學“雙基”內(nèi)容與時俱進的具體體現(xiàn)。

2.基本思想

數(shù)學思想是對數(shù)學事實與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認識，是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果。數(shù)學基本思想是數(shù)學產(chǎn)生和發(fā)展所依賴的思想，是學生領(lǐng)會之后能夠終身受益的數(shù)學思想。數(shù)學基本思想是體現(xiàn)或應(yīng)該體現(xiàn)于基礎(chǔ)數(shù)學中具有奠基性、總結(jié)性的，最廣泛的數(shù)學思想，它含有傳統(tǒng)數(shù)學思想的精華和現(xiàn)代數(shù)學思想的基本特征，并且歷史地發(fā)展著。

數(shù)學發(fā)展所依賴的思想，本質(zhì)上有三個，它們構(gòu)成數(shù)學的基本思想。第一個是抽象。數(shù)學中的抽象指，把人們?nèi)粘Ｉ詈蜕a(chǎn)實踐中那些和數(shù)學有關(guān)的東西析取出來，作為數(shù)學研究的對象。第二個是推理。數(shù)學自身的發(fā)展依靠的是推理，即在一些假設(shè)下，按照一定的邏輯規(guī)律進行推理，得到命題和定理。第三個是模型。模型是溝通數(shù)學與外部世界的橋梁。模型是在講故事，是用數(shù)學語言表達的現(xiàn)實生活中的故事。

數(shù)學思想不同于數(shù)學方法或數(shù)學思想方法。數(shù)學思想往往是觀念的、全面的、普遍的、深刻的、一般的、內(nèi)在的、概括的，而數(shù)學方法往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、具體的、程序的、技巧的。數(shù)學思想常常通過數(shù)學方法去體現(xiàn)，而數(shù)學方法又常常反映了某種數(shù)學思想。

數(shù)學思想是數(shù)學教學的核心和精髓，數(shù)學教學中應(yīng)該努力反映和體現(xiàn)數(shù)學思想，讓學生體會和領(lǐng)悟數(shù)學思想，提高數(shù)學素養(yǎng)。

3.基本活動經(jīng)驗

基本活動經(jīng)驗指學生親自或間接經(jīng)歷了活動過程而獲得的經(jīng)驗?；净顒咏?jīng)驗是個體在經(jīng)歷了具體的學科活動之后留下的具有個體特色的內(nèi)容，既可以是感覺知覺的，也可以是經(jīng)過反省之后形成的經(jīng)驗?；净顒咏?jīng)驗包含策略性內(nèi)容，模式性、方法性內(nèi)容與體驗性內(nèi)容等，又可以區(qū)分為操作的經(jīng)驗、探究的經(jīng)驗、思考的經(jīng)驗與復(fù)合的經(jīng)驗?；净顒咏?jīng)驗包含歸納概括、類比推廣、數(shù)學表達、證明四個核心成分，也可以簡單區(qū)分為思維的經(jīng)驗和操作的經(jīng)驗。

數(shù)學活動經(jīng)驗從本質(zhì)上講是關(guān)于數(shù)學活動的緘默知識，它儲存于人的潛意識中，對數(shù)學直覺思維的產(chǎn)生起著重要的作用。

數(shù)學基本活動經(jīng)驗與基礎(chǔ)知識不同。知識可以傳遞;數(shù)學基本活動經(jīng)驗不能被傳遞，需要親身經(jīng)歷和感悟。數(shù)學基本活動經(jīng)驗也不同于數(shù)學能力。能力能被人為細化，直接影響活動效率;數(shù)學基本活動經(jīng)驗更為綜合，沒有直接載體說明經(jīng)驗的有無或強弱，但一定時間積淀的思維模式反映數(shù)學基本活動經(jīng)驗積累的結(jié)果。數(shù)學基本活動經(jīng)驗是經(jīng)歷和感悟了數(shù)學歸納推理和演繹推理后積淀的思維模式，最終建立一定的數(shù)學直觀。

