直覺模糊可退化的加權(quán)Bonferroni幾何平均算子及其在多屬性決策中的應(yīng)用

李曉然，劉曉婉，岳 芹

(皖西學(xué)院 金融與數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 六安 237012)

隨著社會的發(fā)展，人們在決策過程中遇到的對象越來越復(fù)雜，所面臨的決策信息往往具有較大的模糊性和不確定性。在這種新形勢下，為了更好地利用決策信息進(jìn)行建模，學(xué)者們在模糊集理論基礎(chǔ)上，提出了區(qū)間模糊集，type-2 模糊集，直覺模糊集等理論。由于直覺模糊集在實(shí)際決策中表現(xiàn)出的靈活性和有效性，使其倍受關(guān)注，相關(guān)理論也得到進(jìn)一步的豐富和完善，并被廣泛應(yīng)用于工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理和軍事等領(lǐng)域[1-4]。

集結(jié)算子作為信息融合的一種重要工具，一直是決策科學(xué)研究的熱點(diǎn)。目前關(guān)于直覺模糊集的集結(jié)算子研究已取得豐碩成果，例如：文獻(xiàn)[5]定義了直覺模糊加權(quán)平均(IFWA)算子以及直覺模糊有序加權(quán)平均(IFOWA：intuitionistic fuzzy ordered weighted averaging)算子，用于直覺模糊信息集結(jié)；文獻(xiàn)[6]提出直覺模糊加權(quán)幾何平均(IFWG)算子以及直覺模糊有序加權(quán)幾何平均(IFOWG)算子，求解多屬性決策問題；文獻(xiàn)[7]給出直覺模糊連續(xù)有序加權(quán)幾何平均(IFC-OWG)算子，用于解決直覺模糊和區(qū)間直覺模糊的決策問題；文獻(xiàn)[8]定義了直覺模糊愛因斯坦Choquet平均(IFCAε)算子以及直覺模糊愛因斯坦Choquet幾何平均(IFCGε)算子。

1 預(yù)備知識

1.1 直覺模糊集

定義1[1]設(shè)X是一給定論域，則X上的一個(gè)直覺模糊集A為

其中μA(x):X→[0,1]和υA(x):X→[0,1]分別代表A的隸屬函數(shù)和非隸屬函數(shù)，并且?x∈X有0≤μA(x)+υA(x)≤1。

為便于討論，將直覺模糊集中的元素用有序區(qū)間對α=(μα,υα)表示，并稱為直覺模糊數(shù)。設(shè)αi=(μαi,υαi)(i=1,2)，α=(μα,υα)是三個(gè)直覺模糊數(shù)，規(guī)定如下的運(yùn)算法則：

1)α1⊕α2=(μα1+μα2-μα1μα2,υα1υα2)；

2)α1?α2=(μα1μα2,υα1+υα2-υα1υα2)；

現(xiàn)有的文獻(xiàn)中較常見的一種直覺模糊數(shù)排序方式，是由徐澤水等人所定義，具體如下。

定義2[4]設(shè)α=(μα,υα)為直覺模糊數(shù)，稱sα=μα-υα為α的得分函數(shù)，hα=μα+υα

為α的精度。設(shè)α1=(μα1,υα1)和α2=(μα2,υα2)為2個(gè)直覺模糊數(shù)，則有：

· 若sα1>sα2，則α1>α2;

· 若sα1=sα2，則

(ⅰ) 若hα1=hα2，則α1=α2；

(ⅱ) 若hα1>hα2，則α1>α2；

(ⅲ) 若hα1

1.2 Bonferroni幾何平均算子

定義3[9,10]設(shè)p，q，ai(i=1,2,…,n)為非負(fù)實(shí)數(shù)，若

則稱Bp,q為Bonferroni平均算子， GBp,q為Bonferroni幾何平均算子。

由于Bonferroni平均算子具有優(yōu)良的性質(zhì)，引起很多學(xué)者研究興趣，嘗試給出其加權(quán)形式，并推廣到不同的模糊環(huán)境中。但這些加權(quán)算子都不具有退化性，為解決這一問題，Zhou給出如下的定義。

