數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于它的自由

姜楚華 胡小英

2019年11月18日，宜昌市五峰縣漁洋關(guān)鎮(zhèn)小學(xué)數(shù)學(xué)老師伍愈文一路過關(guān)斬將，闖入湖北教育第一屆“教研名師”評選復(fù)賽現(xiàn)場，主講了《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識》。她將古詩詞、數(shù)學(xué)文化歷史等巧妙地與學(xué)科教學(xué)相融合，引導(dǎo)學(xué)生在想一想、折一折、畫一畫、說一說的過程中深度思考、充分表達(dá)，讓學(xué)生在自然而然的狀態(tài)下理解了分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，提升了數(shù)學(xué)思維能力。憑借完美的表現(xiàn)，伍愈文收獲了“湖北教育第一屆‘教研名師”的殊榮。

“數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于它的自由?！北荣惤Y(jié)束后，伍愈文用這句話分享自己對數(shù)學(xué)的認(rèn)識?！斑@句話不是我說的，”看著大家略顯疑惑的眼神，她粲然一笑，“是德國數(shù)學(xué)家、集合論創(chuàng)始人康托爾的名言，但我一直在嘗試著理解數(shù)學(xué)家的思想，并把它們化成教學(xué)實(shí)踐?！?/p>

用事業(yè)的心態(tài)，精心經(jīng)營職業(yè)

伍愈文入職時(shí)并不教數(shù)學(xué)。用她的話說，她教數(shù)學(xué)是“半路出家”。1992年，伍愈文從枝城師范畢業(yè)后被分配到五峰縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)，教語文。2002年初，一位同事因事請假，她被臨時(shí)調(diào)劑到數(shù)學(xué)崗位。這年10月，宜昌市舉行小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)競賽，她脫穎而出，“意外地”獲得了全市一等獎(jiǎng)。這次“意外”徹底改變了她的學(xué)科方向，一顆數(shù)學(xué)“新星”即將在五峰的土地上冉冉升起。

對于小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的認(rèn)識，伍愈文經(jīng)歷了艱難的求索過程。

最初，伍愈文認(rèn)為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的要義是“理解”。這種認(rèn)識，源于她聽過的一節(jié)公開課。這節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是“18÷6”。課堂上，執(zhí)教老師告訴學(xué)生，“18÷6=3”，商應(yīng)寫在個(gè)位上。“為什么一定要寫在個(gè)位上呢？”一名男生迷惑地問?！坝?8個(gè)蘋果，每盤裝6個(gè)，需要3個(gè)盤子。3是個(gè)位上的數(shù)，所以寫在個(gè)位上?！苯處熤钢滩纳系牟鍒D，再次耐心地講解，然后進(jìn)入下一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)。然而，后半節(jié)課，這名男生一直雙眉緊蹙，顯出迷茫的神態(tài)。下課后，伍愈文走到男生身邊，問他是不是還沒想明白。男生點(diǎn)點(diǎn)頭。伍愈文在草稿紙上畫出一個(gè)簡易計(jì)數(shù)器，讓他先表示出18，然后按6個(gè)一份的方式進(jìn)行平均分。僅僅分出一個(gè)6，男生就發(fā)現(xiàn)只有把1個(gè)10轉(zhuǎn)換成10個(gè)1才能繼續(xù)平均分，而10個(gè)1和1個(gè)8合起來是18個(gè)1，所以商要寫在個(gè)位上。這個(gè)場景不止一次出現(xiàn)在伍愈文眼前，讓她意識到，如果教師忽視過程的引導(dǎo)，只告訴學(xué)生固定的結(jié)論，學(xué)生就不能真正理解知識，而這樣的教學(xué)是低效甚至無效的。