積累基本活動經(jīng)驗可以幫助學生理解數(shù)學知識，感悟數(shù)學學科思維方式。在數(shù)學課程教學中，基本活動經(jīng)驗是綜合實踐活動的基本目標之一，是過程與方法目標的具體化，它與基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想同等重要。

4.四基之間的關(guān)系

（1）“雙基”教學是我國的教學傳統(tǒng)，但是已經(jīng)不能適應(yīng)當今時代的發(fā)展。從方法論的角度分析，我國中小學數(shù)學教育的優(yōu)勢在于基礎(chǔ)知識（概念記憶與命題理解）扎實、基本技能（證明技能與運算技能）熟練，這與數(shù)學“雙基”教育所希望達到的目的是一致的。但是，從人發(fā)展的角度、從培養(yǎng)創(chuàng)新性人才的角度考慮，這種知識靠記憶、技能靠熟練的方法依賴于“熟能生巧”的傳統(tǒng)模式，是不夠的、甚至是不利的。事實上，真理的發(fā)現(xiàn)主要靠歸納（即廣義的歸納，也稱之為合情推理），而驗證、證明真理需要靠演繹。所以，必須將基本思想、基本活動經(jīng)驗放置到與基礎(chǔ)知識、基本技能同等重要的位置。這正是新版《數(shù)學課程標準》的亮點之一。

（2）讓學生獲得基本思想和基本活動經(jīng)驗是培養(yǎng)創(chuàng)新能力的需要。創(chuàng)新，本質(zhì)上源于歸納，而歸納能力是建立在實踐基礎(chǔ)上的。歸納能力的培養(yǎng)可能會更多地依賴于“過程的教育”，依賴于經(jīng)驗的積累。這種積累正是基本思想、基本活動經(jīng)驗的積累和形成過程。也就是說，基本思想、基本活動經(jīng)驗只能在過程中加以培養(yǎng)，而不能采取簡單的結(jié)果式的教育方式。這里的“過程的教育”并不是指在授課時要講解，或者讓學生經(jīng)歷知識產(chǎn)生的過程，甚至不是指知識的呈現(xiàn)方式，而是指學生思考的過程、探究的過程、預(yù)測的過程、抽象的過程、推理的過程、反思的過程等。通過這些過程，學生親身感悟歸納、演繹的思想和方法，逐漸積累歸納、演繹并舉的思考與實踐的直接經(jīng)驗，而這些恰恰是傳統(tǒng)數(shù)學課堂教學中被忽視的東西。

（3）隱性的基本思想、基本活動經(jīng)驗必須與顯性的基礎(chǔ)知識、基本技能相結(jié)合?；A(chǔ)知識和基本技能是數(shù)學教學的主要載體，需要花費較多的課堂時間;數(shù)學思想是數(shù)學教學的精髓，是統(tǒng)領(lǐng)課堂教學的制高點;數(shù)學活動是不可或缺的教學形式與過程。從知識的角度來看，“雙基”是一種理性的、形式化的結(jié)果性知識，而基本活動經(jīng)驗則是一種感性的、情景化的過程性知識。它們各自強調(diào)了數(shù)學內(nèi)容的一個側(cè)面，前者形成的是一種知識系統(tǒng)，后者形成的是一種經(jīng)驗系統(tǒng)，二者的有機結(jié)合才能形成完整的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)。就方法而言，“雙基”以演繹法為主，而結(jié)論的預(yù)測與發(fā)現(xiàn)、推理思路的探索與調(diào)整以及知識的實際應(yīng)用等，靠演繹法是推不出來的。

三、如何培養(yǎng)

首先，基本思想、基本活動經(jīng)驗必須融于基礎(chǔ)知識、基本技能的教學之中。義務(wù)教育數(shù)學教學就是要幫助學生在獲得必要的基礎(chǔ)知識和基本技能、感悟數(shù)學基本思想、不斷積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗的過程中，逐步提高發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，逐步發(fā)展數(shù)學實踐能力及創(chuàng)新意識，樹立初步的科學精神，促進學生學會學習。

