數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)

摘 要 數(shù)學(xué)發(fā)展史上發(fā)生過三次重大危機(jī)，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了巨大影響。就三次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生以及危機(jī)的解決方面進(jìn)行梳理，從數(shù)學(xué)史的視角給出了三次數(shù)學(xué)危機(jī)的啟示。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)危機(jī) 數(shù)學(xué)史 危機(jī)解決

0 引言

經(jīng)歷幾千年的發(fā)展之后，數(shù)學(xué)已發(fā)展成為一個(gè)龐大的學(xué)科體系。1868年還只有38個(gè)分支的數(shù)學(xué)學(xué)科，到了1979年就發(fā)展成擁有約3 400個(gè)分支的學(xué)科體系。在漫長的發(fā)展過程中，數(shù)學(xué)的發(fā)展道路并不平坦，出現(xiàn)了多次危機(jī)，而這些危機(jī)的解決，進(jìn)一步促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。本文將就其中的三次重大危機(jī)進(jìn)行梳理，探索這三次數(shù)學(xué)危機(jī)產(chǎn)生的歷史根源、思想背景以及危機(jī)的解決過程，這對(duì)了解數(shù)學(xué)這門學(xué)科的發(fā)展脈絡(luò)、領(lǐng)略數(shù)學(xué)的旖旎風(fēng)光與思想方法無疑具有十分重要的意義。

2 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)

2.1 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生

畢達(dá)哥拉斯是公元前5世紀(jì)古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家。相傳畢達(dá)哥拉斯青年時(shí)代曾就學(xué)于泰勒斯，后到過亞洲和埃及旅行，特別是在埃及，學(xué)到了很多數(shù)學(xué)知識(shí)。約公元前530年，他返回故里，創(chuàng)立了自己的學(xué)派—畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。

該學(xué)派是一個(gè)神秘的宗教組織，主要從事哲學(xué)和數(shù)學(xué)的研究，內(nèi)部紀(jì)律嚴(yán)明，把一切發(fā)現(xiàn)歸功于學(xué)派領(lǐng)袖，而且秘而不宣，以致后人無法得知這個(gè)學(xué)派的發(fā)現(xiàn)是何人在何時(shí)發(fā)現(xiàn)的。畢達(dá)哥拉斯及其學(xué)派的思想以及學(xué)說是在很久以后，該組織漸漸分散、保密的教條被放棄以后在一些公開講述該學(xué)派教義的著作中逐漸出現(xiàn)的，所以我們今天看到的這個(gè)學(xué)派的傳聞?dòng)兄煌陌姹尽?/p>

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在數(shù)學(xué)上有很大的貢獻(xiàn)，論證數(shù)學(xué)的成長、數(shù)學(xué)抽象的提出等都?xì)w功于該學(xué)派。特別是畢達(dá)哥拉斯定理，盡管各個(gè)文明圈都獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)甚至證明了該定理，但西方將之命名為畢達(dá)哥拉斯定理，可見世界對(duì)該學(xué)派數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)的認(rèn)同。

這個(gè)學(xué)派信奉“萬物皆為數(shù)”的理念，具體地有兩個(gè)方面的內(nèi)涵：（1）宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比。（2）任意兩條線段都是“可公度的”。這里兩條線段a、b可公度是指總可以找到第三條線段t，使得a、b的長度都是t的長度的整數(shù)倍。

作為學(xué)派信條的“萬物皆數(shù)”在當(dāng)時(shí)一直能解釋各種現(xiàn)象，但學(xué)派成員根據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理，通過邏輯推理發(fā)現(xiàn)，邊長為1的正方形的對(duì)角線長度既不是整數(shù)，也不是整數(shù)的比所能表示的，正方形的一邊與該正方形的對(duì)角線是不可公度線段。

這一發(fā)現(xiàn)從根本上沖擊了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的根基，對(duì)古希臘的數(shù)學(xué)觀產(chǎn)生了巨大的沖擊，引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。據(jù)傳一開始只有畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的成員知道這一結(jié)果，內(nèi)部非?？只牛瑯O力掩蓋事實(shí)，希望在內(nèi)部化解危機(jī)。據(jù)說學(xué)派成員希伯索斯因泄露了這個(gè)秘密而被秘密處死（也有傳聞?wù)f希伯索斯本人就是不可公度比的發(fā)現(xiàn)者）。

2.2 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決

古希臘人解決這個(gè)問題的基本思路是：在數(shù)的領(lǐng)域仍然只承認(rèn)證書（或整數(shù)比），只要在幾何的研究中能解決幾何量中出現(xiàn)的不可通約（不可公度）量問題就可以萬事大吉了。也就是說，把數(shù)和量分開處理。

