考研高等數(shù)學的重點內(nèi)容和常見題型

戴立輝　黃鋒

摘要：依照考研數(shù)學考試大綱[1]，對考研高等數(shù)學的重點內(nèi)容和常見題型進行歸納、整理和總結(jié)，使其所涉及的各知識點之間相互關(guān)系清晰明了，可供學生考研復習高等數(shù)學以及教師進行高等數(shù)學課程教學時參考。

關(guān)鍵詞：考研;高等數(shù)學;重點內(nèi)容;常見題型

中圖分類號：O13? ? ?文獻標志碼：A? ? ?文章編號：1674-9324（2020）16-0288-02

考研高等數(shù)學是考研數(shù)學重要組成部分之一，主要包括以下八方面內(nèi)容[2]。在考研數(shù)學試卷中，高等數(shù)學占總分的56%或78%，題量大并有難度較大的題目，因此要求學生重點復習。

一、一元函數(shù)的極限與連續(xù)

包含一元函數(shù)及其特性、數(shù)列與函數(shù)的極限、函數(shù)的連續(xù)性三部分。主要討論數(shù)列與函數(shù)的極限問題。

重點內(nèi)容：①函數(shù)（函數(shù)的概念、函數(shù)的特性、函數(shù)的運算）;②極限（數(shù)列的極限、函數(shù)的極限、函數(shù)極限的運算法則和存在準則、無窮小及其比較）;③連續(xù)（函數(shù)的連續(xù)性與間斷點、連續(xù)函數(shù)的運算、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)）。

常見題型：①求分段函數(shù)的復合函數(shù);②直接計算給定函數(shù)的極限或給定極限值，反過來確定式子中的常數(shù);③對無窮?。òǜ唠A無窮小、低階無窮小、同階無窮小特別是等價無窮?。┻M行比較;④討論函數(shù)的連續(xù)性，判斷函數(shù)間斷點的類型;⑤討論連續(xù)函數(shù)在給定區(qū)間的零點存在性。

二、一元函數(shù)微分學

包含一元函數(shù)的導數(shù)與微分、微分中值定理與導數(shù)的應用三部分。

重點內(nèi)容：①函數(shù)導數(shù)與微分的概念，可導與連續(xù)的關(guān)系，函數(shù)的求導法則;②羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理與泰勒中值定理;③羅必達法則和泰勒公式，利用導數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)（包括函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)圖形的凹凸性與拐點，曲線的漸近線，函數(shù)的最大、最小值，以及導數(shù)在經(jīng)濟領(lǐng)域的應用，如邊際、利潤、彈性等）。

常見題型：①利用導數(shù)定義討論分段函數(shù)在分界點的可導性;②求給定函數(shù)的一階或高階導數(shù)及微分（用基本初等函數(shù)的導數(shù)或微分公式、導數(shù)的四則運算法則，求復合函數(shù)的導數(shù)、反函數(shù)的導數(shù)、隱函數(shù)的導數(shù)、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)等）;③利用羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理證明有關(guān)命題和不等式;④利用羅必達法則和泰勒公式求常見未定式的極限;⑤利用導數(shù)討論方程在給定區(qū)間內(nèi)的根的個數(shù);⑥利用導數(shù)研究函數(shù)性態(tài)和描繪函數(shù)圖形;⑦利用導數(shù)求解幾何、物理、經(jīng)濟等方面的最大值、最小值應用題等。

三、一元函數(shù)積分學

包含一元函數(shù)的不定積分、定積分、定積分的應用三部分。

重點內(nèi)容：①基本積分公式表;②不定積分的換元積分法和分部積分法;③定積分的概念;④積分上限函數(shù)及其導數(shù);⑤牛頓-萊布尼茨公式;⑥積分中值定理;⑦定積分的換元積分法和分部積分法;⑧反常積分的概念與計算;⑨定積分的應用。

常見題型：①計算函數(shù)的不定積分與定積分;②計算積分上限函數(shù)的導數(shù)及極限;③利用積分中值定理證明相關(guān)問題;④利用定積分求平面圖形的面積、求平行截面面積已知的立體的體積、求旋轉(zhuǎn)體的體積、求平面曲線的弧長;⑤利用定積分求變力沿直線所做的功、求水壓力、求引力等物理量;⑥計算函數(shù)的反常積分（包含無窮限的反常積分和無界函數(shù)的反常積分）。

四、向量代數(shù)和空間解析幾何

本章主要與多元函數(shù)微分學幾何應用方面相關(guān)聯(lián)，其基本知識在重積分和曲面積分中用到，在線性代數(shù)課程中也用到。

重點內(nèi)容：①向量的概念，向量的幾種運算：線性運算、數(shù)量積、向量積與混合積;②平面的各種方程，直線的各種方程;③直線與直線、平面與平面、直線與平面之間的關(guān)系等。

常見題型：①求向量的數(shù)量積、向量積;②求平面或直線的方程;③求直線在平面上的投影直線的方程及投影直線繞坐標軸旋轉(zhuǎn)一周的曲面方程。

五、多元函數(shù)微分學

包含多元函數(shù)的偏導數(shù)和全微分、多元函數(shù)的應用兩大部分。

重點內(nèi)容：①多元函數(shù)（如二元函數(shù)）的概念、極限與連續(xù);②多元函數(shù)的偏導數(shù)和全微分;③多元函數(shù)微分在幾何上的應用;④方向?qū)?shù)和梯度;⑤多元函數(shù)的極值和條件極值。