一方面，在數(shù)學概念、公式、法則、命題等的形成過程中培養(yǎng)學生的抽象思想，是數(shù)學抽象思想、思維經(jīng)驗培養(yǎng)的主渠道。數(shù)學課程教學中，在展示數(shù)學對象逐級抽象的同時，也要充分展示數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展的鮮活過程，即通過直覺、借助歸納，進而思考、預(yù)測結(jié)論，通過演繹推理驗證結(jié)論。另一方面，我們要在數(shù)學概念、數(shù)學技能和命題、法則等的教學中，注重培養(yǎng)學生的歸納、類比、邏輯推理等數(shù)學思想。歸納、類比、邏輯推理等數(shù)學基本思想的培養(yǎng)，必須融入基礎(chǔ)知識、基本技能的日常教學之中，這是中小學數(shù)學教學的主渠道。

其次，基本思想、基本活動經(jīng)驗也需要專門、專題培養(yǎng)。

第一，綜合實踐領(lǐng)域的教學是積累基本活動經(jīng)驗的主渠道之一。數(shù)學課程標準中明確提出：“參與綜合實踐活動，積累綜合運用數(shù)學知識、技能和方法等解決簡單問題的數(shù)學活動經(jīng)驗?！边@個過程與發(fā)展“四能”是融為一體的。例如：

觀察下列問題：

（1）計算：15×15? 25×25

（2）你能發(fā)現(xiàn)什么共性規(guī)律？能推廣嗎？

（3）如何向別人說明其正確性呢？

問題（1），學生通過計算得出15×15=225，25×25=625。

其共性規(guī)律，即問題2，在學生觀察、思考的基礎(chǔ)上，教師出示：□5×□5=25，其中的=□×（□+1）。學生通過計算發(fā)現(xiàn)：問題（1）中的兩道計算題，“”的數(shù)字都是相同因數(shù)十位上的數(shù)字乘這個數(shù)字加1。這個發(fā)現(xiàn)對不對，需要進一步驗證。學生用“45×45”驗證發(fā)現(xiàn)，用“4×（4+1）”的方式，得到的結(jié)果“2025”與筆算的結(jié)果“2025”是一致的。從而，證明猜想的規(guī)律可能是正確的。

如何向別人說明其正確性呢？“□5”用字母表示就是“10·□+5”，于是，“□5×□5”可以寫成“（10·□+5）·（10·□+5）”，利用乘法對加法的分配律，可以得到其結(jié)果是“100×□×（□+1）+25”。從而，發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是正確的。

上述案例在鞏固“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”基礎(chǔ)知識、基本技能的過程中，讓學生再次經(jīng)歷歸納和猜測的思維過程、推理過程，獲得了“個案1、…、個案n→歸納出一個共性規(guī)律，猜測→驗證自己的猜測→得出一般結(jié)論”的直接經(jīng)驗和體驗，經(jīng)歷了一次“數(shù)學家式”的思考過程。教學的層次性并不是在知識技能的簡單重復(fù)上下功夫，而是按照知識技能的復(fù)雜程度、學科思維的深廣度、待解決問題的繁難程度等多條線索，交替螺旋上升，進而讓學生獲得知識技能形成的經(jīng)驗、獨立思考的經(jīng)驗、猜測發(fā)現(xiàn)的直接經(jīng)驗和體驗，最終形成良好的數(shù)學學科直觀，提升其數(shù)學學科素養(yǎng)。這種過程性教學正是數(shù)學教育的魅力之所在。

第二，數(shù)學抽象思想存在于數(shù)學概念、命題的發(fā)展過程之中，在獲得概念、命題的同時也要關(guān)注數(shù)學抽象思想的培養(yǎng)。

教學“兩位數(shù)加一位數(shù)的進位加法”“27+5=？”時，我們可以借助“十個雞蛋一盒”這個經(jīng)驗。學生已經(jīng)擁有相對豐富的類似經(jīng)驗或經(jīng)歷——“27”表示兩盒雞蛋+一盒不滿的雞蛋（即盒子里有7個雞蛋，這意味著空著3個空位），另有5個雞蛋。一共幾個雞蛋呢？借助生活經(jīng)驗，學生很自然地將5個雞蛋中的3個拿出來，填補在第三盒雞蛋的3個空位上，即將空位補齊，湊成一整盒，余下2個雞蛋。這就是將5分成3與2的和，用3與27湊成30，因而，結(jié)果是32。這是最樸素的“湊十進位”，而這里的“一（整）盒”就是最直接、最形象的“十位”原型，屬于典型的借助“實物”的直接抽象。