幫助古希臘人擺脫困境的關(guān)鍵一步是由才華橫溢的歐多克索斯邁出的。歐多克索斯（公元前408—公元前355）是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家與地理學(xué)家，被認(rèn)為是古代世界最卓越的創(chuàng)新人物之一。約公元前370年，歐多克索斯天才地給出了“兩個(gè)量的比相等”的新定義，這是歐多克索斯比例論的核心。他的著作已經(jīng)全部失傳，但幸運(yùn)的是，他的比例論成果保存在歐幾里得《幾何原本》的第五卷中，從中可以看到其主要思想。歐多克索斯從這個(gè)新定義出發(fā)，推出了“，則 ”等25個(gè)有關(guān)比例的命題。在論證了比例的這些“通?！毙再|(zhì)后，古希臘人就能夠?qū)缀瘟恐冗M(jìn)行運(yùn)算了，這與現(xiàn)在我們對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算的方式幾乎相同。這樣古希臘人部分地消除了危機(jī)。之所以說“部分地”消除了危機(jī)，是因?yàn)椤耙磺卸伎梢詺w結(jié)為整數(shù)比”這一命題的錯(cuò)誤仍然沒有辦法消除，徹底解決這一危機(jī)是在19世紀(jì)，實(shí)數(shù)理論建立以后的事情。

3 第二次數(shù)學(xué)危機(jī)

3.1 第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)則是由牛頓學(xué)派的外部、貝克萊大主教提出的，是對(duì)牛頓“無窮小量”說法的質(zhì)疑引起的。16～17世紀(jì)，數(shù)學(xué)家對(duì)瞬時(shí)速度、切線、極值以及曲線所圍圖形面積等四大類問題的追究，經(jīng)過許多數(shù)學(xué)家的多年努力，終于在17世紀(jì)晚期，形成了無窮小演算—微積分這門學(xué)科，其中貢獻(xiàn)最大的是牛頓、萊布尼茲兩位數(shù)學(xué)家。

但牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立的微積分理論是不嚴(yán)格的，兩人的理論都建立在無窮小分析上，但他們對(duì)作為基本概念的無窮小量的理解與運(yùn)用比較混亂，推理過程中存在著明顯的矛盾。以求自由落體的瞬時(shí)速度為例：

前面提到的其他三類主要問題也采用這樣的無窮小分析方法，都得到了解決，這一方法也成功地用在解決過去大量的科技問題上，因而得到了廣泛的認(rèn)同，并得以迅速發(fā)展。

但是當(dāng)時(shí)的微積分理論雖然在計(jì)算上能方便地解決許多的計(jì)算問題，可對(duì)作為基本概念的無窮小量的理解與運(yùn)用卻是混亂的，模糊不清的。圍繞“無窮小”作為一個(gè)量，究竟是不是0？微積分理論的創(chuàng)立者在推導(dǎo)過程中對(duì)“無窮小”的屬性的說明是不一致的。

3.2 第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決

為了補(bǔ)救第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，數(shù)學(xué)家們開始嚴(yán)格化重建微積分。微積分的創(chuàng)立者牛頓、萊布尼茲自身也做了很多努力，但問題沒有得到解決。此外，英國數(shù)學(xué)家泰勒在微積分創(chuàng)立之初也曾努力地去彌補(bǔ)被遺留的難題，但是嘗試沒有取得成功。

在貝克萊悖論提出后的7年，出現(xiàn)了30多種的小冊(cè)子和論文試圖消除悖論并回?fù)糌惪巳R的批評(píng)，并把主要的努力投入到微積分基礎(chǔ)的嚴(yán)密化嘗試中。其中，英國數(shù)學(xué)家麥克勞林對(duì)貝克萊悖論做出了最重要的回應(yīng)，他采取了拒斥無窮和無窮小量概念，用幾何方法嚴(yán)格論證微積分的做法。

但這樣的工作沒有獲得18世紀(jì)大多數(shù)數(shù)學(xué)家的認(rèn)同，因?yàn)辂溈藙诹值姆椒ㄍ嘶氐搅斯畔ＥD人的煩瑣方法，這樣做就放棄了微積分理論的優(yōu)點(diǎn)：迅速而有效地解決重要的計(jì)算問題。因此數(shù)學(xué)家需要尋找其他途徑加固微積分基礎(chǔ)。

18世紀(jì)更多消除貝克萊悖論的工作是由歐洲大陸數(shù)學(xué)家完成的。歐拉、達(dá)朗貝爾、拉格朗日、卡諾等做出了較大的貢獻(xiàn)。其中達(dá)朗貝爾設(shè)法利用極限的方法給出微積分的理論依據(jù)，拉格朗日設(shè)法放棄無窮小量的概念，卡諾則采取了用事實(shí)證明和說明無窮小的現(xiàn)有算法。但整個(gè)18世紀(jì)，人們都試圖為微積分找到合乎邏輯的理論基礎(chǔ)，幾乎每一個(gè)數(shù)學(xué)家也都做出了一些努力，雖然有一些發(fā)現(xiàn)，但所有的努力都沒有獲得圓滿的結(jié)果。

