一種考慮先驗信息可靠性的新算法

趙 哲，柳翠明

(廣州市城市規(guī)劃勘測設(shè)計研究院，廣東 廣州 510000)

Bayes估計在參數(shù)估計過程中充分利用了未知參數(shù)的先驗信息[1-2]，但仍有以下局限：其一，需要獲知參數(shù)的驗前分布，但測量學(xué)中的先驗信息來源多樣且復(fù)雜，導(dǎo)致先驗信息大多充斥著不確定性。這種不確定性既包含數(shù)值誤差，也包含概念誤差，既包含可度量誤差，也包含不可度量誤差[3-5]。導(dǎo)致許多先驗信息沒有統(tǒng)計性質(zhì)，也不是一個具體數(shù)值，只能用參數(shù)的可行空間，噪聲范圍等來描述[6-7]；其二，先驗信息的可靠性直接影響著估計結(jié)果，可靠的先驗信息可以提高估計效率，不可靠的先驗信息反而會降低估計精度[8-10]。目前常采用相容性檢驗方法對先驗信息進行取舍[11]，認為先驗信息完全可信或完全不可信，這一作法一定程度上提高了先驗信息利用的科學(xué)性。但在測量學(xué)中，先驗信息是指提前獲取的信息，具有一定可信度，其可信度必不會單純?yōu)?或1，而是分布于該閉區(qū)間[0,1]內(nèi)。為此，許多專家提出了先驗信息可靠性的度量方法并給出了可信度的計算公式[12-16]。但這些方法都是建立在概率論的基礎(chǔ)上，對于大地測量學(xué)中廣泛存在的充滿不確定性的先驗信息無能為力。針對以上問題，本文引入模糊理論，用模糊數(shù)集來描述測量學(xué)中的先驗信息，依據(jù)小概率事件原理[17]構(gòu)造參考信息，用先驗信息與參考信息的模糊貼近度來衡量先驗信息的可靠性，將其以權(quán)陣的形式納入估計過程以平衡不同可靠度的先驗信息在參數(shù)估計中的作用。適用于測量學(xué)中不確定性信息的數(shù)值化及其可靠性評估等問題。

1 模糊數(shù)與貼近度

文獻[18]給出了對稱模糊數(shù)的貼近度公式：

(1)

2 可靠性的度量

本文通過構(gòu)造一種近似完全可靠信息作為參考信息，用先驗信息與參考信息的模糊貼近度來衡量先驗信息的可靠性。

2.1 構(gòu)造參考信息

由于完全可靠信息難以獲取，文獻[19]基于小概率事件原理構(gòu)造了近似完全可靠信息，即以參數(shù)的最小二乘解XLS作為對稱中心，以3倍中誤差作為模糊幅度。如圖1所示，在誤差理論中，X?[XLS-3δXLS,XLS+3δXLS]的概率為0.3%，屬于小概率事件[17]。因此將參數(shù)X的參考信息構(gòu)造為[XLS-3δXLS,XLS+3δXLS]，模糊數(shù)形式寫為[XLS,3δXLS]。

圖1 可靠信息分布

2.2 可信度的計算

可信度R是衡量先驗信息可靠性的指標，將其引入?yún)?shù)估計時，應(yīng)滿足以下條件：

(1)0≤R≤1；

(2)當R越大，先驗信息越可靠，在參數(shù)估計過程中起的作用越大；反之，R越小，先驗信息越不可靠，在參數(shù)估計過程中起的作用越??；

(3)當R=0時，先驗信息完全不可靠；R=1時，先驗信息完全可靠。

模糊理論中貼近度q表示兩模糊集的接近程度，引申到測量學(xué)中，若先驗信息與參考信息越接近，則可認為先驗信息的可信度越高，且貼近度q完全符合以上條件，因此采用貼近度來衡量先驗信息的可靠性是合理的，即令

R=q

(2)

上文中構(gòu)造參數(shù)的參考信息為[XLS,3δXLS]，將參數(shù)X的先驗信息記為[X0,δx]結(jié)合式(1)與式(2)，若XLS>X0，可得出先驗信息可信度的計算公式為：

(3)

若XLS

(4)

式中,X0為先驗信息提供的參數(shù)中心值，δx為模糊幅度，表示其變動范圍。XLS和δXLS為參數(shù)最小二乘解及其中誤差。

3 模型解算

建立附有模糊先驗信息的平差模型為：

L=AX,X∈[X0,δx]

