引導初中生研究數(shù)學試題的幾個視角

孟艷

摘要：本文引導學生通過歸類與總結、延伸與推廣、積累變試題組、“去偽存真”、善于觀察與發(fā)現(xiàn)、積極反思尋求對策等方面研究初中數(shù)學試題。

關鍵詞：初中生 ?數(shù)學試題 ?思維

引言

數(shù)學是培養(yǎng)思維的學科，個人認為在平時的教學中提升學生的思維品質(zhì)是數(shù)學教師的首要任務。因此筆者在自己的教學工作中，力求從如下幾個方面引導學生研究數(shù)學試題以培養(yǎng)學生的數(shù)學思維。

一、歸類與總結

每個知識點涉及哪些題型，教師不但要善于總結，而且要指導學生進行歸類和總結。比如角的有關題型可總結為角的表示、角的換算及計算、方位角、時針與分針轉(zhuǎn)動問題、角度的計算等。

二、延伸與推廣

研究試題的推廣目的是培養(yǎng)學生的探究意識和創(chuàng)新精神，但不需要讓學生對試題的背景、試題的改編等問題進行深究，對試題的推廣也應該量力而為。例如：

如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（-1，0）、B（3， 0）、C（0 ，3）三點，直線l是拋物線的對稱軸.

（1）求拋物線的函數(shù)關系式;

（2）設點P是直線l上的一個動點，當△PAC的周長最小時，求點P的坐標;

（3）在直線l上是否存在點M，使△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標;若不存在，請說明理由.

此題是在二次函數(shù)的背景下研究等腰三角形問題，培養(yǎng)學生分類討論的思維。教師可在學生做完后讓學生自己試著改編第（3）小題，同時在這個二次函數(shù)的背景下變換出其他的幾何問題，從而實現(xiàn)對幾何知識的深度理解。

三、積累變試題組

原題：解方程x-1+x+1=6

變式：（1）解不等式

①x-1+x+1≤6

②x-1+x+1≥6

（2）①x-1+x+1≤a恒成立，求a的取值范圍。

②x-1+x+1≥a，求a的取值范圍。

由方程到不等式，由具體數(shù)字到抽象的字母，在這些變化的過程中把知識串聯(lián)起來，使學生達到“解一題，帶一串，通一類”的境界。以此為契機，引導學生在平時的學習中試著自己對題目加以變化，真正提高數(shù)學的思維水平。

四、注意數(shù)學中的“去偽存真”

數(shù)學中的“去偽存真”，即看到數(shù)學問題的本質(zhì)，抓住解題的關鍵點。例如：

在平面直角坐標系xOy中，對于點P（x，y），我們把點P（-y+1，x+1）叫作點P的伴隨點。已知點A1的伴隨點為A2，點A2的伴隨點為A3，點A3的伴隨點為A4，…，這樣依次得到點A1，A2，A3，…，An，…若點A1的坐標為（3，1），則點A3的坐標為 ? ?，點A2017的坐標為 ? ?;若點A1的坐標為（a，b），對于任意的正整數(shù)n，點An均在x軸上方，則a，b應滿足的條件為 ? ?。

此題目看似信息量很大，但是解題時可根據(jù)問題“去偽存真”，留下關鍵信息即可。①首先，題目要求的是第4n+1項，其他不必探求;②其次，縱坐標都是1，只需探求橫坐標。

讓學生學會“去偽存真”，是優(yōu)化思維的有力手段。

五、引導學生多角度觀察

以下給出一道數(shù)字規(guī)律題，其下兩種方法均為學生的觀察與發(fā)現(xiàn)過程。

觀察每行最后一個數(shù)字會發(fā)現(xiàn)：第n行最后一個數(shù)為n（n+1），所以第（n-1）行最后一個數(shù)字為（n-1）n，即n2-n。因此第n行第一個數(shù)為n2-n+1，第（n+1）個數(shù)為n2-n+（n+1），即n2+1。

從以上分析可以看出，由于觀察的視角不同，學生找到了不同方面的規(guī)律，因此給出了不同的解決方法。

把題目放在平面直角坐標系中，不僅考查到分類討論的思想，而且在求點的坐標的過程中，可以考查到兩點間的距離公式、等腰三角形性質(zhì)及勾股定理。這道題的背景對學生來說還是比較熟悉的，而且這些知識點也是中考必考的，并且多在小題中出現(xiàn)。為了降低計算及思考的難度，把一條邊設置在x軸的正半軸上，另外一條邊設置在正比例函數(shù)y=x圖像在第一象限的部分上。后面的變式1主要是想涉及三角形全等中邊邊角的不合理性，當邊長是2和3的時候，變式1的兩種情況是不存在的。而變式2是想進一步提高學生思維的全面性，并提醒學生審題過程中要關注到條件中的細小差別，進而培養(yǎng)學生思維的縝密性。教師改編題目，能夠引起學生對數(shù)學知識形成和發(fā)生過程的關注。

七、學會反思

關于反思從以下幾個方面給出對策：

1.對于學生知識性的錯誤：要看是知識理解出現(xiàn)了問題還是知識使用出現(xiàn)的問題。

2.對于學生邏輯性的錯誤：要培養(yǎng)學生分析問題的能力，培養(yǎng)逆向思維能力，把條件與結論有效地結合起來。

3.策略性錯誤的對策：多角度思考問題，多途徑解決問題。

作為一名數(shù)學教師，我在平時的工作中盡量從以上七個方面引導學生去研究試題，希望借此優(yōu)化學生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)其思維能力。