4 第三次數(shù)學(xué)危機(jī)

4.1 第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生

19世紀(jì)末和20世紀(jì)初，數(shù)學(xué)迎來了空前興旺發(fā)達(dá)的時(shí)期。首先是數(shù)理邏輯學(xué)科的誕生，實(shí)現(xiàn)了邏輯的數(shù)學(xué)化。19世紀(jì)70年代，德國數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立了集合論，旨在為數(shù)學(xué)學(xué)科奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。19世紀(jì)末戴德金和皮亞諾對(duì)算術(shù)及實(shí)數(shù)理論進(jìn)行公理化，希爾伯特則完成了初等幾何的公理化。同一時(shí)期，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一些新興分支，如抽象代數(shù)學(xué)、點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)、泛函分析、測度與積分理論等也得到蓬勃發(fā)展。

數(shù)學(xué)學(xué)科取得的一系列巨大成就，令數(shù)學(xué)家振奮。1900年，在巴黎召開的國際數(shù)學(xué)家會(huì)議上，法國大數(shù)學(xué)家龐加萊興奮地宣布：“我們可以說，現(xiàn)在數(shù)學(xué)已經(jīng)達(dá)到了絕對(duì)的嚴(yán)格”。但數(shù)學(xué)家們很快發(fā)現(xiàn)了集合論內(nèi)部存在的問題，他們提出的多個(gè)數(shù)學(xué)悖論讓數(shù)學(xué)大廈又一次受到強(qiáng)烈沖擊，引發(fā)了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。這些悖論中包含了康托爾本人發(fā)現(xiàn)的悖論，但康托爾等人提出的悖論并未引起數(shù)學(xué)家的重視。一直到1902年羅素悖論的出現(xiàn)，終于引起了數(shù)學(xué)界的極大震動(dòng)，圍繞集合論形成了20世紀(jì)初數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的大論戰(zhàn)。

羅素悖論可以這樣描述：以M表示“是其本身成員的所有集合的集合”，以N表示“不是它本身成員的所有集合的集合”，問，集合N是否是它本身的成員？

我們可以通過推理得出：無論是哪種情況，都出現(xiàn)矛盾。

羅素悖論曾被以多種形式通俗化，其中最著名的是羅素于1919年給出的“理發(fā)師悖論”：某村有個(gè)理發(fā)師，宣布了這樣一條原則：他給且只給村里不自己刮臉的人刮臉。問：理發(fā)師是否給自己刮臉？如果他給自己刮臉，他就屬于自己給自己刮臉的人，按規(guī)則，理發(fā)師不應(yīng)該給他自己刮臉，矛盾。如果他不給自己刮臉，他就屬于自己不給自己刮臉的人，按規(guī)則，理發(fā)師應(yīng)該給他自己刮臉，這又矛盾。無論是哪種情況，都出現(xiàn)矛盾。

羅素悖論比起之前的數(shù)學(xué)家提出的悖論以簡單明了的方式揭開了集合論本身矛盾重重的蓋子，震驚了整個(gè)數(shù)學(xué)界。法國數(shù)學(xué)家、數(shù)理邏輯先驅(qū)弗雷格當(dāng)時(shí)正準(zhǔn)備出版《算術(shù)的基本法則》第二卷，收到羅素的信后，只能把自己為難的心情寫在新著的末尾：“對(duì)一位科學(xué)家而言，最難過的事情莫過于在他的工作即將結(jié)束時(shí)，其基礎(chǔ)崩潰了。”提出算術(shù)公理完整系統(tǒng)的德國數(shù)學(xué)家戴德金也因此推遲了他的《什么是數(shù)的本質(zhì)和作用》一文的再版。

4.2 第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決

危機(jī)產(chǎn)生后，數(shù)學(xué)家紛紛提出自己的解決方案。數(shù)學(xué)家開始了對(duì)康托爾集合論的改造，主要是通過對(duì)集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。這些原則既要保證能排除一切矛盾，又能使康托爾集合論中一切有價(jià)值的內(nèi)容得以保存下來。1908年，策梅羅在自己這一原則基礎(chǔ)上提出第一個(gè)公理化集合論體系，后來經(jīng)弗倫克爾的改進(jìn)，形成了著名的Zerme-to-Fraenkel（ZF）集合論公理體系，之后在ZF公理體系的基礎(chǔ)上添加了選擇公理，形成ZFC集合論公理體系。這一公理化集合系統(tǒng)很大程度上彌補(bǔ)了康托爾樸素集合論的缺陷。除ZFC系統(tǒng)外，集合論的公理系統(tǒng)還有多種，如馮·諾伊曼、博內(nèi)斯、哥德爾等提出的NBG系統(tǒng)等。公理化集合系統(tǒng)的建立，成功地排除了集合論中出現(xiàn)的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。

