關于排污水管的優(yōu)化設計模型

馬君兒　李東明

【摘要】為了響應“五水共治”決策，多地都在重新鋪設排污水管道，以達到排污整治的效果。本文前兩個小題是一個非線性規(guī)劃（NLP）的優(yōu)化模型，通過尋找線路（折線段形式）的最優(yōu)轉折點位置，借助微積分、幾何學知識，及Matlab軟件的調(diào)用，得到污水管的最優(yōu)布置方案和造價總費用的最小值。并且利用求多元函數(shù)的極值方法，得到污水處理池造價最低時的設計尺寸與污水池造價的最小值。

【關鍵詞】管線布置? 造價? 最優(yōu)? 距離

一、問題的提出

青山綠水就是金山銀山。水是生命之源，水與浙江有著淵源：由于浙江省內(nèi)分布著錢塘江、甌江、苕溪、甬江、靈江、飛云江、鰲江等七大河流，因此水也是浙江之源。浙江作為沿海發(fā)達地區(qū)，隨著經(jīng)濟的迅猛發(fā)展，水環(huán)境正在承受著越來越大的壓力。為了保護生態(tài)環(huán)境，防止河流被工業(yè)污水、生活污水等污染，浙江省委十三屆四次全會，提出了“治污水、防洪水、排澇水、保供水、抓節(jié)水”的“五水共治”決策。其目的要求，是要以“五水共治”為契機，讓水與人更好地和諧相處?！爸挝鬯弊鳛椤拔逅仓巍钡氖滓蝿?，主要是通過污水處理， 整治垃圾河、黑河、臭河里的水，讓其水質(zhì)基本達到無毒無害、不黑不臭，讓水可用于農(nóng)田灌溉，讓人可在河中游泳。

具體問題如下

（1）假設浙江省某城鎮(zhèn)有甲（位于點A）、乙（位于點B）兩工廠，都處于線段CD同側，A離線段CD的距離為a，垂足為C，B離線段CD的距離為b，垂足為D，CD的間距離為，現(xiàn)準備在線段CD上取點E，造一個容積為K的無蓋長方體的污水處理池。假設：從甲、乙兩廠至點E間鋪設的污水管單位造價（萬元/千米）一致，問：E點選在何處，使得鋪設排污水管的總造價最低？

（2）假設甲、乙兩廠的具體位置由圖1所示，其中B位于城區(qū)（圖中的II區(qū)域），A位于郊區(qū)（圖中的I區(qū)域），城區(qū)與郊區(qū)兩個區(qū)域的分界線用圖中的虛線表示。圖中各字母表示的距離（單位：千米）分別為a=5，b=8，c=15，l=20。若所有管線的鋪設費用均為每千米0.72萬元。但鋪設在城區(qū)的管線還需增加附屬物的拆遷補償?shù)雀郊淤M用，設附加費用為0.2（萬元/千米），請給出排污管線的布置方案及相應的費用？

（3）對于問題一與問題二中，如果還準備在點E處造一個容積為V的無蓋長方體的污水處理池，假設池底與四個側面的單位造價（萬元/平方米）相同，問：應如何選擇污水處理池的尺寸，方可使污水處理池的總造價最低？

二、模型的假設

①兩個工廠及所有排污管線均在線段的同一側。②忽略地域、地貌等對污水管鋪設上的影響，非共用管線與共用管線均以直線段鋪設。③當城區(qū)考慮附加費用時，假設污水處理池選址在郊區(qū)。④假設污水處理池選址位于甲、乙兩廠所鋪設的管線的交點M在CD線段上的投影點。⑤假設每支段上的管線單位造價（萬元/千米）相同。⑥假設污水處理池是容積為V無蓋的長方體，且池底與四個側面的單位造價（萬元/平方米）相同。

三、符號的說明

α： a：甲廠到CD的垂直距離;b：乙廠到CD的垂直距離;1：CD間的直線段長度;M：甲廠、乙廠污水管線的交點;E： 污水處理池的選址;k：附加費用（萬元/千米）;F： 乙廠的污水管線同郊區(qū)和城區(qū)的分界線的交點;q1：鋪設甲廠污水的管線單位造價（萬元/千米）;

q2鋪設乙廠污水的管線單位造價（萬元/千米）（不考慮附加費用）;q3鋪設兩廠共用管線的單位造價（萬元/千米）;Q：污水管線鋪設的總費用;q：污水處理池側面與池底的造價（萬元/平方米）;Z： 污水處理池的總造價。

