基于數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)源問題的畢業(yè)論文探索

楊新光　李璐　李懷軍

摘要：文章主要是從數(shù)學(xué)鑒賞的觀點(diǎn)來研究數(shù)學(xué)論文尤其是畢業(yè)論文的選題與撰寫。結(jié)合數(shù)學(xué)文化的產(chǎn)生與發(fā)展，從數(shù)學(xué)源問題的理論與應(yīng)用發(fā)展脈絡(luò)出發(fā)，詳細(xì)探究數(shù)學(xué)論文的設(shè)計與數(shù)學(xué)的鑒賞八大境界。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)文化;數(shù)學(xué)源問題

中圖分類號：G642.0? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ?文章編號：1674-9324（2020）16-0313-02

數(shù)學(xué)是描述現(xiàn)實世界本質(zhì)規(guī)律的一門學(xué)科，數(shù)學(xué)以其高度的抽象性、嚴(yán)密性與規(guī)律性奠定了其在基礎(chǔ)學(xué)科中的核心地位。一個著名的數(shù)學(xué)源問題實例為法拉第發(fā)現(xiàn)電磁感應(yīng)定理之后，該定理在19世紀(jì)由精通數(shù)學(xué)的英國數(shù)學(xué)與物理學(xué)家麥克斯韋推導(dǎo)出具有普適性的Maxwell方程，從而有了近代物理學(xué)與數(shù)學(xué)中微分方程方向的進(jìn)步。本文將基于數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)源問題，來對畢業(yè)論文進(jìn)行探究，針對數(shù)學(xué)的鑒賞與境界，數(shù)學(xué)與應(yīng)用的關(guān)系來展開，詳細(xì)說明論文選題、寫作與基本功的重要性。

一、論文的源問題和展現(xiàn)形式的分類

數(shù)學(xué)論文的創(chuàng)作包括解決問題以及結(jié)果的展現(xiàn)和傳播兩個重要方面。

1.就問題的來源來說，從純理論來看包括：①眾所周知的開問題、猜想等。②某一學(xué)科或者研究方向的一般問題，這些課題的解決對于核心問題的解決具有核心性促進(jìn)作用。③某學(xué)科或者方向的小問題。這些課題對于本質(zhì)問題的解決有一定的促進(jìn)作用，但是不起決定性作用。

2.論文的發(fā)表和傳播是成果的重要展現(xiàn)形式，就發(fā)表的雜志來說，一般包括：①科技或者社會科學(xué)界的綜合性頂級期刊。②研究業(yè)界的綜合性頂級期刊。③研究業(yè)界某些方向的行業(yè)頂級期刊。④研究業(yè)界和研究方向的一般期刊。

二、數(shù)學(xué)研究和論文創(chuàng)作的鑒賞與境界

數(shù)學(xué)之美與鑒賞，最重要的是簡潔之美與深刻，包括了數(shù)學(xué)理論、數(shù)學(xué)技巧、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)展示與數(shù)學(xué)教育?；跀?shù)學(xué)文化來看，好的數(shù)學(xué)至少具備下面之一元素。

1.深刻的數(shù)學(xué)：明顯非平凡的結(jié)果。

2.嚴(yán)格的數(shù)學(xué)與直觀的數(shù)學(xué)：自然的容易形象化的結(jié)果。

3.明確的數(shù)學(xué)：如對于一個模型的分類，像液晶。

4.強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)：利用弱的假設(shè)得到強(qiáng)的結(jié)果，例如數(shù)學(xué)物理方程中利用靴帶方法可以得出拋物方程在初值不光滑時而解可以是無限光滑的。

5.有用的數(shù)學(xué)：如本文引入的關(guān)于麥克斯韋方程與廣義相對論的例子。

6.創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)，本質(zhì)上具備新穎的獨(dú)創(chuàng)刻畫。

7.優(yōu)美的數(shù)學(xué)，如直觀的扭結(jié)之美與抽象的恒等式之和諧。

基于數(shù)學(xué)源問題與數(shù)學(xué)文化的數(shù)學(xué)之美，對于數(shù)學(xué)的研究、數(shù)學(xué)論文的撰寫，具有下面八個境界。

