數(shù)學(xué)概念課教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)踐與解析

胡浩　馬林

[摘? 要] 基于“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”的剛性要求，以培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”為教學(xué)行動(dòng)指南，對(duì)近期的一節(jié)市級(jí)示范課“等差數(shù)列”（第一課時(shí)）進(jìn)行了課前思考、教學(xué)設(shè)計(jì)、示范教學(xué)和課后反思，進(jìn)而對(duì)數(shù)學(xué)概念課教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)踐進(jìn)行解析，并提出自己的主張.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)概念;等差數(shù)列;教學(xué)設(shè)計(jì);解析

問(wèn)題的起因

概念是科學(xué)的細(xì)胞，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的樁基. 數(shù)學(xué)概念是反映數(shù)學(xué)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系和空間形式本質(zhì)屬性的思維形式，是數(shù)學(xué)知識(shí)、思想、方法與觀念的主要載體.數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程，就是不斷地建構(gòu)各種數(shù)學(xué)概念的過(guò)程，數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要形式和重中之重.

基于以上思考，筆者近期開設(shè)了一節(jié)市級(jí)示范課“等差數(shù)列”（第一課時(shí)）[1]，其目的就是通過(guò)“簡(jiǎn)單課”“常態(tài)課”的教學(xué)，自我研修，倒逼自己深入鉆研數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實(shí)踐行動(dòng)與策略，促進(jìn)自己的專業(yè)發(fā)展.現(xiàn)把這節(jié)課的前前后后整理出來(lái)，抒發(fā)真實(shí)感受，以作為引玉之磚.

課前思考——如何設(shè)計(jì)？

觀念，是高位的教學(xué)目標(biāo).形成自己的個(gè)性化課程，是教師專業(yè)發(fā)展走向卓越的必然要求. 在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)之前，除研究課標(biāo)、研究教材和研究學(xué)情之外，基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課程目標(biāo)，筆者著重思考了三個(gè)問(wèn)題.

1. 教科書上的引入情境，是否合理科學(xué)？

教科書是這樣引入等差數(shù)列的：從四個(gè)實(shí)例（數(shù)數(shù)、奧運(yùn)會(huì)輕量級(jí)體重、水庫(kù)每天的水位、單利的本息和）中抽象出四個(gè)數(shù)列，然后采用“填空”的方式得出“等差數(shù)列”的概念. 這樣引入，好處是讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)際，數(shù)學(xué)概念是在解決數(shù)學(xué)內(nèi)部或外部的需要中產(chǎn)生的;不妥之處也很明顯，由實(shí)例得出的四個(gè)數(shù)列指向性太強(qiáng)，束縛了學(xué)生對(duì)數(shù)列全面認(rèn)識(shí)的思維. 實(shí)際上是給學(xué)生下了一個(gè)套，教師牽引著學(xué)生往套里鉆，然后再“扎緊口袋”，不利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，不利于張揚(yáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的個(gè)性特征與品質(zhì).

基于此，筆者重新設(shè)計(jì)等差數(shù)列的引入環(huán)節(jié)，創(chuàng)設(shè)學(xué)生知識(shí)“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)的情境（問(wèn)題），激發(fā)學(xué)生迅速打開思維的閘門，即時(shí)投入到概念學(xué)習(xí)中. 通過(guò)從一些數(shù)列中識(shí)別出特殊數(shù)列，確定數(shù)學(xué)研究對(duì)象及其構(gòu)成要素之間的關(guān)系，讓學(xué)生初步感知等差數(shù)列的特征. 培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)和研究的能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)直觀的素養(yǎng).

精心挑選一些數(shù)列，有遞增、遞減、常數(shù)列，有擺動(dòng)數(shù)列、變號(hào)數(shù)列，不過(guò)于復(fù)雜，不過(guò)于發(fā)散.讓學(xué)生自主“識(shí)別”并命名等差數(shù)列，培養(yǎng)學(xué)生的研究意識(shí)，同時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行命名也是對(duì)學(xué)生進(jìn)行一種數(shù)學(xué)文化的熏陶.

