基于拓?fù)鋬?yōu)化與多目標(biāo)優(yōu)化的集裝箱相似畸變模型設(shè)計(jì)

劉佳琦，蔡忠華，王德禹

(1. 上海交通大學(xué) 海洋工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240； 2. 高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240)

集裝箱運(yùn)輸因其裝卸貨物效率高、運(yùn)輸時(shí)間短和成本低等優(yōu)點(diǎn)，在航運(yùn)市場(chǎng)得到廣泛應(yīng)用。目前，大約90%的非散裝貨物海運(yùn)都是利用集裝箱來(lái)完成運(yùn)輸[1]。隨著集裝箱的廣泛使用，集裝箱墜海事故發(fā)生率隨之升高。據(jù)估計(jì)，每年海上運(yùn)輸過(guò)程中約有10 000個(gè)集裝箱丟失[2]，這對(duì)航運(yùn)業(yè)造成了巨大的經(jīng)濟(jì)損失。Aguiar[1]等認(rèn)為對(duì)集裝箱堆垛進(jìn)行動(dòng)力學(xué)響應(yīng)研究是探究集裝箱丟失機(jī)理的方法之一。而目前，該項(xiàng)研究大部分是建立在有限元軟件數(shù)值計(jì)算的基礎(chǔ)上，這不能完全反映堆棧系統(tǒng)的真實(shí)特性。而在海運(yùn)過(guò)程中，因受到模型體積大，試驗(yàn)難度大和成本高等多方面因素的限制[3]，難以對(duì)高達(dá)幾十米的集裝箱堆垛進(jìn)行試驗(yàn)測(cè)量。因此，在實(shí)驗(yàn)室條件下，利用相似模型來(lái)模擬集裝箱，進(jìn)而構(gòu)建集裝箱堆垛系統(tǒng)，并對(duì)其進(jìn)行試驗(yàn)研究是可行的方法，不僅可以驗(yàn)證有限元數(shù)值模擬的準(zhǔn)確性，還能得到堆垛系統(tǒng)最真實(shí)的力學(xué)行為。

模型試驗(yàn)研究方法是建立與原型相似的模型進(jìn)行試驗(yàn)研究，從而揭示原型本質(zhì)和規(guī)律的方法[4]，其理論基礎(chǔ)是相似定理。在設(shè)計(jì)集裝箱相似模型時(shí)，由于集裝箱具有薄壁構(gòu)件(厚度與結(jié)構(gòu)件最小平面跨度之比在1/80和1/5之間的構(gòu)件[5])，若采用完全幾何相似的縮尺模型進(jìn)行試驗(yàn)，會(huì)出現(xiàn)相似模型的厚度太小而無(wú)法加工的情況，并且在加工焊接時(shí)極易產(chǎn)生初始應(yīng)力和初始變形，這些初始缺陷可能會(huì)成為影響其結(jié)構(gòu)力學(xué)行為的一個(gè)重要因素。初始缺陷影響系數(shù)的不一致代表了初始條件的不一致，這一點(diǎn)與相似第三定理相違背[6]。同時(shí)，集裝箱原模型框架結(jié)構(gòu)不是標(biāo)準(zhǔn)的型材制作，形狀并不規(guī)則。除了框架結(jié)構(gòu)，其它部分主要是采用蒙皮式波紋板結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)在實(shí)驗(yàn)室條件下很難制作。

鑒于集裝箱結(jié)構(gòu)的特殊性，本文提出了一種快速構(gòu)建集裝箱相似畸變模型的方法。首先，建立20英尺ISO貨運(yùn)集裝箱有限元模型，基于有限元方法提取其靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)特征參數(shù)；其次，基于Froude縮尺定理確定縮尺集裝箱特征參數(shù)目標(biāo)值；然后，構(gòu)建相似集裝箱的結(jié)構(gòu)模型，利用拓?fù)鋬?yōu)化對(duì)縮尺集裝箱墻壁結(jié)構(gòu)的材料分布進(jìn)行優(yōu)化；最終，基于多目標(biāo)優(yōu)化算法對(duì)縮尺有限元模型的設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)直至尋優(yōu)目標(biāo)真值收斂至目標(biāo)值，優(yōu)化確定的縮尺有限元模型即為集裝箱相似模型。最后采用有限元分析驗(yàn)證了該畸變相似模型的合理性。研究結(jié)果表明：本文的模型優(yōu)化設(shè)計(jì)方法合理有效，設(shè)計(jì)的模型不僅滿足模型的加工工藝要求，還能預(yù)測(cè)集裝箱的力學(xué)行為。

