循法推理關(guān)聯(lián)

邵文鴻

摘 ? ?要：數(shù)學(xué)課堂問題設(shè)計(jì)的自然程度關(guān)系到引發(fā)學(xué)生思考的深入程度.在初中幾何內(nèi)容教學(xué)中，教師可以從幾何研究的方法、學(xué)科邏輯的推理、知識(shí)結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)三個(gè)角度來設(shè)計(jì)自然的問題.

關(guān)鍵詞：?jiǎn)栴}設(shè)計(jì);自然性;幾何學(xué)習(xí)

觸發(fā)學(xué)生積極思維是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的應(yīng)有追求.用“問題”引發(fā)學(xué)生思考是我們常用的教學(xué)策略.在實(shí)際的教學(xué)過程中，教師呈現(xiàn)的問題不“自然”，是造成不能有效激發(fā)學(xué)生思考的重要原因.所謂數(shù)學(xué)問題“自然性”設(shè)計(jì)，是指設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)問題能契合研究方法，符合數(shù)學(xué)邏輯，構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu).現(xiàn)以初中幾何內(nèi)容學(xué)習(xí)為例，從三個(gè)角度談?wù)剶?shù)學(xué)問題“自然性”設(shè)計(jì)的策略，以期拋磚引玉.

一、從幾何研究的方法角度設(shè)計(jì)問題

幾何學(xué)習(xí)一般遵循從定義、概念出發(fā)，研究圖形的性質(zhì)與判定，再去研究圖形性質(zhì)與判定應(yīng)用的學(xué)習(xí)“流程”.除此之外，我們也可以從構(gòu)成幾何圖形要素性質(zhì)遷移以及幾何圖形性質(zhì)與判定互逆的角度來研究幾何問題.

（一）從幾何要素性質(zhì)遷移的角度

一般幾何圖形的性質(zhì)主要研究構(gòu)成圖形的要素與相關(guān)要素之間有何穩(wěn)定的關(guān)系.我們可以從一個(gè)或幾個(gè)要素具有的性質(zhì)的角度，提出其他要素是否具有類似關(guān)系的問題.這就是從幾何圖形要素性質(zhì)遷移的角度提出問題.

案例1：圖形旋轉(zhuǎn)的探究

如圖1，在△[ABC]中，[∠ACB=90°]，[∠A=30°]，[BC=a]，△[ABC]繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角度得到△[A'B'C].（[0°≤α≤360°]）

問題1：請(qǐng)?zhí)骄縖A'B']與[AB]的夾角與旋轉(zhuǎn)角的關(guān)系.

問題2：請(qǐng)?zhí)骄縖AA']與[BB']的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.

【設(shè)計(jì)解析】問題1中的[∠ACA']、[∠BCB']是由[△ABC]與[△A'CB']中兩條對(duì)應(yīng)邊構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角，發(fā)現(xiàn)[∠BCB']等于旋轉(zhuǎn)角，現(xiàn)從[△ABC]與[△A'CB']的組成要素考慮，自然提出第三條邊[AB]與[A'B']的夾角與旋轉(zhuǎn)角的關(guān)系.問題2是在問題1研究三條邊的位置關(guān)系后，自然提出圖形旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，從中找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段中蘊(yùn)含的關(guān)系與原[△ABC]形狀與數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)聯(lián)系.

（二）從幾何圖形性質(zhì)與判定互逆的角度

幾何圖形的判定定理本質(zhì)上是描述確定一個(gè)圖形的條件.研究圖形的判定定理會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)問題：一是確定這個(gè)圖形最少需要幾個(gè)條件？二是確定這個(gè)圖形需要的條件從哪里找？從學(xué)生的角度會(huì)想到確定圖形需要的最少條件可以采用逐步減少條件的辦法.確定圖形需要條件從哪里來的問題需要為學(xué)生探究提供線索;確定圖形需要的條件產(chǎn)生可以從圖形性質(zhì)定理的逆命題中去尋找，這樣的問題設(shè)計(jì)是比較自然的.

案例2：平行四邊形判定定理的發(fā)現(xiàn)

如圖2，四邊形ABCD是平行四邊形，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O.

