基于殘值函數(shù)法的雙燃速藥柱內(nèi)彈道分析*

褚佑彪，趙天泉，董新剛，任 萍

(中國(guó)航天科技集團(tuán)有限公司四院四十一所，固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒、熱結(jié)構(gòu)與內(nèi)流場(chǎng)國(guó)防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710025)

0 引言

燃面計(jì)算用于確定裝藥在燃燒過(guò)程中燃燒表面積隨燃燒時(shí)間的變化規(guī)律，直接影響發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)彈道性能預(yù)示精度，是發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)彈道設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，在固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的設(shè)計(jì)中一直占有重要地位[1]。為滿足先進(jìn)固體動(dòng)力技術(shù)的發(fā)展要求，燃燒室的藥型設(shè)計(jì)越來(lái)越復(fù)雜。在單室雙推發(fā)動(dòng)機(jī)的設(shè)計(jì)過(guò)程中，為保證助推段與續(xù)航段的推力比，常采用高低燃速搭配的思路進(jìn)行裝藥設(shè)計(jì)。當(dāng)高低燃速推進(jìn)劑在交界面處燃燒時(shí)，燃面會(huì)出現(xiàn)分離、交匯等復(fù)雜的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化，是燃面推移計(jì)算的一個(gè)難點(diǎn)。

目前，可實(shí)現(xiàn)燃面不等速推移的有實(shí)體造型法[2]、網(wǎng)格推移法[3-4]、最小距離函數(shù)法[5-6]、Level Set方法[7-8]和殘值函數(shù)法[9]等。其中，實(shí)體造型法通過(guò)特征造型或驅(qū)動(dòng)尺寸實(shí)現(xiàn)燃面推移過(guò)程的模擬。但是，對(duì)于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的藥型，實(shí)體造型法的推移過(guò)程十分繁瑣，并可能出現(xiàn)奇點(diǎn)，導(dǎo)致計(jì)算無(wú)法繼續(xù)；對(duì)于多燃速藥柱，燃面的分離需要在推移過(guò)程中構(gòu)建新的幾何特征，較難實(shí)現(xiàn)。網(wǎng)格推移法在初始藥型上生成非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，利用當(dāng)?shù)厝妓龠M(jìn)行推移，再通過(guò)網(wǎng)格重構(gòu)獲得新的燃面，該方法通用性較好，但其處理燃面交匯、分離等拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化的穩(wěn)定性較差。最小距離函數(shù)法通過(guò)計(jì)算藥柱內(nèi)部各點(diǎn)到初始燃面的距離，即最小距離函數(shù)(MDF)，進(jìn)行燃面推移分析，可以實(shí)現(xiàn)不等速推移，但是其無(wú)法自然捕捉到由于燃速間斷的存在而導(dǎo)致的燃面拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的變化。Level Set方法采用初值形式的偏微分方程將一個(gè)純幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橛闷⒎址匠堂枋龅臄?shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)于推進(jìn)劑內(nèi)部存在燃速間斷的工況，由于燃?xì)馀c推進(jìn)劑之間也存在間斷，在數(shù)值求解微分方程組時(shí)，會(huì)遇到間斷相交的情況，進(jìn)而導(dǎo)致燃面計(jì)算精度及穩(wěn)定性較差。殘值函數(shù)法[9]在笛卡爾網(wǎng)格上，采用殘值函數(shù)記錄燃面位置，通過(guò)惠更斯原理模擬燃面的推移過(guò)程。此算法可以準(zhǔn)確捕捉由于燃速間斷的存在導(dǎo)致燃面的交匯、分離、消失等復(fù)雜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化，且不需要進(jìn)行網(wǎng)格重構(gòu)，穩(wěn)定性好。

本文應(yīng)用殘值函數(shù)法模擬了多燃速藥柱的燃面推移過(guò)程，并與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。在此基礎(chǔ)上，開展參數(shù)研究，分析了高低燃速推擠劑交界面的位置對(duì)藥柱燃面演化過(guò)程和內(nèi)彈道的影響。

1 內(nèi)彈道計(jì)算方法

為準(zhǔn)確分析雙燃速藥柱在界面處的耦合燃速過(guò)程，本文采用殘值函數(shù)法[9]進(jìn)行燃面計(jì)算分析。該方法基于燃面推移的一般性原理——惠更斯球面波傳播原理，不僅可以處理燃面的等速推移，還可以處理燃面的不等速推移，包括燃面上存在燃速間斷的工況。由于殘值函數(shù)法采用笛卡爾網(wǎng)格離散藥柱，對(duì)燃面的推移區(qū)域可以有效地提前預(yù)估，因此可以將三維體循環(huán)縮減為具有一定厚度的曲面循環(huán)，大大降低了計(jì)算量。此外，在燃面計(jì)算過(guò)程中引入殘值函數(shù)，不僅有效地控制燃面推移的累計(jì)誤差，還可準(zhǔn)確捕捉燃面推移過(guò)程中形狀變化，自然處理界面拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化，避免燃面的網(wǎng)格重構(gòu)，提高算法的穩(wěn)定性。