(5)

式中,L為n維觀測向量，A為n×m維系數(shù)矩陣，X為m維參數(shù)向量，X0和δx表示先驗信息提供的參數(shù)中心值以及模糊幅度。建立估計準則：

min:f(X)=(AX-L)TP(AX-L)TP(AX-L)+(X-X0)TPX(X-X0)

(6)

式中,P為觀測信息權(quán)陣，PX表示參數(shù)的先驗權(quán)陣，X0為先驗信息提供的參數(shù)中心值。本文將可信度R以先驗權(quán)陣PX的形式納入到參數(shù)估計過程中，以平衡不同可信度先驗信息在參數(shù)估計中的作用，具體步驟如下：

第一步：求得參數(shù)X的最小二乘解：

XLS=(ATPA)-1ATPL

(7)

及其相應(yīng)的中誤差陣[20]為：

(8)

式中,δ0為單位權(quán)中誤差，δXLS為參數(shù)X的中誤差；

第二步：根據(jù)上文所述，構(gòu)造參考信息，記為模糊數(shù)形式為[XLS,3δXLS]；

第三步：將先驗信息記為模糊數(shù)形式并根據(jù)式(3)或式(4)求解先驗信息與參考信息的貼近度R1,2,…m；

第四步：將第三步計算得到的貼近度R1,2,…m，構(gòu)成為先驗權(quán)陣PX，即令PX=diag(R1,R2,…,Rm)，將式(6)對參數(shù)X求偏導(dǎo)并令其等于零得：

2(AX-L)TPA+2(X-X0)TPX=0

(9)

令N=ATPA+PX，由上式推導(dǎo)得參數(shù)X的計算公式為：

X=N-1(ATPL+PXX0)

(10)

其協(xié)因數(shù)陣為：

Qxx=N-1

(11)

式中,X0為先驗信息提供的參數(shù)中心值，PX為先驗信息權(quán)陣。該算法的實質(zhì)是充分利用最小二乘估計的結(jié)果對先驗信息的可靠性進行評估與度量，選取更加合理的先驗權(quán)陣來合理利用先驗信息中的可靠成分并抑制不可靠成分的影響。

4 算例分析

4.1 模擬算例

為了驗證算法的有效性，本文通過直線方程y=1.6x生成一個不含誤差的數(shù)據(jù)列，然后在這些數(shù)據(jù)列中加入隨機誤差，得到一組模擬觀測值列于表1內(nèi)。

表1 模擬數(shù)據(jù)

由表1產(chǎn)生的數(shù)據(jù)構(gòu)造觀測向量L=[y1y2y3y4y5]T和設(shè)計矩陣A=[x1x2x3x4x5]T并建立平差模型為：

L=AX

(12)

(1)求得最小二乘解及其偏差為:

(2)利用本文所提加權(quán)算法進行解算，過程如下：

σXLS=0.266 7

第二步：構(gòu)造參考信息為[1.706 8,0.800 1]；

第三步：確定先驗信息可信度R=0.607 4；

第四步：取觀測權(quán)陣P=I，令PX=diag(R)，代入式(10)得參數(shù)解及其偏差:

(3)取PX=I，認為先驗信息完全可靠。代入式(10)得到參數(shù)解及其偏差:

圖2 擬合直線

圖3 數(shù)據(jù)點殘差分布

由上面計算結(jié)果可得如下結(jié)論：

(1)由圖2、圖3可知，本文所提顧及先驗信息可靠性的加權(quán)算法擬合直線效果明顯優(yōu)于最小二乘擬合以及不考慮先驗信息可靠性擬合；

4.2 先驗信息的不確定度約束

先驗信息的可信度用來衡量先驗信息的可靠程度，不確定度用來衡量先驗信息的精度。先驗信息的可靠性對參數(shù)估計有著重要影響，而先驗信息的精度約束同樣是參數(shù)估計中的關(guān)鍵問題，隨著先驗信息模糊幅度的增大，由式(3)及式(4)可知，先驗信息的可靠性會逐步增大，但同時先驗信息約束效力也會隨之減弱。因此為了探究先驗信息不確定度與先驗信息可信度及參數(shù)估計精度之間的關(guān)系，本文通過多次改變先驗信息的模糊幅度進行參數(shù)平差，得到先驗信息模糊幅度與先驗信息可信度及參數(shù)估計解殘差的關(guān)系如圖4所示。