定義4[14]設(shè)p，q，ai(i=1,2,…,n)為非負(fù)實(shí)數(shù)，若

則稱IWBp,q為可退化的加權(quán)Bonferroni平均算子。

定義5設(shè)p，q，ai(i=1,2,…,n)為非負(fù)實(shí)數(shù)，若

則稱GBMp,q為Bonferroni幾何平均算子。

易證GBMp,q滿足下列性質(zhì)：

(1) GBMp,q(0,0,…,0)=0；

(2) 若ai=a(i=1,2,…,n)，則有GBMp,q(a,a,…,a)=a；

(3) 若ai≥di(i=1,2,…,n)，則有GBMp,q(a1,a2,…,an)≥GBMp,q(d1,d2,…,dn)；

在定義5的基礎(chǔ)上，可得如下具有退化性的加權(quán)Bonferroni幾何平均算子。

則稱IWGBMp,q為可退化的加權(quán)Bonferroni幾何平均(IWGBM)算子。

下面將IWGBM算子引入直覺模糊環(huán)境中，并討論其相關(guān)性質(zhì)。

2 直覺模糊IWGBM算子

則稱IFIWGBMp,q為直覺模糊可退化的加權(quán)Bonferroni幾何平均(IFIWGBM)算子。

從而有

由此可得

因此有

下證，由IFIWGBM算子所得出的集結(jié)值是直覺模糊數(shù)。

顯然有

又

綜上，隨著αi為直覺模糊數(shù)的變化，可得：

性質(zhì)1(1)αi(i=1,2,…,n)為直覺模糊數(shù)，若α1=α2=…=αn=α，則有

(2)αi(i=1,2,…,n)為直覺模糊數(shù)，若α′1,α′2,…,α′n是α1,α2,…,αn的一個(gè)任意的排列，則有

(3)αi=(μαi,υαi)，βi=(μβi,υβi)(i=1,2,…,n)為直覺模糊數(shù)，若μαi≤μβi，υαi≥υβi(i=1,2,…,n)，則有

證明(1)

(2)

(3) 由μαi≤μβi，υαi≥υβi(i=1,2,…,n)可得

因此

類似可得

從而有

記直覺模糊元素IFIWGBMp,q(α1,α2,…,αn)和IFIWGBMp,q(β1,β2,…,βn)的得分函數(shù)為sα、sβ，精度為hα、hβ，則由上式可得sβ≥sα。

1) 若sβ>sα，則由定義2直接可得

2) 若sα=sβ，又μαi≤μβi，υαi≥υβi(i=1,2,…,n)，因此

且

從而有hα=hβ，則由定義2可得

由1)和2)可得(3)成立。

(4)由(3)和(1)直接可得。

綜上，性質(zhì)1得證。

隨著參數(shù)p,q的變化，我們可得IFIWGBM算子的一些特例。

情形1若q→0, 則有

稱之為廣義直覺模糊加權(quán)幾何平均算子[6]。

情形2若p=1,q→0, 則有

稱之為直覺模糊加權(quán)幾何平均算子[6]。

情形3若p=2,q→0，則有

稱為直覺模糊加權(quán)平方幾何平均算子[3]。

情形4若p=1,q=1，則有

稱為直覺模糊可退化的加權(quán)平方幾何平均算子。

3 直覺模糊多屬性決策方法

針對上述多屬性決策問題，利用前文所定義的算子，給出如下的求解步驟。

步驟3利用方案xi的綜合屬性值αi，i=1,2,…,n，對決策方案進(jìn)行排序并選擇最優(yōu)方案。

4 實(shí)例分析

例1[15]某市打算建一個(gè)大型圖書館，經(jīng)過研討，決定從以下3個(gè)方面(對應(yīng)的權(quán)重為w=(0.3,0.5,0.2)T)，來對參與競標(biāo)的5個(gè)品牌空調(diào)廠商xi(i=1,2,…,5)進(jìn)行排序。

