《全等三角形》教學(xué)初探

張家玉

摘要：《全等三角形》是初中幾何的重要內(nèi)容之一，也是學(xué)習(xí)幾何入門最關(guān)鍵的一步。在教學(xué)中，我們讓學(xué)生體會證明的必要性。本章是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，提升學(xué)生推理能力的重要一章。讓學(xué)生學(xué)會用演繹推理的方法研究圖形的屬性，證明幾何命題，并將學(xué)生推理能力的培養(yǎng)貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中。

關(guān)鍵詞：全等三角形;命題;定理;證明

《全等三角形》是初中幾何的重要內(nèi)容之一，也是學(xué)習(xí)幾何入門最關(guān)鍵的一步，是在七年級對《圖形與圖形變換》的認(rèn)識及《數(shù)學(xué)說理與推理》的基礎(chǔ)上展開教學(xué)內(nèi)容，《全等三角形》 是最基本的全等圖形，是對應(yīng)邊、對應(yīng)角都分別相等的三角形。本章首先通過一些具體事例，使學(xué)生再次加深對證明的必要性的認(rèn)識;隨即通過自主探索、實驗操作，得到判定三角形全等的三個基本事實，并在原有數(shù)學(xué)說理的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)一些有關(guān)演繹推理的知識，掌握一些主要的推理論證的方法，使學(xué)生進(jìn)步養(yǎng)成言必有據(jù)的思維習(xí)慣，這些都為本章《等腰三角形》、《線段垂直平分線與角平分線》等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，也為后續(xù)平行四邊形、圖形的相似與圓等各章內(nèi)容的學(xué)習(xí)，實現(xiàn)合情推理與演繹推理的有機(jī)結(jié)合提供了重要依據(jù)，還為學(xué)生運(yùn)用動態(tài)的變換方法研究靜態(tài)的幾何圖形積累了一定的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

本章學(xué)習(xí)要達(dá)成以下教學(xué)目標(biāo)：1.通過具體實例，了解命題、 定理的意義。2.知道證明的意義和證明的必要性，知道證明要合乎邏輯，知道證明的過程可以有不同的表達(dá)形式，會正確書寫證明的格式。3.探索并掌握三個基本事實。4.證明定理：兩角分到相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等。5.了解等腰三角形的概念，探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩底角相等;底邊上的高線、中線及頂角平分線重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理。探索等邊三角形的性質(zhì)定理。6.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜邊直角邊”定理。7.能用尺規(guī)完成四類基本作圖。8.會利用基本作圖作三角形。9.了解原命題及其逆命題的概念，會識別兩個互逆的命題，知道原命題正確其逆命題不一定正確。10.理解線段垂直平分線的概念，探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理。11.探索并證明角平分線的性質(zhì)定理。

本章是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，提升學(xué)生推理能力的重要一章。讓學(xué)生學(xué)會用演繹推理的方法研究圖形的屬性。證明幾何命題，要求學(xué)生在證明中能將合情推理與演繹推理有機(jī)結(jié)合，并將學(xué)生推理能力的培養(yǎng)貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中。

第一小節(jié)“命題定理與證明”中列舉了已經(jīng)學(xué)過的4個圖形的特性，指出它們都是判斷某一件事情的語句，像這樣表示判斷的語句叫做命題，命題可能是真命題，也可能是假命題，要判斷一個命題是真命題，可以通過演繹推理論證，要判斷一個命題是假命題，只要舉出一個反例即可。在教學(xué)中，我們要讓學(xué)生體會證明的必要性，教材通過三個不同的案例，讓學(xué)生理解：由特殊事例得到的結(jié)論可能正確，也可能不正確，因此通過這種方式得到的結(jié)論，還需進(jìn)一步 加以證實。從而， 引出了“證明”的概念：根據(jù)條件、定義以及基本事實定理等，經(jīng)過演繹推理，來判斷個命題是否正確。這樣的推理過程叫做證明。在教學(xué)時必須引起學(xué)生的關(guān)注，指出：“言必有據(jù)”，每步推理都要有依據(jù)，它們可以是已知條件，也可以是定義、基本事實、已經(jīng)學(xué)過的定理以及等式的性質(zhì)、等量代換等在書寫證明的過程中，要求把依據(jù)寫在每一步推理后面的括號內(nèi)。