在上面的過程中，學生一方面能夠獲得操作的經(jīng)驗，另一方面逐漸積淀“十進位”的抽象經(jīng)驗，逐步感知位置制，形成“兩位數(shù)加一位數(shù)的進位加法”的運算技能。

第三，數(shù)學模型思想的培養(yǎng)往往與基本活動經(jīng)驗的積淀融為一體。例如，“雞兔同籠”問題：今有雞兔同籠，上有35個頭，下有94只足，問雞兔各有幾只？

這道題用列方程的方法解答比較簡單。采取列方程法解決問題，關(guān)鍵在于建立方程“模型”的抽象過程：

①發(fā)現(xiàn)問題中的等量關(guān)系。即：雞腳數(shù)與兔腳數(shù)之和，就是總腳數(shù);雞頭數(shù)與兔頭數(shù)之和，就是總頭數(shù);每只雞的腳數(shù)比每只兔的腳數(shù)少2”。

②用等式表達關(guān)系。即：雞腳數(shù)+兔腳數(shù)=總腳數(shù);雞頭數(shù)+兔頭數(shù)=總頭數(shù);每只雞的腳數(shù)=每只兔的腳數(shù)-2。

③用符號語言表達關(guān)系。即：雞+兔=94;雞+兔=35。其中，“雞”表示雞的總腳數(shù)，“兔”表示兔的總腳數(shù);“雞”表示雞的總頭數(shù)，“兔”表示兔的總頭數(shù)。

④用含有未知數(shù)的方程表達關(guān)系。即：設(shè)籠中有兔[x]只，由第二個關(guān)系知道雞有（35-x）只，于是，兔的總腳數(shù)為4x，雞的總腳數(shù)為2·（35-[x）。將這個關(guān)系帶入另一個等式，得：4x+2（35-x）=94.

解方程的基本思路是，將含有未知數(shù)的項放在方程的一邊，將不含未知數(shù)的項放在另一邊，進行代數(shù)式化簡和計算。即，將方程化為“ax=b”的形式，進而求出解：[x=12]。解方程的要點在于“化繁為簡、化生為熟”的化歸思想。

利用列一元一次方程解決問題，核心在方程建模的過程，即：發(fā)現(xiàn)問題中的等量關(guān)系-用等式表達關(guān)系-用符號語言表達關(guān)系-用含有未知數(shù)的方程表達關(guān)系-一元一次方程。

總之，數(shù)學基本思想的培養(yǎng)、基本活動經(jīng)驗的積淀，必須融入數(shù)學知識、技能的日常教學之中，而不能“孤軍奮戰(zhàn)”。同時，充分利用綜合實踐領(lǐng)域的教學，是培養(yǎng)學生基本活動經(jīng)驗不可缺少的載體。

責任編輯? 姜楚華

孔凡哲

教育學博士，中南民族大學教育學院副院長、二級教授、博士生導(dǎo)師，中南民族大學教育碩士學位中心主任，湖北民族教育研究中心主任，全國高考數(shù)學命題專家，國家義務(wù)教育數(shù)學課程標準研制組核心成員，高中數(shù)學課程標準研制組成員，教育部中學教師專業(yè)標準研制組成員、義務(wù)教育質(zhì)量監(jiān)測專家、教育現(xiàn)代化縣級示范區(qū)評估專家、哲學社會科學重大重點項目評審專家;主持完成國家、省部級以上科研項目12項;出版專著47部;先后獲得教育部第七屆高等學?？茖W研究（人文社會科學）優(yōu)秀成果獎著作獎、教育部第四屆全國教育科學優(yōu)秀成果獎著作獎、教育部第五屆全國教育科學優(yōu)秀成果獎著作獎等獎項。