盡管悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數(shù)學(xué)的確定性卻在一步一步地喪失?，F(xiàn)代公理集合論中一大堆公理，簡直難說孰真孰假，可是又不能把它們都消除掉，它們跟整個(gè)數(shù)學(xué)是血肉相連的。所以，第三次數(shù)學(xué)危機(jī)表面上解決了，實(shí)質(zhì)上以其他形式更深刻地延續(xù)著。

在另一方面，羅素悖論對(duì)數(shù)學(xué)而言有著更為深刻的影響。它使得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題第一次以最迫切的需要的姿態(tài)擺到數(shù)學(xué)家面前，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究。而這方面的進(jìn)一步發(fā)展又極其深刻地影響了整個(gè)數(shù)學(xué)。如圍繞著數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之爭，以羅素為代表的邏輯主義、以布勞威為代表的直覺主義、以希爾伯特為代表的形式主義三大數(shù)學(xué)哲學(xué)學(xué)派（數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的三大學(xué)派）應(yīng)運(yùn)而生，而各派之爭又促進(jìn)了數(shù)學(xué)的大發(fā)展等等。

5 三次危機(jī)對(duì)我們的啟示

三次數(shù)學(xué)危機(jī)能給人很多啟示，本文從數(shù)學(xué)史的角度去思考，能得到以下啟示：

（1）首先是理解無限并非易事。無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，而無理數(shù)實(shí)際上就是無限不循環(huán)小數(shù);第二次危機(jī)，正像貝克萊指責(zé)的那樣在“無窮小量”上，實(shí)際上要害的核心極限理論的邏輯基礎(chǔ)不完善;而第三次危機(jī)，涉及無窮集合，也與無限有關(guān)。可以看到，三次危機(jī)都與無限有關(guān)。現(xiàn)代人在學(xué)習(xí)、理解涉及無限的概念或現(xiàn)象、解決涉及無限的問題是也常常發(fā)生困難，由于人們習(xí)慣于有窮情況下的思維，往往從有窮狀況類比、推斷無窮情況、認(rèn)知未知情形、未知世界，而有窮與無窮有著本質(zhì)的區(qū)別，因此一旦遇到無窮時(shí)要格外謹(jǐn)慎。

（2）數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史有助于深入理解數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中我們經(jīng)常遇到會(huì)有許多如下的疑惑：為什么古希臘數(shù)學(xué)家喜歡用幾何方法研究處理數(shù)學(xué)問題？為什么把無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)？數(shù)學(xué)的理論或結(jié)構(gòu)是如何建構(gòu)的？為什么要進(jìn)行證明？為什么有的教科書對(duì)平行線給出“同一平面內(nèi)垂直與同一直線的兩條直線”這樣的定義，而不用“同一平面內(nèi)永不相交的直線呢”？為什么要這樣構(gòu)建公理系統(tǒng)？戴德金分割和皮亞諾公理有什么意義？這些問題在教科書中找不到現(xiàn)成的答案，絕大部分教師也不會(huì)提及會(huì)解釋這些問題。而通過前面的討論我們對(duì)這些問題會(huì)在某種程度上找到答案。比如對(duì)教科書中平行線的兩種定義，實(shí)際上是數(shù)學(xué)哲學(xué)三大流派中直覺主義與形式主義的“代表”，是否“永不相交”無法判別，形式主義給予認(rèn)可，但直覺主義則希望能實(shí)實(shí)在在地進(jìn)行判斷，而采用垂直于同一條直線這樣的說法。

6 結(jié)語

通過對(duì)三次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生、發(fā)展史的考察，我們對(duì)數(shù)學(xué)的理解能得到提高。相對(duì)數(shù)學(xué)世界的瀚海大海，限于目前已知的狹隘知識(shí)面，我們對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知目前還是冰山一角。如果我們能比較全面、系統(tǒng)地了解數(shù)學(xué)的發(fā)展史，無疑能提高我們對(duì)數(shù)學(xué)理解的高度以及深度。

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（2019-12-30收稿，2020-02-26修回）

作者簡介：陸新生（1963—），男，副教授，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)基礎(chǔ)理論、數(shù)學(xué)教材教法，E-mail： xslu@shnu.edu.cn。

Three crises in the history of mathematics// LU Xinsheng

Author's Address Mathematics & Science College of Shanghai Normal University， E-mail： xslu@shnu.edu.cn.

Abstract There have been three major crises in the history of mathematics development， which have a great impact on the development of mathematics. In this paper， the emergence and solution of the three mathematical crises are combed， and the Enlightenment of the three mathematical crises is given from the perspective of the history of mathematics.

Keywords mathematical crisis， history of mathematics， crisis resolution