有了這樣的認(rèn)識，伍愈文在設(shè)計(jì)、組織教學(xué)時(shí)，就特別重視“理解的過程”。教學(xué)《平行與垂直》時(shí)，為了讓學(xué)生明白“互相”“相交”的概念，她先通過金箍棒可以無限延長，讓學(xué)生進(jìn)一步感悟直線的特征，然后通過真假美猴王打斗的場面，讓學(xué)生體會“互相”是就雙方而言，如果只有一方，就不能稱之為“互相”，而“相交”的概念，學(xué)生在真實(shí)的場景中，也一看便知了。教學(xué)《分一分（二）》時(shí)，為了幫助學(xué)生認(rèn)識“多個(gè)物體也可以看作單位1”，她開課時(shí)就創(chuàng)設(shè)小明在家招待好朋友的情景，讓學(xué)生把一大一小兩個(gè)蘋果平均分給兩個(gè)朋友。學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)，很容易想到每人分得每個(gè)蘋果的二分之一，從而初步建立了“多個(gè)物體也可以看作單位1”的認(rèn)知。類似的教學(xué)，學(xué)生很感興趣，記憶得也牢固。這讓伍愈文意識到，小學(xué)生尤其是低年級學(xué)生以感性思維為主，對于一些抽象性的知識，教師創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)那榫白寣W(xué)生切身感受、體驗(yàn)、探究，學(xué)生對知識的理解就會更加透徹。圍繞這樣的思想，伍愈文構(gòu)建出一套行之有效的“明理教學(xué)”策略。其結(jié)晶是，2006年，她參加湖北省小學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課競賽，執(zhí)教的《統(tǒng)計(jì)》獲得一等獎(jiǎng)。

憑借著對數(shù)學(xué)教學(xué)的獨(dú)到認(rèn)識和自主構(gòu)建的教學(xué)策略，伍愈文在行業(yè)內(nèi)的影響越來越大，各級各類賽課的賽場上、各級各類專業(yè)刊物上、送教下鄉(xiāng)的隊(duì)伍中、專業(yè)培訓(xùn)的講臺上，乃至電視中，經(jīng)常能看到她的身影。忙碌讓她感到充實(shí)，然而閑暇時(shí)，她總是感覺到，自己的教學(xué)思想和教學(xué)形態(tài)仍有提升空間，但從哪里入手，她理不清頭緒，找不到方向。轉(zhuǎn)機(jī)出現(xiàn)在2017年。那年12月，伍愈文經(jīng)過層層選拔，成為新世紀(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)第五屆高研班學(xué)員。兩年的研修中，她在北師大版數(shù)學(xué)教材主編劉堅(jiān)、孔企平等人的指導(dǎo)下，深入開展了“基于二年級學(xué)生位值系統(tǒng)理解現(xiàn)狀的教學(xué)策略研究”。這次研究讓她幡然醒悟，她面臨的問題是，這么多年一直是以“教書”的心態(tài)，而不是以“研究者”的心態(tài)在做教學(xué)工作。以研究者的心態(tài)審視自己，伍愈文發(fā)現(xiàn)，僅僅讓學(xué)生感受、體驗(yàn)、探究是不夠的，應(yīng)該讓學(xué)生自主尋找材料、自主設(shè)計(jì)方案、自主開展探究、自主發(fā)現(xiàn)問題并找到解決方案。唯有如此，才能讓學(xué)生在理解知識的同時(shí)，獲取數(shù)學(xué)智慧。圍繞這樣的認(rèn)識，伍愈文在“明理教學(xué)”策略的基礎(chǔ)上，正式提出了“睿理數(shù)學(xué)”教學(xué)思想。

思維的深度，決定行動(dòng)的高度

睿理數(shù)學(xué)的“理”包含三層意思：理解，理順，理用。

理解針對的是某個(gè)單一的知識點(diǎn)。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，通過自主學(xué)習(xí)真正懂得了知識發(fā)生的過程及結(jié)果，就是理解。理順針對的是知識鏈。任何一個(gè)知識點(diǎn)都不會孤立地存在，尤其是數(shù)學(xué)知識，知識點(diǎn)與知識點(diǎn)之間的聯(lián)系非常緊密，相互構(gòu)成一個(gè)知識鏈。學(xué)生只有建立起某類知識的知識鏈，才能深入理解相關(guān)的知識點(diǎn)。理用強(qiáng)調(diào)一個(gè)“用”字。明代著名教育家王守仁說：“知是行之始，行是知之成?！睌?shù)學(xué)學(xué)習(xí)也是這樣，將學(xué)習(xí)到的知識運(yùn)用于實(shí)踐，會加深學(xué)生對知識的理解。三者之間是螺旋上升的關(guān)系——理解是基礎(chǔ)性要求，理順是系統(tǒng)認(rèn)識，理用是綜合實(shí)踐。數(shù)學(xué)教學(xué)中，針對某一類知識，教師要盡可能地引導(dǎo)學(xué)生完整地經(jīng)歷這樣一段學(xué)習(xí)歷程。

