一類變系數(shù)非線性擴散方程的直接間斷有限元分析①

陳亞飛, 鄭云英

(淮北師范大學數(shù)學科學學院,安徽 淮北 235000 )

0 引 言

在實際工程和科學應用中很多問題都能建立反應擴散方程來解決,對于反應擴散方程問題的數(shù)值求解,國內(nèi)外學者都進行了大量研究.L. Chen和Y. Chen[1]分析了具有不連續(xù)擴散系數(shù)的非線性反應擴散方程的雙網(wǎng)格法；Anistratov等[2]針對非線性反應擴散方程構造了一種間斷-差分流線擴散法；張榮培[3]研究了非線性反應擴散方程的直接間斷Galerkin有限元法.基于高斯積分點構造了有限元空間的基函數(shù),通過求解廣義黎曼問題得到數(shù)值通量.本文直接在間斷點處引入數(shù)值通量,將有利于構造更為高效的高階DDG計算方法.

1 預備知識

Y. Wong等人[4]討論了種群在有限空間、資源下的增長問題,并運用Fisher-KPP方程

ut=Δu+f(u)

系統(tǒng)的研究了生物遺傳基因的傳播和演化,用該方程的行波解解釋了單種群動物在一維無窮棲息地上優(yōu)良突變基因的傳播過程,其中x∈R,f(u)=u(1-u),u表示種群密度,Δu是擴散項,表示個體的大量轉(zhuǎn)移,非線性項f(u)則表示種群一定的活動規(guī)則.基于此問題,本文考慮如下形式的變系數(shù)擴散方程問題：

ut=a(x,t,u)Δu+f(x,t,u)

(1)

初始條件為：u(x,0)=u0(x),邊界條件為：

2 直接間斷有限元方法

Vh={v:v|Ij∈Pk(Ij),?Ij∈Γh},

及其范數(shù):

對方程 (1) 在每個單元Ij∈Γh上左右兩邊同時與試函數(shù)χ∈Vh作內(nèi)積,得

(?tu,χ)Ij=(a(x,t,u)Δu,χ)Ij+(f,χ)Ij,

分部積分后,得到弱形式如下:

(?tu,χ)Ij=-(a(x,t,u)Δu,χ)Ij+

(2)

引入躍度得

(3)

(f(x,tn,u(x,tn)),χ)Ω

(4)

(5)

其中數(shù)值流量為[5]:

3 誤差分析

本節(jié)分析反應擴散方程DDG方法的收斂性.為方便起見,引入如下幾個概念,設un∈H2(Ω),n=1,2,…,N,H2(Γh)={u:u|Ij∈H2(Ij),?Ij∈Γh},定義范數(shù)[5]:

引理2.1[6]設Ihu為u的插值,插值算子Ih:H2(Ij)→P1(Ij),滿足

則

‖Ihu-u‖IjCh2‖u‖2, Ij,‖Δ(Ihu-u)‖Ij

定理2.2設u∈L2([0,T];H2(Ω))是(1)的解,uh滿足(5),且ut∈L2([0,T];H1(Ω)),則有如下誤差估計:

證明:用(4)式減去(5)式,得

(6)

記:

整理得

κ1+κ2+κ3+{κ4}+{κ5}+{κ6}+{κ7}

(7)

以下討論中C為正常數(shù),且在不同的地方代表不同的數(shù)值,令χ=δn,左端項運用強制性定理[5]有

對于κ1,?ε>0,?L>0,由f(x,t,u)關于u滿足利普希茨條件,有

對于κ2,有

對于κ3,將un+1和un-1在un處泰勒展開有

對(7)中{}的每一項只在單元Ij內(nèi)證明即可.對κ4在單元Ij中有如下估計

|(a(un)Δ(un-Ihu),Δχ)Ij|

對κ5由a(u)的有界性可得

|(a(un)Δ(Ihu-Ihun),Δχ)Ij|

對κ6在單元Ij中證明,因為Δu∈L([0,T];L(Ω)),則

因Δu∈L([0,T];L(Ω)),則κ7估計如下:

將有

對上式兩邊同乘以4Δt,再對n=0,1,…,N-1,N求和,有

由離散的Gronwall不等式[6]得最終誤差估計.

4 結 語

本文嚴格地證明了中心差分/直接間斷方法對變系數(shù)擴散方程在通過構造任意階數(shù)值通量的情況下,數(shù)值解不僅具有最優(yōu)的誤差估計,還具有最優(yōu)L2誤差估計; 該方法有間斷有限元法所保持的局部物理量守恒,還易于處理復雜區(qū)域和各種區(qū)域,不需要引入輔助變量,對高維問題也減少了計算量.