數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

李曉靈

摘要：數(shù)形結(jié)合主要就是將數(shù)學(xué)知識(shí)與幾何關(guān)系相結(jié)合，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想。將數(shù)形結(jié)合應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)的具體教學(xué)中，不僅能使抽象的將數(shù)學(xué)問(wèn)題更加直觀、形象的呈現(xiàn)，而且還能使高中生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思路得到有效開(kāi)闊，從而使學(xué)生解題的準(zhǔn)確性與解題效率得到有效提高。本文主要對(duì)數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用準(zhǔn)則進(jìn)行分析，并提出數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)實(shí)際教學(xué)中的應(yīng)用策略，從而使高中數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量得到有效提高。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;教學(xué);應(yīng)用

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1992-7711（2020）06-083-2

隨著新課改的進(jìn)一步發(fā)展，高中數(shù)學(xué)的教學(xué)方法也實(shí)現(xiàn)了相應(yīng)的優(yōu)化，數(shù)形結(jié)合的教學(xué)理念逐漸在高中教學(xué)領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用。高中數(shù)學(xué)實(shí)際教學(xué)中，通過(guò)數(shù)與形的結(jié)合，進(jìn)行形的高效推理，通常能夠使復(fù)雜的解題方式變得更加簡(jiǎn)單，并通過(guò)對(duì)數(shù)的高效運(yùn)算，使抽象化的數(shù)學(xué)問(wèn)題實(shí)現(xiàn)具體化。同時(shí)，數(shù)形結(jié)合運(yùn)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中，通常對(duì)數(shù)學(xué)教師具備的專(zhuān)業(yè)水平也有著較高的要求，這不僅要求數(shù)學(xué)教師在數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用中充分尊重?cái)?shù)學(xué)的簡(jiǎn)單性與實(shí)際性原則，而且還能使教師的教學(xué)方式備受學(xué)生喜歡，從而使數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量得到有效提高。

一、數(shù)形結(jié)合應(yīng)用的基本準(zhǔn)則

數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用基本準(zhǔn)則具體包括：（1）等價(jià)性原則。數(shù)形結(jié)合的過(guò)程中，“數(shù)”表示的代數(shù)性質(zhì)和“形”表示的幾何性質(zhì)之間的轉(zhuǎn)換必須是等價(jià)的，也就是在對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行解決的時(shí)候，學(xué)生不僅需依據(jù)題意繪制出對(duì)應(yīng)的示意圖，而且在繪圖的時(shí)候，還需要繪制出基本特征以及標(biāo)注相應(yīng)的關(guān)鍵點(diǎn)，如果繪制的圖較為粗糙或不準(zhǔn)確，就會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決產(chǎn)生影響，并產(chǎn)生解題失誤或理解失誤的現(xiàn)象。（2）簡(jiǎn)潔性原則。通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行構(gòu)圖，需在保證正確的基礎(chǔ)上，盡可能促使圖形的簡(jiǎn)潔，對(duì)幾何圖像具備的優(yōu)勢(shì)進(jìn)行充分發(fā)揮，并在代數(shù)的具體計(jì)算過(guò)程中，盡可能避免出現(xiàn)繁雜的計(jì)算，以此使解題的難度得到有效降低，并使繁、難的題目變得更加簡(jiǎn)、易。如果在繪制圖形的時(shí)候沒(méi)有注意到該準(zhǔn)則，不僅會(huì)影響到圖形優(yōu)越性的發(fā)揮，而且還會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量的增加，同時(shí)，如果在進(jìn)行代數(shù)計(jì)算的時(shí)候盲目計(jì)算，也會(huì)導(dǎo)致計(jì)算難度的增加，因此，在繪制圖形的時(shí)候需注重圖形的簡(jiǎn)潔性。（3）雙向性原則。數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，不僅需要對(duì)幾何圖形實(shí)施分析，而且還需要對(duì)相關(guān)數(shù)據(jù)實(shí)施研究，也就是通過(guò)代數(shù)抽象和幾何直觀相結(jié)合的方式進(jìn)行探索，并通過(guò)二者之間的相互作用對(duì)數(shù)據(jù)或圖形進(jìn)行修正，并通過(guò)圖形具備的直觀性對(duì)抽象數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，通過(guò)數(shù)據(jù)的精確性對(duì)圖形的誤差進(jìn)行分析，通過(guò)對(duì)二者之間的優(yōu)勢(shì)充分發(fā)揮，使數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性得到充分體現(xiàn)。