四、模型的建立與求解

問題一：模型的建立與求解

建立以C為原點，CD所在的直線為x軸，CA所在的直線為 y軸的直角坐標系，則各點坐標為A（0，α），B（l，b），C（0，0），D（l，0），設M為（x，y），則建污水處理池處點E為（x，0）。

問題二：模型的建立與求解

此時，城區(qū)由于附屬物的拆遷補償?shù)雀郊淤M用的增加對管線建設費用造成影響，所以B廠的管線不再是一條直線段，為此，我們設B廠的管線走B--F-M折線段的形式，也就是說，在問題1的基礎上增設B廠的管線同城郊分界線的交點F（c，u），見圖2。所以有：|BF|=;|FM|=。

問題三：模型的建立與求解

設污水處理池是無蓋的長方體，且池底與四個側面的單位造價相同：為q（萬元/平方米）。設污水處理池池底的長為x，寬為y，則由長方體的體積公式，可求得：高為V/（xy），記：對應的表面積為S，總造價為Z。根據(jù)假設，則Z=q*S。其中：單位造價q（萬元/平方米）為定值，因此，只要求出表面積S的最小值就行。

事實上，表面積：s=x·y+2v（+）（x>0，y>0），則偏導數(shù)=y-，=y-。令=0且=0，得駐點（底面邊長）：x0=y0=，這時高h0=。因為表面積S的最小值必定存在，且開區(qū)域內(nèi)駐點唯一，所以，總造價的最小值就在該駐點處取得，即當污水處理池的池底長與寬都為，高為時，總造價達到最小值：Z0=3q。

五、模型的評價

（1）問題一與問題二中，都假設：甲、乙兩廠的生產(chǎn)規(guī)模基本相同。因此支流上的排污水管單位造價（萬元/千米）不妨假設相等。如果甲、乙兩廠的生產(chǎn)規(guī)模相差較大，意味著：支流的污水管應有粗細，即：支流上的排污水管單位造價（萬元/千米）q1與q2應假設為：不相等。

（2）問題二中，關于“鋪設在城區(qū)的管線還需增加附屬物的拆遷補償?shù)雀郊淤M用”，應根據(jù)不同城市、不同區(qū)域來綜合評估得到相應的附加費用。

（3）問題三中，假設污水處理池是容積為V無蓋的長方體，且側面與池底的單位造價（萬元/平方米）相同?？梢酝茝V為：池底的單位造價/側面的單位造價為p（p>1）。再利用多元函數(shù)的極值計算，推導出對應的最優(yōu)設計尺寸及最低總造價。

（4）如果是整治農(nóng)村某個自然村人們的生活污水，則應根據(jù)住房分布情況（如果整村分布范圍較廣，呈若干個片區(qū)相對集中分布），則應“分片分組布置污水管線，多建幾個小污水處理池”。這樣設計，總造價相對而言會比“集中造一個大污水處理池”要經(jīng)濟實用。

六、模型的應用

現(xiàn)狀分析：隨著政府在城市建設中人力與物力的不斷投入，中國城市的污水處理率已提前完成給定的目標，相對而言，縣城和建制鎮(zhèn)的污水處理率依然不理想。特別是農(nóng)村，一些小型企業(yè)私自排放工業(yè)污水，或不規(guī)范辦理養(yǎng)豬場，亂排污穢物，導致地下水、流域支流、河網(wǎng)的水質(zhì)持續(xù)惡化，河中的魚越來越少，甚至有些河段水體發(fā)黑發(fā)臭，直接影響人們的生活質(zhì)量與生活環(huán)境。如果不及時采取有效措施，污染將持續(xù)擴大。準對現(xiàn)狀，從上至下，各級部門應統(tǒng)一思想，創(chuàng)造條件，投入資金，重點在小城鎮(zhèn)和規(guī)模較大的村莊，鋪設排污水管道、建設污水處理設施，進行污水處理，從而改善河道水質(zhì)。相信通過政府、企事業(yè)、個人，大家的齊心協(xié)力，真正搞好“五水共治” 這項惠民工程，那么，藍天白云下，魚兒在清徹見底的溪澗暢游，一幅幅美景將隨處可見。

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作者簡介：馬君兒（1965-），女，職稱：副教授，主要從事高等數(shù)學教學;李東明（1963-），男，職稱：中學高級，主要從事中學數(shù)學教學。