明晰算理 靈活運(yùn)算
——《兩位數(shù)乘兩位數(shù)的練習(xí)》教學(xué)設(shè)計(jì)

羅 靚

【教材簡析】

兩位數(shù)乘兩位數(shù)的練習(xí)是在學(xué)生學(xué)習(xí)了兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)口算和兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法后進(jìn)行的。本課內(nèi)容重在讓學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和計(jì)算方法，解決“積最大”這一新問題，利用數(shù)形結(jié)合探索新算法，并利用新算法探究新的規(guī)律。在問題解決中強(qiáng)化算理理解，提升運(yùn)算能力。

【教學(xué)過程】

一、情境引入，初探問題

1.情境引問題。

學(xué)校數(shù)學(xué)港灣邀請(qǐng)大家?guī)兔υO(shè)計(jì)一面“樂高墻”，出示問題：設(shè)計(jì)的底板上每行幾個(gè)顆粒，每列幾個(gè)顆粒，才能擺的更多呢？最多能擺多少個(gè)顆粒呢？注意，行與列都是兩位數(shù)，且數(shù)字不能重復(fù)。

2.初探問題。

引導(dǎo)學(xué)生嘗試用4個(gè)不同的數(shù)字寫乘積最大的兩位數(shù)乘兩位數(shù)。

預(yù)設(shè)：98×76、97×86、96×87，將學(xué)生想到的算式羅列在黑板上。

追問：有沒有什么辦法能馬上判斷出哪個(gè)算式的積不太可能是最大的？

預(yù)設(shè)：計(jì)算十位，排除98×76。

設(shè)問：96×87，97×86 這兩個(gè)能快速判斷嗎？

【設(shè)計(jì)意圖：借助熟悉的生活情境引出用4個(gè)不同數(shù)字寫乘積最大的兩位數(shù)乘兩位數(shù)的問題，激發(fā)學(xué)生解決實(shí)際問題的欲望。在首次比較過程中，鼓勵(lì)學(xué)生用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)快速判斷，通過調(diào)動(dòng)學(xué)生的原有認(rèn)知，初步解決問題，縮小比較范圍，為接下來進(jìn)一步探究積最大的算式奠定基礎(chǔ)?！?/p>

二、引發(fā)沖突，明晰算理

1.回顧舊知。

出示《兩位數(shù)乘兩位數(shù)》的教學(xué)圖片，引導(dǎo)學(xué)生回顧兩位數(shù)乘兩位數(shù)的學(xué)習(xí)過程，并說一說有哪些算法。

梳理兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法：第一種，通過數(shù)的分解進(jìn)行分步計(jì)算；第二種，通過數(shù)的拆分進(jìn)行分步計(jì)算；第三種，列豎式計(jì)算。

【設(shè)計(jì)意圖：這一環(huán)節(jié)，主要是讓學(xué)生回顧兩位數(shù)乘兩位數(shù)的學(xué)習(xí)過程，通過點(diǎn)子圖、數(shù)的分解、數(shù)的拆分及列豎式等方法的重現(xiàn)，回顧兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算法，借助圖示，將計(jì)算過程與圖形聯(lián)系起來，為后續(xù)進(jìn)一步的數(shù)形結(jié)合做鋪墊?！?/p>

2.深入研究。

用已學(xué)的方法判斷比較97×86與96×87哪個(gè)積最大，并解釋計(jì)算的過程。

小組合作要求：（1）每人選一種方法，獨(dú)立研究；（2）組內(nèi)交流；（3）準(zhǔn)備匯報(bào)。

全班匯報(bào)交流，判斷每一種算法是否正確。

方法一：列豎式計(jì)算，比較結(jié)果。

方法二：分拆數(shù)計(jì)算，比較結(jié)果。

方法三：數(shù)形結(jié)合，比較中間過程。

小結(jié)比較，這三種方法有什么區(qū)別？

引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注：方法一和方法二都是比較計(jì)算結(jié)果，得出積最大的算式，而方法三則是通過比較中間過程來判斷積最大的算式。

【設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和方法，獨(dú)立研究新問題的同時(shí)小組合作交流，豐富算法、加強(qiáng)溝通。用原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)解決新問題，同時(shí)利用數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生進(jìn)一步理解算理，明白兩位數(shù)乘兩位數(shù)計(jì)算本質(zhì)，從而為新算法的得出奠定基礎(chǔ)?！?/p>

3．?dāng)?shù)形結(jié)合，拓展新算法。

進(jìn)一步理解圖示，逐步給出新算法。

根據(jù)圖示，引導(dǎo)學(xué)生得出新豎式的寫法，即圖上相同部分先算（十位相乘，個(gè)位相乘），圖上不同部分逐次算（個(gè)位與十位交叉相乘）。進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，無論怎么乘，都是兩位數(shù)的十位與個(gè)位分別于另一個(gè)兩位數(shù)的十位與個(gè)位相乘，與原來豎式的算理一致，不同的是計(jì)算順序發(fā)生了變化，但不會(huì)改變結(jié)果。

【設(shè)計(jì)意圖：從通法到尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。計(jì)算教學(xué)應(yīng)在理解算理的基礎(chǔ)上探索算法。計(jì)算學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)是基本概念、運(yùn)算定律和性質(zhì)，但計(jì)算法則不是固定的，而是可以改變和創(chuàng)造的。因此在引導(dǎo)學(xué)生思考數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，數(shù)與圖示之間的關(guān)系，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑，實(shí)現(xiàn)計(jì)算策略的“靈活性”和“創(chuàng)造性”的同時(shí)，本環(huán)節(jié)旨在理解算理的基礎(chǔ)上靈活計(jì)算，提升運(yùn)算能力，提升數(shù)學(xué)思維?！?/p>