二、數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1.在函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

函數(shù)作為高中教材當(dāng)中較為重要的部分，其屬于高中數(shù)學(xué)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)有效連接的主鏈，該章節(jié)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合通常表現(xiàn)在兩方面：（1）函數(shù)的性質(zhì)，如函數(shù)具備的奇偶性、單調(diào)性，以及函數(shù)的最值，數(shù)學(xué)教材中都對(duì)這些性質(zhì)給出了符號(hào)化概念，這些性質(zhì)的研究與探討也都通過(guò)函數(shù)圖像具備的直觀性，把代數(shù)解析式轉(zhuǎn)變成直角坐標(biāo)系當(dāng)中的函數(shù)圖像，并通過(guò)幾何圖像對(duì)抽象的函數(shù)概念進(jìn)行體會(huì)，從而使高中學(xué)生實(shí)現(xiàn)更好的理解與學(xué)習(xí)。（2）函數(shù)與方程體現(xiàn)的方法為一元二次方程和其相對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像兩者的關(guān)系，其內(nèi)容主要是將函數(shù)圖像與方程的解與X軸的交點(diǎn)所構(gòu)建的對(duì)應(yīng)關(guān)系，則是代數(shù)方式的“y=f（x）有零點(diǎn)”、“f（x）=0有實(shí)根”和幾何形式“y=f（x）的函數(shù)圖像和x軸的交點(diǎn)”之間的相互轉(zhuǎn)化，也就是“數(shù)”“形”互相轉(zhuǎn)化的形式，基于此，學(xué)生就能夠以數(shù)形結(jié)合的方式對(duì)“數(shù)”“形”的關(guān)系進(jìn)行理解與掌握，并通過(guò)數(shù)形結(jié)合運(yùn)用函數(shù)圖像的零點(diǎn)定性對(duì)無(wú)法有效解決的方程實(shí)數(shù)根進(jìn)行判斷，并以根的方式對(duì)函數(shù)是否有零點(diǎn)進(jìn)行判斷。

2.在概率問(wèn)題中的應(yīng)用

概率通常和集合有一定聯(lián)系，因此，不同的概率事件、概率間的基礎(chǔ)運(yùn)算通常能夠與集合之間的關(guān)系、集合間的基礎(chǔ)運(yùn)算處理的過(guò)程構(gòu)建相對(duì)應(yīng)的關(guān)系。對(duì)于集合部分而言，其運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方式通常是以Venn圖進(jìn)行體現(xiàn)的，因此，不同事件之間的關(guān)系也能夠通過(guò)Venn圖進(jìn)行處理，以便于概率的計(jì)算。另外，幾何概型通常是把事件之間的關(guān)系以幾何圖形的方式進(jìn)行表示，然后，通過(guò)圖形的長(zhǎng)度比、面積比以及體積比對(duì)概率進(jìn)行表示，這也屬于數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用方法。

3.在解析幾何問(wèn)題中的應(yīng)用

所謂的“解析幾何”，主要是由數(shù)學(xué)專(zhuān)家笛卡爾所建立的。不論是一維的數(shù)軸，還是二維的直角坐標(biāo)系，其都能實(shí)現(xiàn)“數(shù)”“形”的有機(jī)結(jié)合，這也屬于數(shù)形結(jié)合充分體現(xiàn)的部分。對(duì)幾何問(wèn)題進(jìn)行歸納總結(jié)成代數(shù)形式的相關(guān)問(wèn)題，并通過(guò)定理或者公式的角度，對(duì)圖形問(wèn)題進(jìn)行解決的過(guò)程。例如，在對(duì)直線的斜率進(jìn)行講解時(shí)，以代數(shù)計(jì)算的方式對(duì)直線之間垂直或平行的位置關(guān)系進(jìn)行判斷，而通過(guò)對(duì)直線之間的位置關(guān)系進(jìn)行直觀的觀察，也能獲得對(duì)應(yīng)的代數(shù)間的關(guān)系式。同理可知，兩點(diǎn)之間的距離和點(diǎn)到直線之間的距離也能夠通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行解決。對(duì)于圓與方程的相關(guān)內(nèi)容而言，圓的方程式通常是通過(guò)平面直角坐標(biāo)系當(dāng)中的圓具備的幾何性質(zhì)和兩點(diǎn)之間的距離公式有機(jī)結(jié)合獲得。除此之外，對(duì)于點(diǎn)與圓、圓與圓、線與圓之間的位置關(guān)系而言，其不僅能夠從圖形上進(jìn)行直接觀察，而且還能夠通過(guò)數(shù)字計(jì)算，如圓心到直線的實(shí)際距離和半徑r的關(guān)系、點(diǎn)的坐標(biāo)是否符合方程代數(shù)式等，由此就能夠?qū)χ本€與圓、點(diǎn)與圓、圓與圓之間的位置關(guān)系進(jìn)行有效判斷，其也屬于數(shù)形結(jié)合運(yùn)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中的體現(xiàn)。