常見題型：①求二元函數(shù)的極限;②求多元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分;③求復合函數(shù)的一階、二階偏導數(shù);④求隱函數(shù)的一階、二階偏導數(shù);⑤求空間曲線的切線與法平面方程;⑥求曲面的切平面和法線方程;⑦求多元函數(shù)的方向?qū)?shù)和梯度;⑧求多元函數(shù)的極值、最大值與最小值;⑨利用拉格朗日乘數(shù)法求多元函數(shù)的條件極值。

六、多元函數(shù)積分學

包含二重積分、三重積分、曲線積分與曲面積分四大部分，是多元函數(shù)微積分學的重要內(nèi)容，涉及三大類重要積分，應用面較廣。

重點內(nèi)容：①二重積分的概念、性質(zhì)與計算;②三重積分的概念、性質(zhì)與計算;③曲線積分的概念、性質(zhì)與計算;④格林公式，平面上曲線積分與路徑無關(guān)的充要條件，二元函數(shù)的全微分求積;⑤曲面積分的概念、性質(zhì)與計算;⑥高斯公式與斯托克斯公式;⑦散度與旋度的概念及計算;⑧重積分、曲線積分、曲面積分在幾何與物理上的應用。

常見題型：①利用直角坐標與極坐標計算二重積分;②利用直角坐標、柱面坐標、球面坐標計算三重積分;③二重積分、三重積分在幾何和物理上的應用，如求面積、體積、質(zhì)量、重心坐標、引力等;④計算對弧長的曲線積分;⑤計算對坐標的曲線積分，格林公式及其應用;⑥計算對面積的曲面積分;⑦計算對坐標的曲面積分，高斯公式及其應用;⑧梯度、散度、旋度的綜合計算;⑨利用重積分計算曲面的面積、物體的質(zhì)心及轉(zhuǎn)動慣量;{10}利用曲線積分求變力沿曲線所做的功。

七、無窮級數(shù)

包括常數(shù)項級數(shù)和函數(shù)項級數(shù)兩部分，其中常數(shù)項級數(shù)又包括正項級數(shù)、交錯級數(shù)和任意項級數(shù)，函數(shù)項級數(shù)則主要討論了冪級數(shù)和傅里葉級數(shù)。

重點內(nèi)容：①常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)，常數(shù)項級數(shù)的審斂法（正項級數(shù)及其審斂法、交錯級數(shù)及其審斂法、任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂）;②冪級數(shù)的概念及其收斂性（收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域），冪級數(shù)的運算（加法、減法、乘法和函數(shù)的性質(zhì)），函數(shù)展開成冪級數(shù);③傅里葉級數(shù)的概念，函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)，正弦級數(shù)與余弦級數(shù)。

常見題型：①判別常數(shù)項級數(shù)的斂散性（利用級數(shù)的定義，利用級數(shù)的性質(zhì)，利用幾何級數(shù)，利用p級數(shù)，對正項級數(shù)利用比較法、比值法、根值法，對交錯級數(shù)可用萊布尼茨判別法，利用級數(shù)的絕對收斂等）;②求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域;③求某些冪級數(shù)的和函數(shù)（將級數(shù)通過代數(shù)運算、變量置換、逐項求導、逐項積分等手段化成已知和函數(shù)的級數(shù)，如幾何級數(shù)，從而求得和函數(shù)）;④求某些常數(shù)項級數(shù)的和（由定義求部分和數(shù)列的極限，或?qū)⑵淇醋髂硞€冪級數(shù)或某個傅里葉級數(shù)在某點處的值，先求出該冪級數(shù)或傅里葉級數(shù)的和函數(shù)，再求出該常數(shù)項級數(shù)的和）;⑤將函數(shù)展開為冪級數(shù)（直接法和間接法）;⑥將函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，或展開成正弦級數(shù)與余弦級數(shù)。

八、微分方程與差分方程

包括微分方程與差分方程兩個部分，微分方程是主要部分。

重點內(nèi)容：①微分方程的概念;②可分離變量的微分方程、齊次方程、一階線性方程、伯努利方程、全微分方程;③可降階的高階微分方程;④二階常系數(shù)齊次線性微分方程、簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程;⑤歐拉方程;⑥差分方程的概念，一階常系數(shù)線性差分方程。

常見題型：①求可分離變量的微分方程的通解或特解;②求齊次方程的通解或特解;③求一階線性方程、伯努利方程、全微分方程的通解或特解;④求可降階的二階微分方程的通解或特解;⑤求二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解或特解;⑥求某些簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解或通解;⑦求歐拉方程的通解;⑧求一階常系數(shù)線性差分方程的通解或特解;⑨用微分方程求解一些簡單的應用問題（幾何或經(jīng)濟問題）。

參考文獻：

[1]教育部考試中心.全國碩士研究生招生考試數(shù)學考試大綱[M].北京：高等教育出版社，2018.

[2]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學（上下冊）[M].北京：高等教育出版社，2007.

The Key Contents and Common Testing Types of Advanced Mathematics for Postgraduate Entrance Examination

DAI Li-hui，HUANG Feng

（Mathematics and Data Science，Minjiang University College，F(xiàn)uzhou，F(xiàn)ujian 350108，China）

Abstract：This article generalizes and summarizes the key contents and common testing types of advanced mathematics for postgraduate entrance examination，according to the authorsmany–years teaching experience and mathematics examination outline for postgraduate entrance，which makes each branch easy and understandable.At the same time，it can be used as a reference for students to advanced mathematics reviewing，and also for teachers to advanced mathematics teaching.

Key words：postgraduate entrance examination;advanced mathematics;key content;common testing types