如何實(shí)現(xiàn)呢？伍愈文認(rèn)為，教師要訓(xùn)練宏觀把握教材、解讀教材的能力。數(shù)學(xué)教材對知識的呈現(xiàn)遵循著“循序漸進(jìn)、螺旋上升”的原則。教師研讀教材時(shí)，不能只局限于某課、某單元、某冊、某年級、某學(xué)段，甚至于小學(xué)數(shù)學(xué)教師不能只關(guān)注小學(xué)階段的教材編排，至少要把義務(wù)教育階段的教材作為一個(gè)整體，宏觀地進(jìn)行審視。只有這樣，才能清晰地看出某類知識在這個(gè)階段教學(xué)的上限與下限，進(jìn)而準(zhǔn)確地確定它在某節(jié)課中的位置。

思維的深度決定行動(dòng)的高度。伍愈文的課堂上，知識的出現(xiàn)從來不顯得“突?！薄W(xué)生楊覃杰對此深有感觸：聽伍老師的課，我們能清晰地知道所學(xué)的知識“從哪里來”“到哪里去”，所以學(xué)起來心里“特有底”“特輕松”。雖然時(shí)間已經(jīng)過去了很久，但楊覃杰仍然清楚地記得上《數(shù)的認(rèn)識》這節(jié)課時(shí)的情景。一上課，伍老師就給大家出示了一段文字：

五峰是中國名茶之鄉(xiāng)，山地氣候顯著，年最低氣溫-4℃左右，近[12]的耕地種茶，茶園總面積達(dá)1.3萬畝。陽春三月，大大小小的茶寶寶在五峰的山間地頭翩翩起舞。劉奶奶聘請了4位采茶人，與他們的約定是賣茶收入各得50%。一天下來，張阿姨采了1斤，采得最多;王爺爺只有0.5斤，采得最少。

大家自主地找出這段文字中的數(shù)字，將其分成“整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)”三類。伍老師先通過數(shù)直線，讓大家清晰地看到整數(shù)包括“負(fù)整數(shù)、0、正整數(shù)”;接著借助[12]、50%、0.5，讓大家發(fā)現(xiàn)“分?jǐn)?shù)是小數(shù)的特殊形式”，進(jìn)而將“數(shù)”細(xì)分為正整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、0、負(fù)整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù);然后通過動(dòng)手測量同桌的身高、展示課外搜集到的負(fù)數(shù)、小數(shù)等，感受這些知識在生活中的廣泛應(yīng)用;最后通過動(dòng)畫“數(shù)的產(chǎn)生”，讓大家明白負(fù)數(shù)產(chǎn)生的原因以及在生活中的運(yùn)用。

短短40分鐘，學(xué)生對“數(shù)”的來龍去脈及整體構(gòu)成形成了系統(tǒng)性的認(rèn)識，而教師在其中只起到了“穿針引線”的作用。這樣的課收放自如，堪稱“大氣”！五峰縣中小學(xué)教研培訓(xùn)中心主任許海蓉如是評價(jià)。“大氣”是對伍愈文多年來孜孜以求所取得的成就的贊譽(yù)，也是對她的課堂教學(xué)風(fēng)格的中肯評價(jià)。

只要存乎一心，世上沒有到達(dá)不了的路

睿理數(shù)學(xué)的“?！卑膶右馑迹侯Ｋ迹?，睿行，睿智。四者之中，前三個(gè)方面是具體的表現(xiàn)形式，第四個(gè)方面是教學(xué)的終極目的。就“?！焙汀袄怼眱煞矫娑裕袄怼笔蔷唧w的表現(xiàn)形式，“?！笔墙虒W(xué)的終極目的?！邦！笔恰袄怼钡纳衔桓拍?，指向?qū)W生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。學(xué)生經(jīng)過一個(gè)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，只有達(dá)到了“?！钡膶哟?，才算得上進(jìn)行了真正意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。這正是伍愈文“睿理數(shù)學(xué)”的內(nèi)涵，也是她多年的教學(xué)理想和追求。