2. 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，要不要證明？

抽象和推理是數(shù)學(xué)的顯著特征，通過(guò)“抽象”把外部世界引入數(shù)學(xué)，通過(guò)“推理”促進(jìn)數(shù)學(xué)本身的發(fā)展. 數(shù)學(xué)教育的核心價(jià)值應(yīng)當(dāng)是發(fā)展學(xué)生的思維能力，歸納猜想是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的源泉，猜想為問(wèn)題的解決指明了方向. 以數(shù)學(xué)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生的思維活動(dòng)，通過(guò)歸納猜想得出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，是否正確，還需要嚴(yán)格的推理證明. 藉此，讓學(xué)生感悟科學(xué)研究的方法，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維能力和嚴(yán)謹(jǐn)求真的學(xué)習(xí)習(xí)慣，培育學(xué)生數(shù)學(xué)直觀和邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3. 等差中項(xiàng)的概念，究竟何時(shí)呈現(xiàn)恰適？

“優(yōu)化課程結(jié)構(gòu)，突出主線，精選內(nèi)容”是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》四大基本理念之一. “優(yōu)化課程結(jié)構(gòu)，為學(xué)生發(fā)展提供共同基礎(chǔ)和多樣化選擇;突出數(shù)學(xué)主線，凸顯數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯和思想方法.”[2]毋容置疑，落實(shí)新課標(biāo)理念是數(shù)學(xué)教育工作者義不容辭的責(zé)任. 學(xué)習(xí)活動(dòng)是學(xué)生發(fā)自內(nèi)心的自覺(jué)行動(dòng). 為了突出“等差數(shù)列概念”的本原性與核心地位，把“等差中項(xiàng)”以問(wèn)題（例題）的形式呈現(xiàn)，讓學(xué)生解決，并順勢(shì)提出問(wèn)題：如何表示出成等差數(shù)列的三項(xiàng)？通過(guò)問(wèn)題解決，形成概念間的內(nèi)部邏輯關(guān)系，提高學(xué)生對(duì)等差數(shù)列概念的理解層次與應(yīng)用水平，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)散性與深刻性.

課堂教學(xué)效果綜述

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，是師生之間、學(xué)生之間交往互動(dòng)、共同發(fā)展的過(guò)程.結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況以及本節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn)，采用以“問(wèn)題教學(xué)法”為主導(dǎo)，結(jié)合小組討論等策略進(jìn)行教學(xué). 用數(shù)學(xué)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生的思維活動(dòng)，在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生在課堂上的主體地位得到了充分發(fā)揮，學(xué)習(xí)興趣被極大地激發(fā)了起來(lái)，提高了他們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)研究的意識(shí)和能力，這正是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)對(duì)課堂教學(xué)提出的要求.

采用多媒體互動(dòng)和傳統(tǒng)黑板板書相結(jié)合的教學(xué)手段.通過(guò)PPT演示和展臺(tái)操作，提高課堂教學(xué)效率，增加物理時(shí)間，為掌握理性知識(shí)創(chuàng)造條件;通過(guò)有計(jì)劃的板書和演練，助力學(xué)生對(duì)重點(diǎn)內(nèi)容的理解和對(duì)思想方法的掌握.

課后議課的評(píng)價(jià)：本節(jié)課從六個(gè)數(shù)列入手，通過(guò)尋找特殊數(shù)列、嘗試命名、探究通項(xiàng)等活動(dòng)，不僅較好地復(fù)習(xí)了舊知，還打開了學(xué)生思維的閘門，讓新知自然形成.培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)直觀、邏輯推理的核心素養(yǎng)，鍛煉了學(xué)生在面對(duì)新問(wèn)題時(shí)的研究能力，感悟了科學(xué)研究的方式與方法.別具匠心的教學(xué)設(shè)計(jì)，彰顯出教者深厚的教學(xué)功底，透析出教者對(duì)數(shù)學(xué)概念課教學(xué)的深入思考.

自己的課后反思：通過(guò)教學(xué)實(shí)踐，感覺(jué)教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)生成之間還存在一點(diǎn)差距，個(gè)別環(huán)節(jié)不是很順暢，需要教師的牽引，表明對(duì)學(xué)情的研究還不夠深入. 課堂上學(xué)生幾乎沒(méi)有提出有價(jià)值的問(wèn)題，生成的學(xué)習(xí)資源較少，因而，教會(huì)學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)的感受提出問(wèn)題并加以解決，是急需培養(yǎng)的能力之一.

[?]實(shí)踐解析——數(shù)學(xué)概念教學(xué)之主張

數(shù)學(xué)概念課教學(xué)，需遵循“以問(wèn)題結(jié)構(gòu)推進(jìn)教學(xué)”的原理，契合其產(chǎn)生發(fā)展的脈絡(luò). 教學(xué)過(guò)程必須符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，順應(yīng)人性的發(fā)展，絕不能把數(shù)學(xué)概念“強(qiáng)推或硬塞”給學(xué)生，而是要順應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)部或外部力量的推動(dòng)，自然式必然性發(fā)生.