4.在三角函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

通過(guò)幾何學(xué)中的平面直角坐標(biāo)系以及單位圓，其不僅能夠通過(guò)任意角代數(shù)進(jìn)行表示，而且還能夠?qū)Σ煌侵g的位置關(guān)系進(jìn)行直觀觀察，同時(shí)，通過(guò)幾何學(xué)具備的圖形語(yǔ)言，還能獲得基本的代數(shù)表達(dá)式以及三角函數(shù)，或者是反過(guò)來(lái)通過(guò)三角函數(shù)值對(duì)三角函數(shù)的圖像進(jìn)行構(gòu)造，從而充分表現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用。通過(guò)單位圓具備的特殊性對(duì)三角函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行探究，例如，三角函數(shù)中的和差運(yùn)算以及誘導(dǎo)公式等，其通常也能夠有效呈現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用。最后，對(duì)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）過(guò)控制變量法對(duì)A、ω、φ對(duì)函數(shù)圖像產(chǎn)生的影響進(jìn)行獲得，相反的，通過(guò)函數(shù)圖像，就能夠得到代數(shù)解析式當(dāng)中的A是振幅，周期是T=2πω，相位是ωx+φ，初相為φ。因此，該部分內(nèi)容也能夠充分體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的方法。

5.在方程問(wèn)題中的應(yīng)用

在方程相關(guān)的問(wèn)題中，學(xué)生通常能夠?qū)σ阎獥l件當(dāng)中的變量關(guān)系實(shí)施分析，并對(duì)方程當(dāng)中所含有的等量關(guān)系進(jìn)行提煉，以此在坐標(biāo)系當(dāng)中畫(huà)出變量與等量的關(guān)系，從而使問(wèn)題的求解得到預(yù)測(cè)的結(jié)果。例如，在對(duì)方程零點(diǎn)的個(gè)數(shù)進(jìn)行求解的問(wèn)題中，學(xué)生事先通常是不知道方程的具體零點(diǎn)個(gè)數(shù)，為了避免少求或多求零點(diǎn)，教師可以依據(jù)方程具備的特征，將其轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)關(guān)系，并在坐標(biāo)系中進(jìn)行表示，這種解題方式雖然不能明確知道零點(diǎn)的具體位置，但是，卻能夠?qū)α泓c(diǎn)處于的區(qū)間和零點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行把握，這樣可以有效防止學(xué)生在求解中出現(xiàn)錯(cuò)誤。

綜上所述，將數(shù)形結(jié)合運(yùn)用于高中數(shù)學(xué)的具體教學(xué)中，不僅能夠使學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量得到有效提高，而且還能豐富學(xué)生的解題思路，從而使學(xué)生全面、高效的掌握數(shù)學(xué)解題方法。對(duì)于數(shù)學(xué)教師而言，首先需要對(duì)數(shù)形結(jié)合理念具備的現(xiàn)實(shí)意義與教育價(jià)值進(jìn)行明確，然后通過(guò)例題分析、合作學(xué)習(xí)等策略，高效的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合理念，從而確保數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的有效落實(shí)，并使高中生具備的學(xué)科能力得到有效發(fā)展。

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（作者單位：甘肅省靖遠(yuǎn)縣第三中學(xué)，甘肅 白銀 730600）