1 20英尺ISO貨運(yùn)集裝箱模型

標(biāo)準(zhǔn)20英尺ISO貨運(yùn)集裝箱三維模型如圖1所示，它的主要尺寸和材料參數(shù)信息[7]如表1所示。采用Patran有限元軟件構(gòu)建集裝箱的有限元模型，模型的單元尺寸、形狀和類型等詳細(xì)信息見表2?？s尺模型與全尺寸模型在所有相似參數(shù)上完全相似是很難實(shí)現(xiàn)的。選擇重要參數(shù)而忽略次要參數(shù)，雖然會(huì)導(dǎo)致畸變模型和原型之間產(chǎn)生誤差[8]，但誤差的大小取決于選擇參數(shù)對(duì)模型的影響程度。因此，選擇對(duì)集裝箱的機(jī)械性能影響較大的參數(shù)，包括：模型質(zhì)量，慣性矩，結(jié)構(gòu)剛度，第一階模態(tài)頻率，第一階模態(tài)振型等作為重要參數(shù)。為了便于貨物裝卸，20英尺ISO貨運(yùn)集裝箱采用了一端封閉，另一端雙開門的結(jié)構(gòu)形式，如圖2所示。這導(dǎo)致開口端(開門端)和閉口端(封閉端)的橫向剛度存在較大差異，需要分別考慮。

利用有限元分析獲得20英尺ISO貨運(yùn)集裝箱的主要特征參數(shù)，計(jì)算結(jié)果與Aguiar[1]等人保持一致，如表3所示。其中，集裝箱的試驗(yàn)方法和要求如表4所示。

圖1 20英尺集裝箱結(jié)構(gòu)示意Fig. 1 20-ft container structure diagram

圖2 20英尺ISO貨運(yùn)集裝箱Fig. 2 20-ft ISO freight container

表1 20英尺集裝箱的主要尺寸和材料參數(shù)Tab. 1 Main size and material parameters of 20-ft container model

表2 20英尺集裝箱有限元模型構(gòu)造細(xì)節(jié)Tab. 2 Construction details of 20-ft container finite element model

表4 集裝箱試驗(yàn)方法與要求[9-10] Tab. 4 Methods and requirements of container test[9-10]

2 20英尺ISO貨運(yùn)集裝箱縮尺模型設(shè)計(jì)

2.1 相似設(shè)計(jì)準(zhǔn)則

幾何相似是指兩個(gè)系統(tǒng)中相對(duì)應(yīng)的幾何要素的比值是一個(gè)常數(shù)。運(yùn)動(dòng)相似是指兩個(gè)系統(tǒng)中對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)在時(shí)間上的相似性，比如速度、加速度等。幾何相似和運(yùn)動(dòng)相似可以通過(guò)Froude縮尺準(zhǔn)則來(lái)實(shí)現(xiàn)。動(dòng)力學(xué)相似指作用于系統(tǒng)的力之間的比率是固定值。依據(jù)重力與慣性力之比，彈性力與慣性力之比兩個(gè)無(wú)量綱數(shù)，來(lái)確定縮尺模型的物理(尺寸、質(zhì)量)和結(jié)構(gòu)(縱向、橫向剛度)信息，使得縮尺集裝箱與全尺寸集裝箱在幾何、運(yùn)動(dòng)、動(dòng)力學(xué)方面的對(duì)應(yīng)相似。其中，F(xiàn)roude 縮尺準(zhǔn)則[11]信息如表5所示，其中，λ為縮尺比。

表5 Froude縮尺準(zhǔn)則Tab. 5 Froude scaling law

2.2 縮尺模型的構(gòu)造

大比尺模型雖然可以與實(shí)際的結(jié)構(gòu)形式上更為相似，但是制作的成本更高，對(duì)試驗(yàn)環(huán)境的要求也越高，模型的裝卸、測(cè)試都會(huì)有一定的困難。小比尺相似模型則因尺寸過(guò)小，不利于加工制造，且尺寸越小，因焊接產(chǎn)生的殘余應(yīng)力與初始變形對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響會(huì)越大，導(dǎo)致試驗(yàn)結(jié)果的不準(zhǔn)確。因此模型設(shè)計(jì)一方面應(yīng)盡量做到與實(shí)際結(jié)構(gòu)在各方面保持相似，另一方面還需要考慮模型制作的便利性和實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的限制等。本文為節(jié)約模型制作成本，降低對(duì)試驗(yàn)環(huán)境要求，取模型的縮小比例為1∶10，即λ=10。