問題3：從邊、角、對(duì)角線的角度來看，結(jié)合圖形，你能寫出[?]ABCD的哪些性質(zhì)？

問題4：請(qǐng)你寫出這些命題的逆命題，并把它們排序整理，你認(rèn)為可以分為哪幾類？

問題5：你寫出的逆命題中哪些真命題能作為平行四邊形的判定定理？

【設(shè)計(jì)解析】問題3引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形回顧平行四邊形的性質(zhì).問題4引導(dǎo)學(xué)生從已知的平行四邊形性質(zhì)命題中提出逆命題，并對(duì)提出的逆命題進(jìn)行分類排序整理.問題5引導(dǎo)學(xué)生猜想命題的真假，若學(xué)生認(rèn)為是真命題，嘗試證明;若認(rèn)為是假命題，嘗試舉反例.這樣的問題設(shè)計(jì)讓學(xué)生體會(huì)到不僅可以從圖形性質(zhì)與判定互逆的角度提出問題，而且讓學(xué)生感到問題的探索過程是水到渠成的.

二、從學(xué)科邏輯的推理角度設(shè)計(jì)問題

基于學(xué)科邏輯，從類比與演繹兩個(gè)角度去設(shè)計(jì)問題，既讓問題的產(chǎn)生具有自然性，又讓學(xué)生的思考具有導(dǎo)向性.

（一）從類比的角度

從類比推理的角度設(shè)計(jì)問題是指當(dāng)兩個(gè)或兩類幾何研究對(duì)象如果有部分屬性相同時(shí)，設(shè)計(jì)某些問題探究?jī)蓚€(gè)或兩類幾何研究對(duì)象的其他屬性是否也相同.“類比”是從特殊到一般的問題設(shè)計(jì)，旨在引導(dǎo)學(xué)生在探索命題適用范圍從小到大的推理過程中有新的發(fā)現(xiàn).

案例3：相似三角形的判定

問題6：兩個(gè)三角形全等的判定方法有哪些？

問題7：請(qǐng)你嘗試類比兩個(gè)三角形全等的判定方法，提出兩個(gè)三角形相似的判定方法有哪些？

【設(shè)計(jì)解析】問題6的回顧是讓學(xué)生在探究相似三角形的判定時(shí)找到新知識(shí)生長(zhǎng)的固著點(diǎn)，讓新知識(shí)的發(fā)現(xiàn)有源可溯.問題7旨在引導(dǎo)學(xué)生思考全等三角形是相似三角形的特殊情況.在此基礎(chǔ)上研究相似三角形，是特殊到一般的推理過程，從“類比推理”的角度來設(shè)計(jì)相似三角形的判定問題，這樣的問題設(shè)計(jì)符合學(xué)科內(nèi)部發(fā)展的邏輯順序.

（二）從演繹的角度

從演繹推理的角度設(shè)計(jì)問題實(shí)際上是引導(dǎo)學(xué)生在從一般到特殊的推理過程中自然發(fā)現(xiàn)問題，在探究命題的適用范圍從大到小的推理過程中有新的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，積累數(shù)學(xué)演繹思考的經(jīng)驗(yàn).

案例4：等腰三角形性質(zhì)的研究（等腰三角形“三線合一”定理的探究）

問題8：軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)是什么？

問題9：如圖3，有一張等腰三角形紙片，[AB=AC]，請(qǐng)你折一折，你發(fā)現(xiàn)[△ABC]的對(duì)稱軸是什么，并從對(duì)稱的角度說出線段的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系以及與角的數(shù)量關(guān)系.

問題10：如圖4 ，已知在等腰[△ABC]中，[AB=AC]，[∠BAC]的平分線[AD]所在的直線是對(duì)稱軸.從對(duì)稱性的角度你可以發(fā)現(xiàn)[△ABC]有什么性質(zhì)？

【設(shè)計(jì)解析】問題8先讓學(xué)生回顧一般對(duì)稱圖形性質(zhì)的目的是提供演繹推理的先行組織者.問題9引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等腰三角形的兩底角頂點(diǎn)實(shí)際上是一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，從一般對(duì)稱圖形的角度去探索線段與角的數(shù)量關(guān)系.問題10自然地從一般對(duì)稱圖形的性質(zhì)得到等腰三角形“三線合一”定理，從一般到特殊演繹的角度設(shè)計(jì)問題，發(fā)現(xiàn)結(jié)論.

三、從知識(shí)結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)角度設(shè)計(jì)問題

基于知識(shí)的整體性與關(guān)聯(lián)性，從定理擴(kuò)展、數(shù)形結(jié)合、正反聯(lián)系的角度設(shè)計(jì)問題，有利于學(xué)生形成穩(wěn)定的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

（一）從定理擴(kuò)展的角度

幾何定理的學(xué)習(xí)，不僅要關(guān)注定理的形成與應(yīng)用過程，而且要探索使定理成立的條件減弱或加強(qiáng)后有何新的發(fā)現(xiàn)，這就是從定理擴(kuò)展的角度設(shè)計(jì)問題的內(nèi)涵.其價(jià)值在于，使學(xué)生在學(xué)習(xí)定理之后會(huì)用聯(lián)系的觀點(diǎn)思考定理成立的條件，從系統(tǒng)整體的角度來進(jìn)一步認(rèn)識(shí)定理的內(nèi)涵與外延.

