例談含參二次函數(shù)最值問題的求解策略

李明剛

摘要：閉區(qū)間上二次函數(shù)的已知最值求參數(shù)問題最基本的求解策略是：利用數(shù)形結(jié)合的方法，對(duì)圖像的對(duì)稱軸與自變量取值范圍的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論。借助此策略，具體解決“定范圍動(dòng)軸”問題和“動(dòng)范圍定軸”問題。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù) 參數(shù) 最值 分類討論

二次函數(shù)的最值問題，尤其是閉區(qū)間上的最值問題，無論是已知二次函數(shù)求最值，還是已知最值求（二次函數(shù)中的）參數(shù)，都是中考的一個(gè)熱點(diǎn)。原因在于其能夠綜合的內(nèi)容比較多，也足夠復(fù)雜。

對(duì)于閉區(qū)間上的二次函數(shù)y=c（x-m）2+n（a≤x≤b），已知參數(shù)求最值，較為簡(jiǎn)單;而已知最值求參數(shù)，則讓很多學(xué)生頭疼。其實(shí)，后者（即含參二次函數(shù)的最值問題）最基本的求解策略是：利用數(shù)形結(jié)合的方法，對(duì)圖像的對(duì)稱軸與自變量取值范圍的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論。一般地，可以分對(duì)稱軸在自變量取值范圍的左側(cè)（m≤a）、中間（a

下面，對(duì)此類問題的求解策略，分“自變量的取值范圍給定（不含參），圖像的對(duì)稱軸變化（含參）”“圖像的對(duì)稱軸給定（不含參），自變量的取值范圍變化（含參）”兩種常見題型，具體舉出無現(xiàn)實(shí)背景和有現(xiàn)實(shí)背景的例子來充分說明情況。

一、“定范圍動(dòng)軸”問題

例1（2018年濰坊市中考數(shù)學(xué)卷第9題改編）已知二次函數(shù)y=-（x-h）2（h為常數(shù)），當(dāng)自變量x的值滿足2≤x≤5時(shí)，函數(shù)值y的最大值為-1，則h的值為。

根據(jù)上述求解策略，分三種情況討論：

（1）當(dāng)h≤2時(shí)，可得當(dāng)x=2時(shí)y取最大值，即有-（2-h）2=-1，解得h1=1，h2=3（舍去）;

（2）當(dāng)2

（3）當(dāng)h≥5時(shí)，可得當(dāng)x=5時(shí)y取最大值，即有-（5-h）2=-1，解得h3=4（舍去），h4=6。

綜上，h的值為1或6。

例2（2017年揚(yáng)州市中考數(shù)學(xué)卷第27題改編）農(nóng)經(jīng)公司以30元/千克的價(jià)格收購(gòu)一批農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)行銷售，為了得到日銷售量p（千克）與銷售價(jià)格x（元/千克）之間的關(guān)系，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查獲得部分?jǐn)?shù)據(jù)如表1。若農(nóng)經(jīng)公司每銷售1千克這種農(nóng)產(chǎn)品需支出a元（a>0）的相關(guān)費(fèi)用，當(dāng)40≤x≤45時(shí)，農(nóng)經(jīng)公司日獲利的最大值為2430元，求a的值。（日獲利=日銷售利潤(rùn)-日支出費(fèi)用）

表1

銷售價(jià)格x（元/千克）3035404550日銷售量p（千克）6004503001500解答本題，首先要根據(jù)題意，得出日獲利w與銷售價(jià)格x之間的函數(shù)關(guān)系式。為此，可以先根據(jù)表1，得到日銷售量p與銷售價(jià)格x之間的函數(shù)關(guān)系式p=-30x+1500，再根據(jù)日獲利=日銷售利潤(rùn)-日支出費(fèi)用，得到w=p（x-30）-pa=（-30x+1500）（x-30-a）=-30x2+（2400+30a）x-（1500a+45000）。其圖像的對(duì)稱軸方程為x=-2400+30a2×（-30）=40+12a。

接下來，根據(jù)上述求解策略，分三種情況討論：

（1）當(dāng)40+12a≤40時(shí)，a≤0，與題意不符;

（2）當(dāng)40<40+12a<45時(shí)，0<a<10，可得當(dāng)x=40+12a時(shí)w取最大值，即有3014a2-10a+100=2430，解得a1=2，a2=38（舍去）;

（3）當(dāng)40+12a≥45時(shí)，a≥10，可得當(dāng)x=45時(shí)w取最大值，即有2250-150a=2430，顯然與題意不符。

綜上所述，a的值為2。

二、“動(dòng)范圍定軸”問題

例3（2018年黃岡市中考數(shù)學(xué)卷第6題改編）當(dāng)m≤x≤n時(shí)，函數(shù)y=x2-2x+1的最小值為1，最大值為4，求m、n的值。

根據(jù)上述求解策略，分三種情況討論：

（1）當(dāng)m≥1時(shí)，可得當(dāng)x=m時(shí)y取最小值，當(dāng)x=n時(shí)y取最大值，即有（m-1）2=1，（n-1）2=4，解得m1=2，m2=0（舍去），n1=3，n2=-1（舍去）;

（2）當(dāng)m<1

（3）當(dāng)n≤1時(shí)，可得當(dāng)x=m時(shí)y取最大值，當(dāng)x=n時(shí)y取最小值，即有（m-1）2=4，（n-1）2=1，解得m1=-1，m2=3（舍去）;n1=0，n2=2（舍去）。

綜上，m=2，n=3或m=-1，n=0。

例4（2018年福建省中考數(shù)學(xué)A卷第23題改編）如圖2，在足夠大的空地上有一段長(zhǎng)為a米的舊墻MN。某人利用舊墻和木欄圍成一個(gè)矩形菜園ABCD，其中AD≤MN。已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄。若矩形菜園ABCD面積的最大值為1200平方米，求a的值。

解答本題，首先可設(shè)AD=x m，根據(jù)題意得到矩形面積S=x100-x2=-12（x-50）2+1250（m2）。根據(jù)題意可得：

（1）若a≥100，則0

（2）若0

①當(dāng)50

②當(dāng)0

綜上，a=40。