4.跟進(jìn)練習(xí)。

解決問題：用4個(gè)不同的數(shù)字（0除外）組成積最小的兩位數(shù)乘兩位數(shù)。

交流匯報(bào)：可以組成積較小的兩個(gè)算式：13×24和14×23，借助新豎式算法快速比較大小，得出結(jié)論。

【設(shè)計(jì)意圖：對(duì)新算法的鞏固，跟進(jìn)一個(gè)現(xiàn)實(shí)問題，是對(duì)上一問題（寫積最大算式）的拓展，也是對(duì)方法的鞏固，引導(dǎo)學(xué)生在解決新問題時(shí)，利用新學(xué)的知識(shí)技能和方法，遷移類比，解決新問題。同時(shí)及時(shí)跟進(jìn)對(duì)新算法的練習(xí)鞏固，提供給學(xué)生足夠嘗試、體驗(yàn)的時(shí)間和空間，充分感受新算法的便捷性?！?/p>

三、靈活運(yùn)算，探究規(guī)律

下面這些算式，用今天的方法試一試。

校對(duì)答案，說說發(fā)現(xiàn)。

延伸：是不是所有的回文算式積都相等呢？自主舉例驗(yàn)證并研究。

發(fā)現(xiàn)：不是所有的回文算式積都相等。要讓積相等，需要保證兩個(gè)兩位數(shù)十位數(shù)字相乘的積與個(gè)位數(shù)字相乘的積一致。

【設(shè)計(jì)意圖：鞏固交叉相乘新算法，學(xué)生在計(jì)算訓(xùn)練中不知不覺感受到隱藏的規(guī)律，激起學(xué)生探究的欲望，在自主探究規(guī)律中進(jìn)一步強(qiáng)化算理理解，同時(shí)，讓學(xué)生感受到計(jì)算并不是枯燥乏味的，計(jì)算中有無盡的樂趣與奧秘值得探究?！?/p>

四、課堂總結(jié)

學(xué)了今天這節(jié)課，你對(duì)兩位數(shù)乘兩位數(shù)有沒有什么新認(rèn)識(shí)？

【設(shè)計(jì)綜述】

1.問題解決中比較算法，理解算理。

本節(jié)課是在一個(gè)具體開放的問題情境中，讓學(xué)生經(jīng)歷嘗試、列舉、計(jì)算、說理等過程，強(qiáng)化兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法的算理理解，提升運(yùn)算能力。在經(jīng)歷多樣方法比較的過程中，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)一步理解位值原則和豎式計(jì)算原理。進(jìn)而拓展出新算法，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)算的能力。

2.數(shù)形結(jié)合中溝通算法，明晰算理。

本節(jié)課中，試圖通過圖的呈現(xiàn)，讓學(xué)生理解每一步計(jì)算的意思，又與豎式計(jì)算進(jìn)行溝通，凸顯出豎式計(jì)算的算理。同時(shí)借助圖明確尋找積最大的算式只要比較圖上不同的兩塊圖形的大小即可，而這恰恰就是豎式中個(gè)位與十位交叉相乘的結(jié)果。在學(xué)生充分理解算理的基礎(chǔ)上，又做了進(jìn)一步的拓展，利用交叉相乘的方法來計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)，在豎式的計(jì)算和書寫過程中溝通算法間的本質(zhì)聯(lián)系，借助圖的直觀理解算理，明確多樣算法背后的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。明確數(shù)形結(jié)合與算理理解之間相輔相成的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合能非常直觀顯性地讓學(xué)生理解算理，算理的理解能進(jìn)一步助力學(xué)生對(duì)數(shù)與形的溝通。

3.靈活運(yùn)算中探究新發(fā)現(xiàn)，內(nèi)化算理。

本課最后讓學(xué)生進(jìn)行三個(gè)題組的訓(xùn)練，進(jìn)一步強(qiáng)化新算法，學(xué)生在計(jì)算的過程中，不知不覺發(fā)現(xiàn)問題，提出猜想：“所有回文算式的積是否都相等？”進(jìn)一步嘗試探究規(guī)律，隨后引導(dǎo)學(xué)生自主創(chuàng)造回文算式驗(yàn)證猜想，進(jìn)一步引發(fā)沖突，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)，并不是所有的回文算式積都相等。此時(shí)再引導(dǎo)學(xué)生去關(guān)注積相等的幾組回文算式的特點(diǎn)，原來積相等的本質(zhì)在于個(gè)位與十位交叉相乘的結(jié)果無論十位與個(gè)位的位置如何調(diào)整，交叉相乘結(jié)果是不變的。而需要考慮的是十位與十位相乘和個(gè)位與個(gè)位相乘，怎樣做到十位相乘和個(gè)位相乘隨著十位、個(gè)位位置的互換而答案不變呢，就需要保證十位數(shù)字的乘積與個(gè)位數(shù)字的乘積是相等的才能做到。經(jīng)歷這樣的嘗試、猜想、驗(yàn)證、分析的過程，學(xué)生從關(guān)注計(jì)算過程去發(fā)現(xiàn)問題，在對(duì)計(jì)算過程的研究中進(jìn)一步強(qiáng)化了算理的理解，又進(jìn)行了算法的鞏固。