1.新的原創(chuàng)性思想，新的統(tǒng)一性普適性理論的形成，如阿基米德、牛頓、愛因斯坦、高斯、歐拉、黎曼、龐加萊、萊布尼茨、柯爾莫哥洛夫等大數(shù)學(xué)家們的杰出開創(chuàng)性工作。

2.新的原創(chuàng)性工具、猜想、方法、技巧的提出，并能夠解決經(jīng)典的大的開問題，如Hamilton的Ricci流。

3.提出新的問題，能夠綜合運(yùn)用的經(jīng)典方法與思想解決大的問題與大的猜想，如張益唐教授的工作等。

4.利用新的思想、方法、技巧解決核心問題。

5.綜合運(yùn)用已有的方法、思想、技巧來解決核心問題。

6.利用新的思想、方法、技巧來解決一般性問題。

7.綜合已有的思想、方法、技巧來解決一般性問題。

8.利用已有的思想、方法、技巧或者新的思想、方法、技巧來解決一些小問題。

三、數(shù)學(xué)與應(yīng)用科學(xué)的關(guān)系

早期的數(shù)學(xué)，來源于現(xiàn)實與生活，及至中世紀(jì)以后，在自然科學(xué)與工程領(lǐng)域的探索中，淋漓盡致地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實用之美，數(shù)學(xué)與應(yīng)用科學(xué)的關(guān)系可以總結(jié)為以下幾點(diǎn)。

1.數(shù)學(xué)與應(yīng)用科學(xué)的完美融合與促進(jìn)，例如天體力學(xué)的發(fā)展與早年數(shù)學(xué)中微積分的相互促進(jìn)，廣義相對論與黎曼幾何。

2.數(shù)學(xué)作為應(yīng)用科學(xué)的工具，但應(yīng)用科學(xué)的發(fā)展未反哺數(shù)學(xué)。例如熱力學(xué)中傅里葉變換的產(chǎn)生與通信中的信號處理。

3.應(yīng)用科學(xué)建立于數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)之上，反過來又啟發(fā)了數(shù)學(xué)的新進(jìn)展，例如計算機(jī)與數(shù)學(xué)的發(fā)展。

四、論文寫作的升華：建立于基本功與心態(tài)上，尋找有意義的課題

基于數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)源問題，在對數(shù)學(xué)之美與鑒賞、數(shù)學(xué)與應(yīng)用科學(xué)的關(guān)系基礎(chǔ)上，尋找有意義的課題，是論文寫作的起源一環(huán)。如何找到合適的課題，并能夠解決呢？

對于課題的發(fā)現(xiàn)，要建立在扎實的基本功之上，即對于某一個方向的來龍去脈，逸聞趣事，有一個深入的了解。培養(yǎng)自己的基本功，需要從下面三個方面著眼與著手。

首先要對自己定位，明白自己知識儲備的長處與短處。其次，是對文獻(xiàn)的閱讀與把握。選定一個擅長的方向作為課題，并對該方向的基礎(chǔ)專著、經(jīng)典論文或者綜述進(jìn)行精讀。最后，在精讀經(jīng)典文獻(xiàn)或者專著中，往往需要大量的時間與精力投入，保持一顆平靜的心態(tài)尤為重要。

建立在扎實基本功上，明白個人所需，可以從下面幾方面來找出有意義的問題。

1.在對經(jīng)典問題的揣摩中，細(xì)致推敲創(chuàng)作人當(dāng)時的背景，梳理創(chuàng)始人思索源問題的角度與脈絡(luò)，從中對比自己的問題，試圖達(dá)到科研八境界中的第七境界，即回顧經(jīng)典、梳理思想、類比文獻(xiàn)。

2.重溫經(jīng)典文獻(xiàn)，找出字里行間或者明確提出的開問題，選擇合適的題目作為自己的目標(biāo)。

3.運(yùn)用已有的數(shù)據(jù)庫或者預(yù)印本網(wǎng)站，查看最新的預(yù)印本，從中尋求新思想、新方法、新技巧，綜合運(yùn)用來解決經(jīng)典問題。