1. 概念教學(xué)情境要揭示數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)

德國(guó)教育家卡爾·雅斯貝爾斯說(shuō)：“教育的關(guān)鍵在于選擇完善的教育內(nèi)容，盡可能使學(xué)生之‘思導(dǎo)向事物的本質(zhì)而不誤入歧路.” 數(shù)學(xué)概念總是產(chǎn)生、發(fā)展和形成于一定的現(xiàn)實(shí)的或科學(xué)的或數(shù)學(xué)的情境之中，因而，概念教學(xué)必須要從具體情境出發(fā)，概括出數(shù)學(xué)對(duì)象的一般特征，把基于“思考”的擴(kuò)張式抽象與基于“應(yīng)用”的結(jié)構(gòu)式抽象相結(jié)合，透析出數(shù)學(xué)概念的本質(zhì). 教師在創(chuàng)設(shè)情境時(shí)，首先要明確，情境與教學(xué)目標(biāo)是否具有關(guān)聯(lián)性，情境與新知識(shí)之間能否建立有效聯(lián)系. 無(wú)論創(chuàng)設(shè)怎樣的情境，其首要功能是必須抽象或提取出數(shù)學(xué)問(wèn)題，并為教學(xué)內(nèi)容提供服務(wù)[3].

等差數(shù)列概念的本質(zhì)是什么？不是用“青蛙的腿數(shù)”“哈雷彗星出現(xiàn)的年份”“智力闖關(guān)的關(guān)數(shù)”等童謠和科普知識(shí)得出數(shù)列的過(guò)程，而是通過(guò)對(duì)具體數(shù)列的觀察與分析、比較與歸納得出的數(shù)列項(xiàng)之間的內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)本質(zhì)，透視出等差數(shù)列是一類刻畫具有“勻速變化”遞推規(guī)律的數(shù)學(xué)模型.

為此，我們大聲呼吁：創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境要有助于數(shù)學(xué)新概念的產(chǎn)生和發(fā)展，概念教學(xué)情境要能揭示數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì);勿讓“無(wú)為”“無(wú)味”的情境拖累了數(shù)學(xué)概念教學(xué)！

2. 概念教學(xué)的設(shè)計(jì)要具有結(jié)構(gòu)化與開放性

美國(guó)著名教育心理學(xué)家、學(xué)科結(jié)構(gòu)課程專家布魯納指出：越有結(jié)構(gòu)的知識(shí)，越接近學(xué)科本質(zhì);結(jié)構(gòu)化的知識(shí)有助于記憶，有助于遷移. 我國(guó)著名心理學(xué)教授林崇德也指出：創(chuàng)造性學(xué)習(xí)是創(chuàng)造教育的一種形式，它強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主動(dòng)性，重視學(xué)習(xí)策略，講究學(xué)習(xí)效率和方法，追求創(chuàng)造性活動(dòng)的動(dòng)機(jī). 品味之，我們的解讀是：開放性教學(xué)有利于學(xué)生創(chuàng)造性學(xué)習(xí)活動(dòng)的進(jìn)行，這正是開放性教學(xué)模式所體現(xiàn)出來(lái)的優(yōu)勢(shì).結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)概念教學(xué)，教學(xué)過(guò)程就必須具有開放性.開放的數(shù)學(xué)概念課教學(xué)，有利于學(xué)生把新概念主動(dòng)順暢地納入自己的認(rèn)知系統(tǒng)，并對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行正向遷移、重組和重構(gòu).

概念教學(xué)設(shè)計(jì)要將相關(guān)問(wèn)題結(jié)構(gòu)化并設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)膯?wèn)題跨度. 高效的概念教學(xué)就是要舍得把問(wèn)題放在概念的引入、形成及精致化階段. 有研究表明，專家教師在概念的引入、形成階段，精致化占整個(gè)過(guò)程的90%，而骨干教師在這一階段則不到一半或一半稍多. 這說(shuō)明，教師的專業(yè)發(fā)展要走向卓越，就必須使自己的概念教學(xué)設(shè)計(jì)具有結(jié)構(gòu)化與開放性.

當(dāng)然，結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)等差數(shù)列的教學(xué)，還必須把其納入函數(shù)的體系當(dāng)中，這應(yīng)當(dāng)是第二課時(shí)要完成的教學(xué)任務(wù)之一.

3. 概念教學(xué)過(guò)程必須有學(xué)生智力活動(dòng)參與

概念課教學(xué)中培養(yǎng)與提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，必須要有學(xué)生積極的智力活動(dòng)參與，否則就是空談. 基于問(wèn)題的概念教學(xué)模式是引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與課堂的重要策略之一，旨在以問(wèn)題為載體，以思維為核心，更好地整合課堂，提高學(xué)生參與度，獲得課堂生成的“粘稠度”.