相似模型的設(shè)計(jì)思路如圖3所示。首先，基于有限元方法，建立20英尺標(biāo)準(zhǔn)海運(yùn)干貨集裝箱結(jié)構(gòu)1∶1的有限元模型，并提取其靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)特征參數(shù)目標(biāo)值；然后，基于Froude定理確定縮尺集裝箱靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)特征參數(shù)目標(biāo)值；其次，在考慮加工制造限制的前提下，選定縮尺集裝箱各結(jié)構(gòu)構(gòu)件的截面形式與尺寸，構(gòu)建縮尺集裝箱結(jié)構(gòu)模型，利用拓?fù)鋬?yōu)化對(duì)縮尺集裝箱墻壁結(jié)構(gòu)的材料分布進(jìn)行優(yōu)化，確定縮尺集裝箱的墻壁結(jié)構(gòu)形狀。基于拓?fù)鋬?yōu)化得到的集裝箱結(jié)構(gòu)形式，利用多目標(biāo)優(yōu)化算法對(duì)縮尺有限元模型的設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，若目標(biāo)真值無(wú)法收斂，則更改集裝箱的各結(jié)構(gòu)構(gòu)件的截面形式或尺寸，重新進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化與多目標(biāo)優(yōu)化，直至尋優(yōu)目標(biāo)真值收斂至目標(biāo)值，優(yōu)化確定的縮尺有限元模型即為集裝箱相似模型。

圖3 相似模型設(shè)計(jì)思路Fig. 3 Design way of similarity model

2.2.1 拓?fù)鋬?yōu)化

為解決實(shí)驗(yàn)室條件下無(wú)法加工蒙皮波紋板結(jié)構(gòu)的問(wèn)題，利用平板進(jìn)行替代。因加工水平的限制，在平板選擇最小厚度，模型質(zhì)量仍遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)目標(biāo)值。因此，需要利用拓?fù)鋬?yōu)化對(duì)縮尺集裝箱的墻壁結(jié)構(gòu)的材料分布進(jìn)行優(yōu)化，在保證結(jié)構(gòu)的特征性能前提下，最大程度地減輕模型的重量。載荷條件與約束條件對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果十分重要，因此，需要考慮在實(shí)際情況下集裝箱的受力情況。

圖4 載荷與約束條件Fig. 4 Load and constraints condition

20英尺ISO貨運(yùn)集裝箱在實(shí)際使用期間，集裝箱底部的4個(gè)角鑄件通過(guò)扭鎖固定在艙蓋板或者下層的集裝箱頂部，集裝箱頂部的4個(gè)角承受著上層集裝箱的重量和相鄰的集裝箱堆垛在集裝箱長(zhǎng)邊方向和短邊方向力的作用。因此約束條件為底部箱角完全固定，載荷條件為頂部的4個(gè)角分別受到沿集裝箱長(zhǎng)邊、短邊的集中力和垂直方向的壓力作用，每個(gè)角在X，Y，Z三個(gè)方向上的力分別為75、1 077和150 N[9]，具體的設(shè)置方式見圖4。雖然在規(guī)范中，不同方向剛度試驗(yàn)底角件的固定方式存在差異，并非均為完全固定，但兩者計(jì)算結(jié)果差異很小，在工程上可以忽略。

基于ABAQUS的SIMP拓?fù)鋬?yōu)化方法，建立了以墻壁結(jié)構(gòu)單元密度為設(shè)計(jì)變量，畸變能密度最小(剛度最大化)為目標(biāo)函數(shù)，優(yōu)化前后體積分?jǐn)?shù)百分比和位移約束為約束函數(shù)的拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型，對(duì)墻壁結(jié)構(gòu)的材料分布進(jìn)行優(yōu)化。其中，對(duì)集裝箱頂端箱角的四個(gè)點(diǎn)進(jìn)行位移約束，以保證集裝箱的箱角不會(huì)產(chǎn)生大變形。拓?fù)鋬?yōu)化的數(shù)學(xué)模型為：

式中：F(ηi)表示結(jié)構(gòu)的畸變能密度，ηi表示第i個(gè)單元的偽密度，α表示體積減小的百分比，V0表示為墻壁結(jié)構(gòu)初始體積，D0表示節(jié)點(diǎn)的許用位移偏移值。

