一道自編試題的解法探究

江西省永修縣第一中學(xué) (330304) 易 華

1．試題呈現(xiàn)

已知函數(shù)f(x)=ex-mx有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2，則下面結(jié)論正確的是.

本題考查含參函數(shù)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，考查函數(shù)零點(diǎn)、二元變量范圍問(wèn)題、主要考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想，旨在考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

2．解法探究

本題是含參函數(shù)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，首先應(yīng)探究參數(shù)的取值范圍.

解法1：(分類討論)因?yàn)閒′(x)=ex-m.

①若m≤0時(shí),f′(x)>0，f(x)在R上單調(diào)遞增，不存在兩個(gè)零點(diǎn).

綜上，當(dāng)m>e時(shí)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上，當(dāng)m>e時(shí)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

其次，面對(duì)雙變?cè)牟坏仁絾?wèn)題，我們的解題策略是轉(zhuǎn)化為單變?cè)牟坏仁絾?wèn)題進(jìn)行解答.

對(duì)(3)的解法探究：

解法1：(構(gòu)造函數(shù)法)不妨設(shè)x12等價(jià)于f(x1)>f(2-x2),即f(x2)>f(2-x2).

記g(x)=f(x)-f(2-x)=ex-e2-x+2m(x>lnm)，g′(x)=ex+e2-x>0,故g(x)在(lnm,

解法2：(換元法)令t=x2-x1,

對(duì)(4)的解法探究：

綜合上述探究，得出正確結(jié)論共有(2)(3)(4).

點(diǎn)評(píng):以上解題方法均是為了實(shí)現(xiàn)將雙變?cè)牟坏仁睫D(zhuǎn)化為單變?cè)坏仁?，方法一、四利用?gòu)造新的函數(shù)來(lái)達(dá)到消元的目的，方法二、三則是利用構(gòu)造新的變?cè)?，將兩個(gè)舊的變?cè)紦Q成新變?cè)獊?lái)表示，從而達(dá)到消元的目的.

3．解法反思

含參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，在原有的兩個(gè)變?cè)獂1,x2的基礎(chǔ)上，又多了一個(gè)參數(shù)，故思路很自然的就會(huì)想到：想盡一切辦法消去參數(shù)，從而轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的問(wèn)題去解決；或者以參數(shù)為媒介，構(gòu)造出一個(gè)變?cè)男碌暮瘮?shù).

通過(guò)上述解法探究，可知用構(gòu)造函數(shù)法求解極值點(diǎn)偏移問(wèn)題大致可以分為以下三步：

(1)求導(dǎo)，獲得函數(shù)的單調(diào)性，極值情況，作出圖像，由題意得知x1,x2的范圍(數(shù)學(xué)結(jié)合思想);

(2)構(gòu)造函數(shù):

①x1+x2>(<)2x0型的結(jié)論構(gòu)造函數(shù)f(x)-f(2x0-x)；

③替換函數(shù)法構(gòu)造函數(shù)；

④對(duì)數(shù)平均不等式構(gòu)造函數(shù);

(3)求導(dǎo)，限定范圍，判斷符號(hào)，獲得不等式，證明得出結(jié)論.