圖4 模糊幅度與可信度及參數(shù)殘差之間的關(guān)系

當不考慮先驗信息進行最小二乘平差時，最小二乘解的殘差為0.106 8。由圖4分析可知：

(1)先驗信息的可信度與不確定度正相關(guān)，當模糊幅度趨于無窮大時，先驗信息可信度雖然趨近于1，但此時先驗信息已沒有約束效力，因此在顧及先驗信息的可靠性進行加權(quán)平差時，還需考量先驗信息的精度；

(2)隨著先驗信息的模糊幅度增大，雖然先驗信息可信度增高，但此時參數(shù)估計殘差也隨之緩慢增漲，說明先驗信息的精度與可靠同時對參數(shù)估計精度有著影響；

(3)當先驗信息模糊幅度小于2.5時，先驗信息可信度位于0.7左右，本文所提加權(quán)算法可顯著提高參數(shù)估計精度；當模糊幅度大于10以后，可信度對于參數(shù)估計精度提高效果均不明顯；當模糊幅度大于20以后，考慮先驗信息進行平差計算已沒有意義，說明此時先驗信息的不確定度對參數(shù)估計精度的影響已遠遠大于先驗信息可靠性的影響。

因此可知，先驗信息的精度對參數(shù)估計精度也有著重要影響，在先驗信息精度不足的情況下考慮先驗信息可靠性是沒有意義的。本文分析討論了先驗信息可靠性對參數(shù)估計的影響，但未考慮先驗信息不確定度的作用，如何進一步將先驗信息不確定度與可靠性同時納入?yún)?shù)估計過程以提高參數(shù)估計效率，有待進一步研究。

4.3 工程實例

本文選取某工程2013年變形監(jiān)測所布設(shè)的監(jiān)測網(wǎng)如圖5所示。其中,M1，M2為兩個基準點，坐標分別為(27.288,92.588)/m和(132.072,57.400)/m，JC1，JC2，JC3為三個監(jiān)測點。該工程在監(jiān)測期間，采用徠卡TC402型全站儀(測角精度為2 S，測距誤差為2 mm+2 ppm)進行周期性重復(fù)測量，觀測邊長列于表2。要求根據(jù)觀測距離確定各監(jiān)測點的坐標。

圖5 測邊網(wǎng)

邊號觀測距離/m129.145 32105.051 63115.993 9496.812 0562.457 1636.166 9731.509 7878.636 6994.238 6

依照上文所述步驟進行網(wǎng)平差。

第一步：進行最小二乘估計，結(jié)果及點位如表3所示。

第二步：構(gòu)造參考信息，寫為模糊數(shù)形式為：

圖6 點JC1分布圖

圖7 點JC2分布

圖8 點JC3分布

則可將先驗信息表示為：

由式(3)和式(4)計算得到先驗信息XZ與第三步構(gòu)造的參考信息XK的貼近度為：

R=[0.692 2 0.715 4 0.937 5 0.627 1

0.819 9 0.869 2]T；

表3 最小二乘平差結(jié)果/m

表4 加權(quán)算法平差結(jié)果/m

通過表3、表4分析比較，顧及先驗信息可靠性的加權(quán)算法平差結(jié)果較之經(jīng)典最小二乘，監(jiān)測點JC1、JC2、JC3的坐標中誤差及點位誤差均有大幅度減小，顧及先驗信息可靠性的加權(quán)算法可以有效提高參數(shù)估計精度。

5 結(jié) 論

本文針對大地測量學(xué)中先驗信息存在的不確定性以及可靠性問題，嘗試采用模糊數(shù)集來描述先驗信息，用模糊幅度表征其不確定性，并基于小概率事件原理構(gòu)造參考信息，運用先驗信息與參考信息的模糊貼近度來衡量先驗信息的可靠性并論證了其合理性，給出了可信度的計算公式，將其以權(quán)陣的形式納入估計過程以平衡不同可信度的先驗信息在參數(shù)估計中的作用，實例驗證了本文所提算法不僅能夠合理的利用先驗信息，提高參數(shù)估計精度，且一定程度上抑制了不可靠成分對參數(shù)估計的影響。