利用導數(shù)與輔助函數(shù)解決有關(guān)不等式問題的探討

摘 要：數(shù)學課堂擁有著極為獨特的魅力，但是學生在學習數(shù)學時往往會遇到很多困難。這些困難主要是導數(shù)及輔助函數(shù)問題，通過合理利用導數(shù)以及輔助函數(shù)教師可幫助學生突破難點、完成學習激發(fā)。為做好此點在課堂上教師應(yīng)用導數(shù)的單調(diào)性導數(shù)的定義進行講解，著重突破應(yīng)用導數(shù)處理不等式的相關(guān)問題。過后再利用構(gòu)建一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)等來幫助學生了解高中階段的不等式問題，深化課堂教學。

關(guān)鍵詞：導數(shù);輔助函數(shù);不等式

一、 引言

不等式是高中階段教學的一大難點，不少學生在學習不等式時往往會遇到很多困難。這時教師需要去做的也是利用好導數(shù)以及輔助函數(shù)來突破不等式學習難點，用好相關(guān)定理完成不等式的證明理解。為做好這一點，教師也要改革整個數(shù)學課堂的教學方式。了解學生在不等式學習過程中的薄弱之處，積極做好評價總結(jié)。對不等式的相關(guān)問題完成了解，最終成功突破不等式解題的難點。

二、 利用導數(shù)解決不等式問題

（一）應(yīng)用導數(shù)的單調(diào)性證明不等式

（三）利用導數(shù)來處理不等式的恒成立問題

不等式的恒成立問題就是指不等式中的未知量，無論取最大值還是最小值時它都能夠被當作不等式成立。將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題可以簡化教學思路，完成學生學習的再次創(chuàng)造。

在教學不等式恒成立問題時教師可由參數(shù)問題進行出發(fā)，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)換為參數(shù)的轉(zhuǎn)變思考。將變量進行分離之后把整個函數(shù)式轉(zhuǎn)成M>f（x）的形式，這樣整個題目就變成了M>f（x）最大值了。之后教師再把不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，但是在使用導數(shù)來解決不等式恒成立問題時教師也要注重好教學的一些細節(jié)點比如該不等式的區(qū)間端點是否可取。不等式問題在高考中占有著非常重要的比重，這也是教師應(yīng)該注重的一點。

三、 構(gòu)造函數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用

（一）善于構(gòu)造一次函數(shù)

不等式的證明是一項技巧性很強的題目類型，由此它也很容易成為學生學習的難點部分。但是通過合理構(gòu)造函數(shù)，教師卻可以實現(xiàn)不等式復雜問題的簡單化。將這些復雜的不等式轉(zhuǎn)化為學生熟悉的初等數(shù)學問題，建立起變量以及未知數(shù)之間的相互關(guān)系。幫助學生利用函數(shù)解決問題，最終完成答案求解。一般來講的話一次函數(shù)就是學生在學習過程中最為熟悉的函數(shù)，它是學生在中學階段就開始接觸的函數(shù)。

通過將不等式問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)比較最值的問題。利用二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)證明出整個題目，這樣的一步步思維轉(zhuǎn)換過程是有著一定因果邏輯的。教師首先從題目出發(fā)，找出題目中不等式的相關(guān)性質(zhì)。最后通過構(gòu)造函數(shù)利用二次函數(shù)來解決問題，在教學學生時教師應(yīng)該了解這樣一整個構(gòu)造過程。利用好不等式的循環(huán)構(gòu)建來解決問題，最終深化整個課程教學結(jié)果。

（三）構(gòu)造三角函數(shù)

三角函數(shù)以其獨特性質(zhì)在不等式證明中占據(jù)著非常重要的一環(huán)，利用三角函數(shù)證明不等式也是一種?？嫉念}型。三角函數(shù)相較于一次函數(shù)、二次函數(shù)來講有著獨特的周期性、對稱性、奇偶性，這也是三角函數(shù)的?？键c。在利用三角函數(shù)解決實際問題時，教師應(yīng)該了解三角函數(shù)自身的相關(guān)特性。

由點到面逐漸解決問題，例如在例題：-1≤x+1-x2≤2。單看題目學生很難了解這樣一個問題的突破口，但是之前學生或許做過類似題目，那就是把證明其中的x轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)來解決問題。由觀察我們可以得知，如果將x轉(zhuǎn)化成cosa，那么整個解題過程就會變得十分簡單。接下來再進行式子化簡得到f（a）=cosa+1-cos2a，進一步化解得到2sin（a+45°）。之后利用三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)在取值范圍內(nèi)解出題目，從而證明出不等式。這樣一個解題過程重現(xiàn)了三角函數(shù)的性質(zhì)，這也是學生思維轉(zhuǎn)換的相關(guān)過程。在利用三角函數(shù)時教師應(yīng)該著重引導學生先行了解三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，之后再在了解的基礎(chǔ)上應(yīng)用基礎(chǔ)題型進行知識鞏固。了解基本不等式的證明特點，而三角函數(shù)證明不等式的關(guān)鍵點也是函數(shù)的構(gòu)建。只有多看多總結(jié)，學生才會在不斷的函數(shù)證明過程中了解一些基礎(chǔ)性的出發(fā)點，并從證明題目中尋找到相關(guān)的突破口、最終解決類似的函數(shù)證明題。

四、 總結(jié)

不等式證明題作為高考考查的一大重點，它理應(yīng)被數(shù)學教師作出重視。在新的課程改革模式下，不等式課程證明也體現(xiàn)著其深刻要點。在日常教學過程中高中數(shù)學教師要了解不等式證明的相關(guān)特點，著重引導學生分析不等式證明的技巧性。從構(gòu)造輔助函數(shù)和利用導數(shù)出發(fā)，鞏固學生以往所學習的相關(guān)知識點。真正解決不等式證明這樣一大難題，為學生的后期發(fā)展奠基。而這樣的思維轉(zhuǎn)換過程也能夠讓學生的數(shù)學學習道路變得更為豐富多彩，它是一種能夠激發(fā)學生思維、真正完成學生成長的重要教學模式。

參考文獻：

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作者簡介：

陳新華，福建省漳州市，福建省漳浦第一中學。