坐標(biāo)系與參數(shù)方程幾種常見題型的解法

安徽省樅陽縣會宮中學(xué) (246740) 方明生

坐標(biāo)系與參數(shù)方程作為高考的選考內(nèi)容之一，筆者在高考閱卷中發(fā)現(xiàn)，相對于絕對值不等式而言，大部分學(xué)生都會選擇坐標(biāo)系與參數(shù)方程的這一題.盡管學(xué)生在平時的學(xué)習(xí)中進(jìn)行了多次的模擬考試以及大量訓(xùn)練，但在實際解題過程中依舊會出現(xiàn)障礙.第一問一般考察基本知識，主要涉及參數(shù)方程、普通方程和極坐標(biāo)方程三者間的相互轉(zhuǎn)化，此問5分學(xué)生基本都能夠得到.相對于第一問而言，第二問的得分卻大打折扣，究其原因，主要是學(xué)生在解題的過程中沒有完全明白命題老師的意圖，解題的方法不當(dāng)導(dǎo)致運算量增大或者無從下手，筆者根據(jù)近幾年的高考試題，對于第二小問?？碱}型進(jìn)行了整理，供各位方家指正.

一、利用直線參數(shù)方程t的幾何意義

評注：利用極坐標(biāo)公式ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ進(jìn)行化簡即可求出圓c普通方程，再將直線的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得到關(guān)于參數(shù)t的一元二次方程，結(jié)合參數(shù)t的幾何意義利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求得|PA|+|PB|的值．

(-2,-4)的點P，且直線l與曲線C相交于A,B兩點.

(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的參數(shù)方程；

二、利用極坐標(biāo)ρ的幾何意義

例3 (2017全國Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ=4．

(1)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|=16，求點P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；

解析：(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(ρ,θ)(ρ>0)，M的極坐標(biāo)為(ρ1,θ)(ρ1>0)由題設(shè)知|OP|=ρ，

(2)設(shè)點B的極坐標(biāo)為(ρB,α)(ρB>0).由題設(shè)知|OA|=2，ρB=4cosα，于是ΔABO面積S=

例4 (2016全國Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為(x+6)2+y2=25．

(1)以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程；

解析:(1)由x=ρcosθ，y=ρsinθ可得C的極坐標(biāo)方程ρ2+12ρcosθ+11=0.

(2)在(1)中建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為θ=α(ρ∈R).

由A,B所對應(yīng)的極徑分別為ρ1，ρ2，將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得ρ2+12ρcosα+11=0.由韋達(dá)定理可得ρ1+ρ2=-12cosα，ρ1ρ2=11.

評注:此處所選取的兩個例題均為高考原題，如果大家認(rèn)真去研究的話會發(fā)現(xiàn)它們有共同之處是所給直線為經(jīng)過原點(即直線的極坐標(biāo)方程θ=α(ρ∈R))的特殊直線，利用極坐標(biāo)的幾何意義求解.

三、利用普通方程聯(lián)立求解

例5 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為y=k|x|+2.以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2+2ρcosθ-3=0.

(1)求C2的直角坐標(biāo)方程；

(2)若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程.

解析:(1)由x=ρcosθ，y=ρsinθ可得C2的直角坐標(biāo)方程為(x+1)2+y2=4．

評注:本題明顯不符合前面的兩個題型，對于此類問題，我們都可以用通性通法去解決，借助普通方程進(jìn)行考查的是有關(guān)坐標(biāo)系與參數(shù)方程的問題，涉及到的知識點有曲線的極坐標(biāo)方程向平面直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化以及有關(guān)曲線相交交點個數(shù)的問題，在解題的過程中，需要明確極坐標(biāo)和平面直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，以及曲線相交交點個數(shù)結(jié)合圖形，將其轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系所對應(yīng)的需要滿足的條件，從而求得結(jié)果.

通過上述三種題型的解答，可以解決坐標(biāo)系與參數(shù)方程問題可以歸納為：“參”代“普”、“極”代“極”、“普”代“普”三種題型，審題的時候要搞清楚出題者的意圖，要學(xué)會抓住題干，如果直線是標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，對涉及過定點M(x0,y0)的線段問題，優(yōu)先考慮采用“參”代“普”法，直線過原(極)點，涉及到求線段長時，優(yōu)先考慮用極坐標(biāo)求解，對于以上兩種方法行不通的時候就可以采用“普”代“普”.在平時的學(xué)習(xí)中，應(yīng)該多加歸納，靈活應(yīng)用，方可優(yōu)解.