案例5：勾股定理的教學(xué)

問題11：如圖5，已知[△ABC]中，若[∠C=Rt∠]，則[AC2+BC2=AB2].如圖6，若[△ABC]是銳角三角形（[∠C]是最大角），則[AC2+BC2]與[AB2]有什么數(shù)量關(guān)系？

問題12：如圖7，若[△ABC]是鈍角三角形（[∠C]是鈍角），則[AC2+BC2]與[AB2]有什么數(shù)量關(guān)系？

【設(shè)計(jì)解析】學(xué)生在學(xué)習(xí)了直角三角形中兩直角邊（較小邊）的平方和等于斜邊（最長(zhǎng)邊）的平方之后，問題11的設(shè)計(jì)旨在引導(dǎo)探索銳角三角形較小邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方有何數(shù)量關(guān)系. 在銳角三角形三邊關(guān)系探究的基礎(chǔ)上，問題12的設(shè)計(jì)自然讓學(xué)生聯(lián)想與探究鈍角三角形三邊的關(guān)系.三角形可分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，直角三角形有勾股定理，從聯(lián)系的角度看，勾股定理擴(kuò)展到其他類型的三角形一定會(huì)有新的結(jié)論.

（二）從數(shù)形結(jié)合的角度

數(shù)與形是同一數(shù)學(xué)知識(shí)不同側(cè)面的知識(shí)表征，數(shù)與形具有深刻的內(nèi)在統(tǒng)一性.在學(xué)習(xí)“數(shù)”時(shí)要聯(lián)想到形的直觀，在學(xué)習(xí)“形”時(shí)需要借助數(shù)的入微刻畫.一些幾何定理不僅反映圖形的性質(zhì)，而且蘊(yùn)含著圖形所反映的數(shù)量關(guān)系的特征，在問題設(shè)計(jì)時(shí)要有意識(shí)地把它揭示出來.

案例6：三角形相似的應(yīng)用

問題13：如圖8，點(diǎn)C是半圓O上的任一點(diǎn)（不與A、B重合），過點(diǎn)C作CD垂直于AB，試說明CD與AD、BD的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合圖形你能說明式子的幾何意義嗎？

【設(shè)計(jì)解析】問題13從數(shù)與形的角度來設(shè)計(jì)旨在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C在變化過程中可以用數(shù)的關(guān)系來刻畫，以發(fā)現(xiàn)不變的數(shù)量模型.即學(xué)生在得到[CD2=AD?BD]之后，發(fā)現(xiàn)線段[OC≥CD，即a+b2≥ab]，解釋了算術(shù)平均數(shù)不小于幾何平均數(shù)的數(shù)學(xué)模型.

（三）從正反聯(lián)系的角度

從聯(lián)系的角度來考察幾何的學(xué)習(xí)，我們不僅要引導(dǎo)學(xué)生正向思考，也要啟發(fā)他們逆向思維.那么，問題的設(shè)計(jì)則不僅要引導(dǎo)學(xué)生從正面探索結(jié)論，也要引導(dǎo)他們從反面認(rèn)識(shí)命題.所以，在學(xué)生學(xué)習(xí)幾何原命題之后，教師適切地設(shè)計(jì)逆命題的探究問題，則可以加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系，優(yōu)化學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

案例 7：幾何反例的構(gòu)造

問題14：請(qǐng)說出命題“平行四邊形的一組對(duì)邊平行一組對(duì)角相等”的逆命題，并請(qǐng)你判斷逆命題的真假，若命題為真，請(qǐng)證明;若命題為假，請(qǐng)舉出反例.

【設(shè)計(jì)解析】問題14的設(shè)計(jì)意圖是讓學(xué)生加強(qiáng)對(duì)命題正反的認(rèn)識(shí)與聯(lián)系.如圖9，教師引導(dǎo)學(xué)生任意作一等邊[△ABC]，在底邊BC上取一點(diǎn)D，使得BD>DC，連接AD，由點(diǎn)D作[∠1=∠2]，截取DE=AC，連接AE，可得四邊形ABDE，易知[∠B=∠E]，又DE=AC=AB，四邊形ABDE滿足已給條件，但AE=DC