殘值函數(shù)法中燃面的推移流程可簡(jiǎn)要描述為：

第一步：如圖1所示，Pi為當(dāng)前燃面上的網(wǎng)格點(diǎn)。預(yù)估燃面上的離散點(diǎn)Pi的影響區(qū)域，并向四周推移，在推移的區(qū)域內(nèi)，推進(jìn)劑轉(zhuǎn)化為燃?xì)?，推移距離Δi由式(1)給出。

Δi=dt×ri+δi

(1)

式中 dt為時(shí)間步長(zhǎng)；ri為網(wǎng)格點(diǎn)Pi處推進(jìn)劑的燃速；δi為Pi處的殘值函數(shù)。

第二步：計(jì)算并更新殘值函數(shù)。Pj為藥柱內(nèi)的網(wǎng)格點(diǎn)且處于Pi的影響范圍內(nèi)。Pj處的殘值函數(shù)δj由式(2)獲得。

(2)

其中，m為當(dāng)前燃面上能夠影響到Pj的網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)目，εij的值根據(jù)Pi與Pj之間是否存在燃速間斷進(jìn)行分類計(jì)算：

(1)如圖1(a)所示，若Pi與Pj之間沒有燃速間斷，當(dāng)Pi與Pj之間的距離dij趨于0時(shí)，相應(yīng)的燃速ri和rj趨于相等，則推進(jìn)劑沿直線燃燒，所以Pj處的εij可以由

εij=Δi-dij

(3)

獲得。

(2)如圖1(b)所示，若Pi與Pj之間存在燃速間斷，類比折射定律可知，推進(jìn)劑燃燒路徑滿足：

(a) No discontinuity in burning rate (b) Discontinuity in burning rate

risinθj=rjsinθi

(4)

式中θi和θj分別為兩種推進(jìn)劑燃燒路徑與推進(jìn)劑交界面法向量的夾角。

O點(diǎn)為推進(jìn)劑燃燒路徑與交界面的交點(diǎn)。因此，Pj處的εij可由式(5)獲得：

εij=(Δi-diO)rj/ri-dOj

(5)

式中diO為Pi到O點(diǎn)的直線距離；dOj為O點(diǎn)到Pj點(diǎn)的直線距離。

第三步：確定新的燃面，即更新后的燃?xì)鈪^(qū)域與藥柱區(qū)域的交界面。

結(jié)合內(nèi)彈道基本方程，可以計(jì)算燃燒室內(nèi)壓強(qiáng)，獲得發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)彈道性能。

2 某雙燃速藥柱內(nèi)彈道分析

單室雙推發(fā)動(dòng)機(jī)的設(shè)計(jì)過(guò)程中，為保證助推級(jí)與續(xù)航級(jí)的推力比，常采用高低燃速搭配的思路進(jìn)行助推級(jí)和續(xù)航級(jí)裝藥設(shè)計(jì)。圖2為某發(fā)動(dòng)機(jī)藥柱結(jié)構(gòu)，綠色表示助推級(jí)藥柱，藍(lán)色表示續(xù)航級(jí)藥柱。助推級(jí)采用低燃速大燃面藥型，藥柱結(jié)構(gòu)為盲孔和翼柱相結(jié)合結(jié)構(gòu)，續(xù)航級(jí)采用小燃面高燃速端燃藥柱結(jié)構(gòu)。推進(jìn)劑性能參數(shù)見表1。

表1 推進(jìn)劑性能參數(shù)

圖2 藥柱結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure diagram of the grain

圖3給出采用殘值函數(shù)法獲得的發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)彈道數(shù)據(jù)，與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比可知，殘值函數(shù)法準(zhǔn)確地模擬了雙燃速藥柱燃燒過(guò)程燃面的變化過(guò)程。

圖3 數(shù)值仿真與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.3 Comparison of results of numerical simulation and experiment

由試驗(yàn)結(jié)果可知，在助推級(jí)與續(xù)航級(jí)轉(zhuǎn)級(jí)過(guò)程中，發(fā)動(dòng)機(jī)壓強(qiáng)由7.8 MPa急劇下降至1.5 MPa，然后逐漸增加至局部極大值6.4 MPa，最終逐漸減少至2.6 MPa，構(gòu)成一個(gè)非常明顯的壓強(qiáng)起伏。圖4給出典型時(shí)刻藥柱結(jié)構(gòu)圖，圖中給出藥柱過(guò)軸線的剖面圖，紅色區(qū)域代表燃?xì)馓畛鋮^(qū)域，綠色代表助推級(jí)低燃速推進(jìn)劑，藍(lán)色代表續(xù)航級(jí)高燃速推進(jìn)劑。如圖4(a)所示，燃面與高低燃速推進(jìn)劑交界面剛剛接觸，此時(shí)，低燃速藥柱側(cè)面尚有3.5 mm厚推進(jìn)劑。隨著燃面的推移，在t=7.97 s時(shí)刻，燃面推移至高燃速藥柱內(nèi)，燃面迅速“膨大”，但是由于低燃速藥柱燃面減少量顯著，導(dǎo)致燃燒室壓強(qiáng)迅速降低。在t=7.97～10.28 s范圍內(nèi)，燃面在高燃速藥柱中不斷“膨大”，且低燃速藥柱的兩側(cè)同時(shí)燃燒，燃燒室壓強(qiáng)逐漸回升。隨著燃面的不斷推移，藥柱燃面逐漸趨于平面，面積減少，低燃速藥柱燃盡，導(dǎo)致燃燒室壓強(qiáng)趨于平穩(wěn)。由以上分析可知，此雙燃速藥柱發(fā)動(dòng)機(jī)的內(nèi)彈道呈現(xiàn)顯著起伏現(xiàn)象，主要是由于燃面由低燃速藥柱向高燃速藥柱過(guò)渡時(shí)，明顯“膨大”所致。