通向“睿”的路有很多條，伍愈文更看重的是“自由”——教師的自由，學(xué)生的自由。

伍愈文教學(xué)的“大氣”，除上文提到的方面之外，還有一種表現(xiàn)：無論哪個(gè)級別的競賽課、展示課，她的教案都簡簡單單，既沒有寫出對學(xué)生各種表現(xiàn)的預(yù)測，也沒有寫出相應(yīng)的處理方案。2018年12月，她參加全國教育系統(tǒng)教育教學(xué)成果優(yōu)質(zhì)課競賽，教學(xué)內(nèi)容是上文提到的《分一分（二）》。同事們看到她提交的教案時(shí)，都替她捏了一把汗，只有校長尹開海不急不躁，一副胸有成竹的神態(tài)，因?yàn)樗?，伍愈文已?jīng)把各種預(yù)案都“裝在了心里”。結(jié)果不出所料，伍愈文順利捧回了一等獎(jiǎng)。伍愈文并不反對教學(xué)前要盡可能地把教學(xué)預(yù)案做詳細(xì)，但她同時(shí)認(rèn)為，學(xué)生是充滿生機(jī)的“生命個(gè)體”，即使教師課前預(yù)設(shè)得再充分，教學(xué)過程中仍然可能出現(xiàn)意料之外的情形，所以教師不能讓預(yù)設(shè)的“筐子”束縛了自己的手腳，而要因時(shí)而動(dòng)、因事而變，以不變應(yīng)萬變，這樣才能在課堂上“揮灑自如”，讓學(xué)生得到最大程度的發(fā)展。

在伍愈文的課堂上，學(xué)生的身心都是自由的?！斗忠环郑ǘ愤@節(jié)課，在學(xué)生對“多個(gè)物體也可以看作整體1”有了初步認(rèn)識后，伍愈文把教學(xué)推進(jìn)一步：吃完蘋果，小朋友們都來了，小明拿出一盒漂亮的蛋糕（盒子里裝著9個(gè)小蛋糕，藍(lán)色的5個(gè)，黃色的4個(gè)）招待大家。你能從中找到哪個(gè)分?jǐn)?shù)呢？學(xué)生正確地找出兩個(gè)分?jǐn)?shù)、愉悅地品嘗完蛋糕后，伍愈文指著空盒子問大家：里面還能不能裝其他東西、能裝多少;如果不用這個(gè)盒子，剛才所說的東西能不能裝到其他地方。在問題的引導(dǎo)下，學(xué)生的思維局限被突破，對“整體1”有了更準(zhǔn)確的認(rèn)識。最后，她通過生活中、教室里的隨機(jī)情景，讓學(xué)生深入地理解了知識點(diǎn)，達(dá)成了教學(xué)目標(biāo)。

數(shù)學(xué)來源于生活，剝離了生活情境，讓學(xué)生“干巴巴”地學(xué)數(shù)學(xué)，這樣的教學(xué)是無趣的，學(xué)生不可能在數(shù)學(xué)的海洋里自由遨游，獲得身體上和心靈上的愉悅。伍愈文說：數(shù)學(xué)是人類發(fā)現(xiàn)的最美妙的藝術(shù)之一。形式的美、應(yīng)用的美顯而易見，思想上的美更令人神往——人類腳步到達(dá)不了的地方，數(shù)學(xué)卻可以到達(dá)，而且到達(dá)的方式不止一種，這或許正是“數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于它的自由”的真正內(nèi)涵。

“雖不能至，心向往之！”伍愈文的眼神里寫滿憧憬。誰說“不能至”呢？只要存乎一心，世上本沒有到達(dá)不了的路，伍愈文分明已走在了通往“自由”的路上，而且一定會越走越遠(yuǎn)。

責(zé)任編輯 姜楚華