本文利用ABAQUS軟件中變密度法對(duì)不同體積減小百分比和節(jié)點(diǎn)許用位移進(jìn)行計(jì)算，隨著體積減小分?jǐn)?shù)與許用位移的不斷減小，優(yōu)化獲得的墻壁結(jié)構(gòu)趨于穩(wěn)定(一致)。當(dāng)選擇α=5%，D0=0.02時(shí)，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)形式如圖5所示?？紤]到現(xiàn)實(shí)中加工制造的條件，對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化的結(jié)果進(jìn)行修正，如圖6所示。對(duì)修正后的集裝箱模型進(jìn)行靜力學(xué)分析，得到結(jié)果與原始模型進(jìn)行對(duì)比，見表6。

表6 模型優(yōu)化結(jié)果對(duì)比Tab. 6 Comparison of model results

圖5 拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Fig. 5 Results of topology optimization

圖6 20英尺縮尺集裝箱幾何圖Fig. 6 Geometry diagram of 20-ft container

由分析結(jié)果可知，橫向剛度(開口端)和縱向剛度均增加，橫向剛度(閉口端)有所減小，優(yōu)化區(qū)域的墻壁重量減小幅度達(dá)到91.6%。這表明，在集裝箱底端加上小肘板可以很好地給予結(jié)構(gòu)支撐?；谟赏?fù)鋬?yōu)化確定的集裝箱結(jié)構(gòu)形式，進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，以確定各個(gè)結(jié)構(gòu)構(gòu)件的厚度。

2.2.2 多目標(biāo)優(yōu)化

集裝箱畸變相似模型的構(gòu)建是一個(gè)多學(xué)科、多目標(biāo)和多約束的優(yōu)化問(wèn)題。優(yōu)化目標(biāo)包括結(jié)構(gòu)質(zhì)量、集裝箱的橫向剛度(開口端和閉口端)、縱向剛度、抗側(cè)剛度(開口端和閉口端)、一階模態(tài)頻率及振型。其中，采用靜力學(xué)分析計(jì)算結(jié)構(gòu)剛度，加載方式與邊界條件信息詳見表4。利用模態(tài)分析計(jì)算模態(tài)頻率，并通過(guò)輸出一些典型點(diǎn)(集裝箱的8個(gè)箱角頂點(diǎn))的位移來(lái)描繪振型，通過(guò)比較位移數(shù)值大小，初步判斷縮尺模型與原尺寸模型在振型是否一致。最終，對(duì)縮尺模型進(jìn)行模態(tài)分析，驗(yàn)證全尺寸模型與縮尺模型振型是否保持一致，以確保結(jié)果正確。約束條件包括結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和結(jié)構(gòu)的可制造性等。結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的加載方式見表4。制造可行性表明該多目標(biāo)分析的設(shè)計(jì)參數(shù)為離散型。本文采用逆向思維的設(shè)計(jì)方法，通過(guò)調(diào)整集裝箱模型各結(jié)構(gòu)構(gòu)件的特征參數(shù)來(lái)滿足設(shè)計(jì)目標(biāo)。

運(yùn)用多目標(biāo)優(yōu)化方法中的平方加權(quán)法將多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)調(diào)節(jié)權(quán)重因子，來(lái)解決各目標(biāo)之間的量綱不一致性問(wèn)題。每個(gè)目標(biāo)的權(quán)重因子為該目標(biāo)值的倒數(shù)。采用多島遺傳算法對(duì)目標(biāo)函數(shù)尋優(yōu)求解。作為在傳統(tǒng)遺傳算法基礎(chǔ)上建立的一種基于群體分組的并行性遺傳算法[12], 算法將每個(gè)進(jìn)化種群劃分為若干個(gè)子種群，這些子種群被稱為“島嶼”。在每個(gè)島嶼上對(duì)子種群獨(dú)立地進(jìn)行傳統(tǒng)遺傳算法操作，如選擇、交叉、變異等，每個(gè)島選定的個(gè)體定期轉(zhuǎn)移到另一島上，然后繼續(xù)進(jìn)行傳統(tǒng)遺傳算法操作，從而有效地抑制早熟現(xiàn)象，有利于找到全局最優(yōu)解[13]。多島遺傳算法的優(yōu)化模型流程見圖7。

圖7 多島遺傳算法流程Fig. 7 Flow diagram of multi-island GA algorithm

對(duì)集裝箱縮尺模型進(jìn)行模型修正。優(yōu)化后的各個(gè)結(jié)構(gòu)尺寸信息見表7。優(yōu)化過(guò)程中變量變化曲線如圖8和圖9所示。

圖8 優(yōu)化過(guò)程中結(jié)構(gòu)橫向剛度曲線Fig. 8 Transverse stiffness curve in the optimization process