第二小節(jié)《三角形全等的判定》是本章的重點內(nèi)容。首先回顧了全等三角形的定義以及對應(yīng)頂點、對應(yīng)邊與對應(yīng)角的概念，通過說明兩個三角形的三條邊、兩個角分別對應(yīng)相等，則這兩個三角形必然是全等三角形。使學(xué)生確信三角形全等的判定條件是可以減少的，隨即從最簡單的情況開始，讓學(xué)生自主討論，分別就一組、兩組、三組元素分別對應(yīng)相等的情況，探索三角形全等的判定條件，為學(xué)生提供了自主探索、實驗操作的活動空間。教材對于“邊角邊”、“ 角邊角”與“邊邊邊”三種情況的討論，直至最后得出判定三角形全等的三個基本事實，讓學(xué)生自己在探索思考、實驗操作的過程中得出判定三角形全等的三個基本事實，體會運(yùn)用動態(tài)的變換方法研究靜態(tài)的幾何圖形屬性的過程，并對“角角邊”的情況進(jìn)行了論證。教材最后讓學(xué)生自行概括判定三角形全等的各種情況與相應(yīng)結(jié)論。七年級中，演繹證明的過程以學(xué)生填空為主，本章- -開始，主要由教材給出示例，讓學(xué)生就一些較為簡單的問題自主寫出演繹證明的過程，而某些需要兩步論證的問題，則讓學(xué)生在已有一步論證的基礎(chǔ) 上加以補(bǔ)充完整，起到了承上啟下、自然銜接的作用，整個演繹推理，例題與練習(xí)題的安排均采取逐步深入的原則。教材中，先讓學(xué)生就些較為簡單的問題，直接應(yīng)用三角形全等的基本事實，證明符合給定條件的兩個三角形全等，然后“由三角形全等，延伸至證明兩條邊或兩個角相等，然后再利用等量關(guān)系，設(shè)法補(bǔ)充齊全三角形全等的條件，由簡到難，逐步展開。教材對于 一些結(jié)論的證明，有時僅給出思路，教學(xué)中我們板書并引導(dǎo)學(xué)生自行寫出完整的、規(guī)范的證明過程。教材還探索了兩個直角三角形全等的條件除了“邊角邊”、“角邊角”“角角邊”與“邊邊邊”能判定兩個直角三角形全等外，還有“斜邊直角邊”也能判定兩個直角三角形全等。但必須明確前提是在直角三角形里。

第三小節(jié)“等腰三角形”也是本章的重要內(nèi)容，通過運(yùn)動變換，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)等腰三角形的兩底角相等，并通過演繹推理，證明其正確性，體現(xiàn)了合情推理與演繹推理的有機(jī)結(jié)合。在證明等腰三角形的性質(zhì)定理時，可以通過添加頂角的平分線或添加底邊上的中線，證明兩個三角形全等。另外，等腰三角形的三線合一定理和等邊三角形的性質(zhì)定理與判定定理是常用的定理，也是我們考試的重點，教學(xué)中，可適當(dāng)補(bǔ)充相應(yīng)的例題，讓學(xué)生鞏固對這些定理的掌握。

第四小節(jié)“尺規(guī)作圖”對僅用沒有刻度的直尺（指直尺本身沒有刻度或作圖時不利用直尺上的刻度）和圓規(guī)作圖，及直尺作圖，做了系統(tǒng)的總結(jié)，使學(xué)生對尺規(guī)作圖有較全面的認(rèn)識。

尺規(guī)作圖是本章的難點，教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生注意作圖過程與做法之間的對應(yīng)，引導(dǎo)學(xué)生只能用尺規(guī)完成5種基本作圖，并能運(yùn)用這5種基本作圖來作簡單的幾何圖形。

第五小節(jié)“逆命題與逆定理”以“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”“內(nèi)錯角相等。兩直線平行”為例，引出互逆命題的概念，并指出：如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題就叫它的逆命題，每一個命題都有逆命題，只要將原命題的條件改成結(jié)論。并將結(jié)論改成條件，便可得到原命題的逆命題，原命題與逆命題是相對的。教材通過運(yùn)動變換、推理論證得出，線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等，從互逆命題的角度探索其逆命題是否正確，讓學(xué)生依據(jù)性質(zhì)。逆向思考與其相反的結(jié)論，滲透”逆向思維”，最后加以論證確認(rèn)，學(xué)生必須分清”線段 垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”和“到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上：這兩個互逆定理的條件與結(jié)論防止條件與結(jié)論混涌不清。最后，教材上對三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，這一交 點稱為三角形的外心，即三角形外接圓的圓心，在此，為以后學(xué)習(xí)外心的有關(guān)特性做了鋪墊。教材使用類似的方法得出角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等然后從互逆命題的角度探索其逆命題是否正確，并加以論證確認(rèn)?？梢耘c線段垂直平分線的教學(xué)方法作類比，滲透”類比”的思想方法。

（作者單位：四川省宜賓市第二初級中學(xué)校）