閉(附)合三角高程路線嚴(yán)密平差方法的研究

杜彥君

(西安科技大學(xué) 測繪科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710054)

隨著高精度全站儀、特別是高精度智能全站儀的廣泛使用，三角高程測量的優(yōu)越性正逐步體現(xiàn)[1-2]。相較于傳統(tǒng)水準(zhǔn)測量，三角高程測量具有操作簡便、作業(yè)效率高等特點(diǎn)，特別在高海拔、地形起伏較大、跨河等條件復(fù)雜情況下，三角高程測量優(yōu)點(diǎn)更為明顯[3-4]，已大量應(yīng)用于工程測量和大地測量中[5-7]。

現(xiàn)階段，對三角高程測量成果的評價，仍以水準(zhǔn)測量為標(biāo)準(zhǔn)，以保障三角高程測量觀測精度達(dá)到相應(yīng)等級水準(zhǔn)測量要求的研究成果居多，主要集中在完善三角高差計算式[8]、改裝儀器設(shè)備[2,5-7]、改進(jìn)觀測方法[9-11]等幾個方面；而三角高程網(wǎng)平差計算方面的研究相對較少，有：以三角高差為觀測值，以水平距離的倒數(shù)定權(quán)進(jìn)行條件(或間接)平差的傳統(tǒng)方法[12]；以斜距和天頂距為觀測值，采用驗前估計法定權(quán)進(jìn)行間接平差[13]；以水準(zhǔn)高差、三角高差為觀測值的高程混合網(wǎng)間接平差[14]。

閉(附)合三角高程路線為三角高程路線最常用的布設(shè)形式，傳統(tǒng)的平差計算[12]采用仿水準(zhǔn)路線形式，按高差閉合差反符號與距離成正比例的關(guān)系進(jìn)行分配，求高差改正數(shù)[1]，這種平差方法簡單易于理解，但定權(quán)不合理[15]，在理論上有缺陷；采用文獻(xiàn)[13]方法進(jìn)行平差計算，理論嚴(yán)謹(jǐn)，結(jié)果正確、可靠，但計算繁瑣、且閉(附)合三角高程路線采用條件平差更為簡單、快捷。因此，本文根據(jù)條件平差原理，在合理確定觀測高差權(quán)的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出嚴(yán)密的高差改正數(shù)計算式與高程中誤差計算式。

1 改正數(shù)條件方程

如圖1所示一附合三角高程路線，A、B為已知高程點(diǎn)(已知高程分別為HA、HB)，點(diǎn)1，2，3，…，n-1為待定高程點(diǎn)，各測段觀測高差為hi(i=1，2，3，…，n)。

圖1 附合三角高程路線

按條件平差[12]，附合三角高程路線有1個附合條件方程：

AV+W=0

(1)

2 觀測值權(quán)陣的確定

2.1 對向法測站觀測高差的權(quán)

如圖2所示，采用對向法觀測Z1、Z2兩點(diǎn)之間的高差。在Z1點(diǎn)安置儀器，測出Z1至Z2的高差h12；將儀器安置Z2點(diǎn)，測出Z2至Z1的高差h21。忽略球氣差與垂線偏差的影響[7]，則Z1、Z2兩點(diǎn)間對向法測站觀測高差為：

圖2 對向法觀測三角高程測量

(2)

式中，S為斜距；α為垂直角；i為儀器高；v為棱鏡高。運(yùn)用誤差傳播定律，忽略mi和mv[1]，并顧及到S1≈S2=S、α1≈-α2=α、mS1=mS2=mS、mα1=mα2=mα，得：

(3)

式中，mS為測距中誤差；mi為垂直角中誤差；ρ=206 265″。據(jù)文獻(xiàn)[15]，全站儀在設(shè)計時，測距和測角的精度一般遵循等影響的原則，有：

(4)

(5)

式中，c為任意常數(shù)；D為Z1、Z2兩點(diǎn)間水平距離。

2.2 中間法測站觀測高差的權(quán)

如圖3所示，采用中間法觀測Z1、Z2兩點(diǎn)之間的高差。在Z1、Z2兩點(diǎn)的中間位置M處安置儀器，測出M至Z1的高差hMZ1，測出M至Z2的高差hMZ2。忽略球氣差與垂線偏差的影響[7]，則Z1、Z2兩點(diǎn)間中間法測站觀測高差為：

圖3 中間法觀測三角高程測量

(6)

運(yùn)用誤差傳播定律，忽略mv[15]，并顧及到mS1=mS2=mS、mα1=mα2=mα，得：

(7)

(8)

式中，c為任意常數(shù)；D為Z1—M—Z2的水平距離，D=D1+D2。

2.3 測段高差觀測值的權(quán)

如圖1所示，設(shè)第i測段共觀測了mi個測站，則該測段的高差觀測值為：

運(yùn)用權(quán)倒數(shù)傳播定律[12]，考慮到各測站觀測高差之間相互獨(dú)立，并顧及式(5)或式(8)，可得測段高差觀測值的權(quán)為：

(9)

(10)

2.4 三角高程路線的觀測值權(quán)陣

由式(9)并顧及各測段高差觀測值之間相互獨(dú)立，可得圖1所示三角高程路線的觀測值權(quán)陣為：

(11)

3 平差及精度評定

3.1 平差值計算

(1)高差改正數(shù)

按條件平差[12]，有N=AP-1AT、K=N-1W、V=P-1ATK，顧及式(1)、式(11)，則得圖1所示第i測段高差觀測值的改正數(shù)為：

(12)

(2)高程平差值

如圖1所示，i點(diǎn)高程平差值為：

(13)

3.2 精度評定

(1)單位權(quán)中誤差

按條件平差[12]，單位權(quán)中誤差計算式為：

(14)

式中，n為觀測值個數(shù)；t為必要觀測值個數(shù)，即待定高程點(diǎn)個數(shù)。

(2)高程平差值的權(quán)

如圖1，由式(13)，可得i點(diǎn)高程平差值的權(quán)函數(shù)式為：

(15)

式中，fT=[1 … 1 0 … 0]；

按條件平差[12]，有：

(16)

(3)高程平差值的中誤差

按條件平差[12]，圖1所示i點(diǎn)高程平差值的中誤差如下。

(17)

4 結(jié) 論

(1)依據(jù)權(quán)的定義，運(yùn)用誤差理論，得出三角高程路線高差觀測值的權(quán)與測段各測站距離的平方和成反比的結(jié)論，定權(quán)公式嚴(yán)密。

(3)無需列立條件(或誤差)方程、權(quán)函數(shù)式以及法方程、協(xié)因數(shù)陣的解算等，避免了復(fù)雜、繁瑣的計算，計算效率高。