數(shù)學(xué)概念課中學(xué)生智力活動(dòng)的參與，主要有四個(gè)維度：發(fā)現(xiàn)——描述——應(yīng)用——反思. （1）以問(wèn)題為導(dǎo)向展開思考. 把發(fā)現(xiàn)問(wèn)題作為思考的起點(diǎn)，分析問(wèn)題的主要特征、構(gòu)成要素、發(fā)展過(guò)程、聯(lián)系方式、矛盾關(guān)系，由此展開的一系列思考會(huì)促使思考更加客觀、冷靜、深入. （2）描述問(wèn)題的過(guò)程也是獨(dú)立思考的過(guò)程. 很多問(wèn)題在描述的過(guò)程中變得水落石出，解決問(wèn)題的方法也會(huì)逐漸清晰，在描述問(wèn)題的過(guò)程中也可能會(huì)發(fā)現(xiàn)更多、更有價(jià)值的思想和方法. （3）解決問(wèn)題是概念的應(yīng)用與重構(gòu)階段.應(yīng)用過(guò)程要緊緊圍繞概念來(lái)進(jìn)行，突出數(shù)學(xué)概念在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)的核心地位與“統(tǒng)攝”作用. 反思階段比其他維度的智力活動(dòng)要求都高. （4）沒(méi)有反思，就沒(méi)有提高. 在概念教學(xué)過(guò)程中，教師要通過(guò)有效示范，教會(huì)學(xué)生反思的方法，掌握需要反思的項(xiàng)目，逐漸養(yǎng)成反思的習(xí)慣.

再者，為了增強(qiáng)概念教學(xué)中學(xué)生智力活動(dòng)的參與度，教學(xué)設(shè)計(jì)必須要配置遞進(jìn)漸深的“問(wèn)題串”，通過(guò)逐一解決，有意識(shí)地教會(huì)學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)的感受，提出自己的問(wèn)題并加以解答.

“感人的歌聲留給人的記憶是長(zhǎng)遠(yuǎn)的.”有學(xué)生真正智力活動(dòng)參與的概念課教學(xué)，帶給學(xué)生的絕不僅僅只有知識(shí)和方法，還有思想、觀念和文化，以及一些潛移默化的關(guān)鍵時(shí)刻能起的作用、終身受益的數(shù)學(xué)品質(zhì)與數(shù)學(xué)素養(yǎng).

4. 數(shù)學(xué)概念課教學(xué)的一般路徑

數(shù)學(xué)概念教學(xué)一般包括：概念的建構(gòu)、內(nèi)涵外延的明確、概念的應(yīng)用.數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)需遵循“以問(wèn)題結(jié)構(gòu)推進(jìn)教學(xué)”的原理，樹立“教學(xué)生學(xué)會(huì)思考”的教學(xué)理念，提升概念學(xué)習(xí)與理解的質(zhì)量[4]. 數(shù)學(xué)概念的獲得方式主要有兩種，一種是概念同化，另一種是概念形成.等差數(shù)列等一些本原性概念的教學(xué)，在強(qiáng)調(diào)探究、活動(dòng)的教育背景下，選擇概念形成是最好的教學(xué)方式.

核心素養(yǎng)視域下，數(shù)學(xué)概念課教學(xué)要以發(fā)展學(xué)生的思維能力和研究能力為導(dǎo)向，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為行動(dòng)指南. “用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界”既是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的表現(xiàn)形式，更是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基本路徑.

數(shù)學(xué)概念課教學(xué)，其一般路徑如圖1所示：

結(jié)束語(yǔ)

體驗(yàn)、揭示知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和形成的過(guò)程，幫助學(xué)生自主建構(gòu)前后貫通的知識(shí)體系，促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的核心任務(wù). 概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要形式和重中之重. 加強(qiáng)概念教學(xué)研究，改善數(shù)學(xué)教學(xué)品質(zhì)，為學(xué)生的成長(zhǎng)謀求最大利益，這是我們的責(zé)任，也是我們孜孜追求的教育理想.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 人民教育出版社等編著. 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)5（必修A版）[M]. 第2版. 北京：人民教育出版社，2007.

[2]? 中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.

[3]? 李祎. 別被理念綁架教學(xué)[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2019（02）.

[4]? 涂榮豹. 數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)原理的構(gòu)建[M]. 北京：科學(xué)出版社，2018.