圖書館建設(shè)管理委員會聘請?jiān)u估專家對上述5家空調(diào)廠商進(jìn)行測評，評估專家給出了如表1所示的直覺模糊決策矩陣。

表1 直覺模糊決策矩陣

下面用本文的決策方法，為空調(diào)供應(yīng)商進(jìn)行排序。

步驟1本題涉及的3個(gè)屬性都是效益型指標(biāo)，因此不需要進(jìn)行規(guī)范化。

步驟2利用IFIWGBM集結(jié)算子對候選方案的綜合屬性值進(jìn)行集結(jié)，結(jié)果如表2所示。

表2 IFIWGBM算子集結(jié)結(jié)果

步驟3利用方案xi的綜合屬性值對決策方案進(jìn)行排序(如表3所示)，并選擇最優(yōu)方案。

從表3可見對于上述決策問題，在不同的p，q取值下，盡管都一致認(rèn)為x2廠商的空調(diào)是最佳選擇，但空調(diào)廠商的排序不全相同。這意味著IFIWGBM算子給出的排序方案依賴于p，q的取值。前面我們已經(jīng)討論了當(dāng)參數(shù)趨于0時(shí)，IFIWGBM算子可退化為直覺加權(quán)幾何平均算子等形式，但這些算子沒有考慮變量和余下變量整體間的關(guān)聯(lián)性，無法體現(xiàn)Bonferroni算子的主要優(yōu)勢。同時(shí)考慮到計(jì)算復(fù)雜性的因素，建議在決策時(shí)取p=q=1。

5 比較分析

下面我們將本文方法同已有的直覺模糊多屬性決策方法進(jìn)行對比，這里我們有代表性的選?。夯谥庇X模糊加權(quán)Bonferroni平均(IFWBM)算子的決策方法[15]、基于直覺模糊加權(quán)Bonferroni幾何平均(IFWGBM)算子的決策方法[10]、基于直覺模糊優(yōu)化加權(quán)Bonferroni幾何平均(IFOWGBM)算子的決策方法[11]進(jìn)行對比，具體結(jié)果如表4所示。

表3 排序結(jié)果

表4 方法比對結(jié)果

由表4可知四種方法主要區(qū)別在于決策途徑，即采用的集結(jié)算子不同。文獻(xiàn)[15]所使用的Bonferroni平均算子，主要依據(jù)算術(shù)平均設(shè)計(jì)，而其他三種算子是幾何平均。文獻(xiàn)[10]采用的算子僅考慮變量間的關(guān)聯(lián)性，文獻(xiàn)[11]則在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，進(jìn)一步考慮了變量和余下變量整體間的關(guān)聯(lián)性。但文獻(xiàn)[10]和[11]在權(quán)重相等時(shí)無法退化為GB算子。本文方法綜合考慮了變量間的相關(guān)性以及變量和余下變量整體間的相關(guān)性，同時(shí)在權(quán)重相等時(shí)可退化為“原形”——GBM算子。由于不同的算子側(cè)重點(diǎn)不同，導(dǎo)致得到的排序也可能不同。因此在決策中要依據(jù)實(shí)際需求，選擇恰當(dāng)?shù)臎Q策方法。

6 結(jié)論

在可退化Bonferroni加權(quán)平均算子的啟發(fā)下，本文對Bonferroni幾何平均算子進(jìn)行重新設(shè)計(jì)，在此基礎(chǔ)上給出了可退化的加權(quán)Bonferroni幾何平均算子，并將其推廣至直覺模糊環(huán)境，提出了可退化的直覺模糊加權(quán)Bonferroni幾何平均算子，探討了其相關(guān)性質(zhì)和特例。本文還給出了直覺模糊多屬性決策方法，理論分析與仿真算例表明了方法的可行性和有效性。