(a) t=6.82 s (b) t=7.97 s

3 雙燃速藥柱交界面位置影響分析

雙燃速藥柱成型過(guò)程中，首先進(jìn)行續(xù)航級(jí)藥柱澆注，待續(xù)航級(jí)藥柱預(yù)固化后，再澆注助推級(jí)藥柱。兩級(jí)藥柱的交界面一般通過(guò)續(xù)航級(jí)裝藥量進(jìn)行控制，控制精度不高，本節(jié)通過(guò)參數(shù)研究，進(jìn)行交界面位置對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)彈道性能的影響評(píng)估，進(jìn)而指導(dǎo)藥型優(yōu)化設(shè)計(jì)及藥柱成型要求。

圖5基于圖2所示藥柱將高低燃速交界面向兩側(cè)分別移動(dòng)20 mm進(jìn)行對(duì)比分析，推進(jìn)劑性能參數(shù)保持不變，算例A高低燃速交界面位置為x=320 mm，算例B高低燃速交界面位置為x=280 mm。結(jié)果表明，算例A和算例B內(nèi)彈道特性與原藥柱存在顯著差異。算例A在轉(zhuǎn)級(jí)過(guò)程中，燃燒室壓強(qiáng)陡升至14.7 MPa，超出助推級(jí)初始高壓段的最大壓強(qiáng)。算例B在轉(zhuǎn)級(jí)過(guò)程中，燃燒室壓強(qiáng)大幅降低至0.58 MPa。

圖5 不同交界面位置下的壓強(qiáng)-時(shí)間曲線Fig.5 Pressure-time curves at different interface positions

圖6給出算例A在t=6.3 s時(shí)的燃面拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，此時(shí)低燃速藥柱推移肉厚為70 mm，與圖4(b)基本一致。對(duì)比可知，與原藥柱相比，算例A在從低燃速藥柱向高燃速藥柱過(guò)渡時(shí)，高燃速燃面 “膨大”現(xiàn)象更加明顯。與低燃速燃面疊加后燃面增加顯著，使得發(fā)動(dòng)機(jī)壓強(qiáng)出現(xiàn)陡增，在6.3 s時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)壓強(qiáng)達(dá)到14.7 MPa。若高低燃速的交界面繼續(xù)向右移動(dòng)，發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)級(jí)過(guò)程產(chǎn)生的壓強(qiáng)峰會(huì)進(jìn)一步增大，最終導(dǎo)致發(fā)動(dòng)機(jī)殼體結(jié)構(gòu)失效。

圖6 算例A在6.3 s時(shí)的燃面拓?fù)浣Y(jié)構(gòu) 圖7 算例B在10 s時(shí)的燃面拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.6 Topological structure of burning surface at t=6.3 s for Case A Fig.7 Topological structure of burning surface at t=10 s for Case B

如圖7所示，當(dāng)算例B燃面推移至高低燃速交界面時(shí)，已趨于平面，此時(shí)燃面面積最小且燃速較低，使得燃燒室內(nèi)的壓強(qiáng)降低至0.58 MPa，在此壓強(qiáng)下，推進(jìn)劑不能維持正常燃燒，影響發(fā)動(dòng)機(jī)工作可靠性。由以上分析可知，雙燃速藥柱交界面的位置直接影響著發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)彈道性能的穩(wěn)定性，因此需要在藥型參數(shù)設(shè)計(jì)及藥柱成型過(guò)程中嚴(yán)格控制。

4 結(jié)論

(1)與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比可知，殘值函數(shù)法準(zhǔn)確捕捉了高低燃速推進(jìn)劑交界面處燃面復(fù)雜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的變化。

(2)雙燃速藥柱發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)彈道呈現(xiàn)顯著起伏現(xiàn)象，主要是由于燃面由低燃速藥柱向高燃速藥柱過(guò)渡時(shí)，明顯“膨大”所致。

(3)雙燃速藥柱交界面的位置直接影響著發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)彈道性能的穩(wěn)定性，需要在藥型參數(shù)設(shè)計(jì)及藥柱成型過(guò)程中嚴(yán)格控制。