4.作為數(shù)學(xué)學(xué)科的論文寫作，特別是畢業(yè)論文來說，選取交叉學(xué)科或者應(yīng)用學(xué)科中的問題，利用數(shù)學(xué)理論進(jìn)行分析，是本科畢業(yè)論文撰寫選題的精要。

五、論文的撰寫與展現(xiàn)

在論文的結(jié)果初步完成之后，將所得成果形成文字，得以展現(xiàn)，是數(shù)學(xué)的美的一種好的傳播，尤其是本科或者碩士畢業(yè)論文的撰寫與呈現(xiàn)。一般來說，一篇完整的論文包括題目、作者、摘要、正文、致謝與參考文獻(xiàn)這些必不可少的部分。具體來講，基于源問題與數(shù)學(xué)文化的論文呈現(xiàn)形式如下所示。

1.論文的題目：高度抽象地概括論文的主要問題與結(jié)果。

2.作者：論文要區(qū)分通訊作者。

3.論文摘要：首先要簡明說清楚所要研究的問題。

4.論文的引言：論文的引言是一篇文章在審稿過程中，審稿人重點(diǎn)關(guān)注的部分。

5.正文中主要結(jié)果的撰寫部分：本部分作為數(shù)學(xué)論文來說，來源于平時的基本功。

6.正文中的結(jié)語與展望：本部分是對前面工作的總結(jié)與斷言，后續(xù)工作的預(yù)演。

7.參考文獻(xiàn)：要根據(jù)不同風(fēng)格的論文，比如不同雜志的投稿論文或者畢業(yè)論文等，來進(jìn)行撰寫。

綜上部分，論文的撰寫，是課題結(jié)果的重要展現(xiàn)形式，也是得到認(rèn)可的外在表現(xiàn)。

六、結(jié)語與展望

本論文基于數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)源問題，借鑒段金橋教授英文論文寫作的一些技巧，利用數(shù)學(xué)之美與鑒賞的觀點(diǎn)，來詳細(xì)闡述了數(shù)學(xué)論文尤其是畢業(yè)論文的選題、呈現(xiàn)形式等，為本科生撰寫畢業(yè)論文提供一種寫作參考的數(shù)學(xué)觀。如何基于數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)源問題，或者HPM視角來研究教學(xué)問題，也是我們一直以來與未來的重點(diǎn)研究方向。

七、致謝

本文作者感謝河南師范大學(xué)教改項目（職前教師數(shù)學(xué)觀研究：基于HPM的視角）的資助。第一作者感謝2018年1月至12月于北京工業(yè)大學(xué)訪問期間，合作導(dǎo)師王術(shù)教授的指導(dǎo)與鼓勵。

參考文獻(xiàn)：

[1]阿蒂亞.20世紀(jì)的數(shù)學(xué)[J].白承銘，譯.周性偉，馮惠濤，校.數(shù)學(xué)譯林，2002，（2）.

[2]胡偉文，徐忠昌.數(shù)學(xué)文化欣賞[M].北京：科學(xué)出版社，2016.

[3]Jinqiao Duan，How to Write Better Math[M].Preprint，2012.

[4]王術(shù).數(shù)學(xué)文化與不等式——探究式學(xué)習(xí)導(dǎo)引[M].科學(xué)出版社，2014.

Research on the Thesis Based on Mathematical Culture and Originate Problems

YANG Xin-guang，LI Lu，LI Huai-jun

（Department of Mathematics and Information Science，Henan Normal University，Xinxiang，Henan 453007，China）

Abstract：This paper is concerned with how to choose and present a appropriate mathematical paper especially the thesis from the viewpoint of appreciation of mathematics.Combining with the generation and development of mathematical culture，based on the originate mathematical problems from theory and application，we pay our attention on the research of the design of papers and eight states for appreciation of mathematic

Key words：mathematical culture;originate problem

收稿日期：2019-06-20

作者簡介：楊新光（1980-），男（漢族），河南平頂山人，副教授，博士，研究方向：非線性發(fā)展方程與動力系統(tǒng)，數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育。