圖9 優(yōu)化過(guò)程中縱向剛度曲線Fig. 9 Longitudinal stiffness curve in the optimization process

應(yīng)用Froude縮尺準(zhǔn)則來(lái)獲得縮尺模型的目標(biāo)特征參數(shù)，選擇的設(shè)計(jì)變量及名稱見表7。通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)實(shí)現(xiàn)模型優(yōu)化設(shè)計(jì)。可由下面的數(shù)學(xué)關(guān)系表示：

表7 縮尺模型幾何信息特征Tab. 7 Scale model geometric information feature

3 20英尺ISO貨運(yùn)集裝箱縮尺模型驗(yàn)證

縮尺集裝箱模型材料采用普通碳素鋼，其楊氏模量E=210 GPa，泊松比υ=0.3，密度為7 850 kg/m3。為了確定本文設(shè)計(jì)的縮尺集裝箱模型的可靠性，采用有限元方法來(lái)對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證。首先，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力學(xué)強(qiáng)度分析，來(lái)提取模型的結(jié)構(gòu)剛度。然后，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析來(lái)確定模型的頻率和模態(tài)特征。

3.1 靜力學(xué)強(qiáng)度分析

對(duì)縮尺集裝箱模型進(jìn)行靜力學(xué)強(qiáng)度分析的加載方式與邊界條件，是參考CCS的《集裝箱檢驗(yàn)規(guī)范》[9]的內(nèi)容設(shè)置的，詳細(xì)信息見表4，利用有限元分析獲得的剛度計(jì)算結(jié)果如圖10所示。

圖10 縮尺集裝箱剛度有限元計(jì)算結(jié)果Fig. 10 Finite element analysis results of stiffness of the scaled model

3.2 模態(tài)分析

對(duì)縮尺集裝箱模型進(jìn)行模態(tài)分析獲得的結(jié)果如表8所示，一階模態(tài)振型見圖11。通過(guò)與原尺寸集裝箱的一階模態(tài)振型圖對(duì)比，兩者一階模態(tài)振型一致，如圖12所示。因此，縮尺集裝箱的特征特性與由Froude縮尺準(zhǔn)則獲得的目標(biāo)值保持一致，驗(yàn)證了經(jīng)過(guò)多目標(biāo)優(yōu)化得到的集裝箱縮尺模型的準(zhǔn)確性與有效性。縮尺集裝箱模型的詳細(xì)參數(shù)信息見表9。

表8 前3階集裝箱模型模態(tài)頻率 Hz Tab. 8 Former 3-order eigen frequencies of container model Hz

圖12 全尺寸集裝箱一階模態(tài)Fig. 12 1st-order natural frequency

由表8可知，最終構(gòu)建的相似模型與原型結(jié)構(gòu)的之間的靜力學(xué)行為差距較小，即本文所提出的方法可以有效減小原型結(jié)構(gòu)和相似試驗(yàn)?zāi)Ｐ椭g的差值，使計(jì)算結(jié)果滿足預(yù)設(shè)目標(biāo)的要求；從模態(tài)分析結(jié)果中可以看出，該集裝箱相似模型與目標(biāo)結(jié)果差距較小，滿足目標(biāo)要求，也驗(yàn)證了所提方法的可行性和實(shí)用性。

表9 縮尺集裝箱模型參數(shù)信息表Tab. 9 Feature parameters of scaled model (λ=10)

4 結(jié) 語(yǔ)

基于Froude縮尺定理，結(jié)合拓?fù)鋬?yōu)化與多目標(biāo)優(yōu)化，提出了一種構(gòu)建相似畸變模型的方法。利用拓?fù)鋬?yōu)化對(duì)縮尺集裝箱墻壁結(jié)構(gòu)的材料分布進(jìn)行優(yōu)化，利用多目標(biāo)優(yōu)化來(lái)尋求滿足靜力學(xué)目標(biāo)、動(dòng)力學(xué)目標(biāo)和結(jié)構(gòu)的物理特性時(shí)各個(gè)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)參數(shù)值。并對(duì)具有薄壁結(jié)構(gòu)的ISO海運(yùn)集裝箱進(jìn)行相似畸變模型的構(gòu)建。最終利用有限元分析驗(yàn)證了該相似畸變模型的合理性。結(jié)果表明：設(shè)計(jì)的模型不僅滿足模型的加工工藝要求，還具有預(yù)測(cè)集裝箱力學(xué)行為的能力。該設(shè)計(jì)方法也具有一定的通用性，能為其它類型結(jié)構(gòu)相似模型的構(gòu)建提供新的思路。