基于最小一乘的虛擬陣元波束形成仿真研究

張偉民，郭海濤，金其余，田原嫄，焦圣喜

基于最小一乘的虛擬陣元波束形成仿真研究

張偉民1，郭海濤2，金其余3，田原嫄4，焦圣喜5

(1. 內(nèi)蒙古大學(xué)電子信息工程學(xué)院，內(nèi)蒙古呼和浩特 010021；2. 海南熱帶海洋學(xué)院海洋信息工程學(xué)院，海南三亞 572022；3. 內(nèi)蒙古大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古呼和浩特 010021；4. 東北電力大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，吉林吉林 132012；5. 東北電力大學(xué)自動(dòng)化工程學(xué)院，吉林吉林 132012)

水下多波束成像系統(tǒng)成像質(zhì)量的關(guān)鍵主要在于波束形成的質(zhì)量。在信號(hào)頻率一定時(shí)，常規(guī)相移波束形成只有通過增加基陣的孔徑來(lái)得到更窄的波束，但是在有限的應(yīng)用條件下，這種方法又受到實(shí)際工程的限制。因此，提出一種基于最小一乘估計(jì)的虛擬陣元波束形成方法。在低信噪比的情況下，利用最小一乘估計(jì)的穩(wěn)健性可以得到更加準(zhǔn)確的估計(jì)信號(hào)，從而在不增加基陣尺寸的情況下獲得更窄和抗干擾性更強(qiáng)的波束，提高陣增益和聲吶圖像的角度分辨率。通過Matlab仿真并與其他方法比較驗(yàn)證，證明了上述方法的優(yōu)越性。

多波束成像系統(tǒng)；最小一乘估計(jì)；穩(wěn)健性；虛擬陣元；波束形成

0 引言

多波束成像聲吶通常在輻射角度區(qū)域形成大量的窄波束，其特點(diǎn)是高分辨率[1]、高數(shù)據(jù)率、寬覆蓋[2-4]且能夠?qū)崟r(shí)成像[5]。而這些波束的性能直接影響著成像聲吶的方位分辨率[6-7]。常規(guī)波束形成只有通過提高信號(hào)的發(fā)射頻率和接收陣列的孔徑得到較窄的波束來(lái)提高圖像的分辨率。由于實(shí)際情況中，高頻信號(hào)衰減嚴(yán)重，陣列孔徑不能做得很大。因此，在保證陣列增益、波束寬度等指標(biāo)優(yōu)良的條件下，減少陣元使用數(shù)成為陣列發(fā)展的趨勢(shì)之一[8]，虛擬陣元波束形成就是在這種情況下產(chǎn)生的。此類算法能夠使用較少的陣元數(shù)目得到較好的波束性能。人們?cè)跀?shù)理統(tǒng)計(jì)中用“穩(wěn)健性”這個(gè)概念來(lái)描述異常值對(duì)某種方法的影響程度。虛擬陣元接收信號(hào)估計(jì)算法的準(zhǔn)確性和穩(wěn)健性決定了虛擬陣元波束形成的性能和應(yīng)用的可靠性。

虛擬陣元波束形成是虛擬陣列波束形成方法中的一類，主要有線性預(yù)測(cè)法[9]、最小二乘法[9]和基于遺傳算法的聲矢量陣虛擬陣元波束形成法[10]等。線性預(yù)測(cè)法是將虛擬陣元的前個(gè)(或后個(gè))陣元數(shù)據(jù)作為參考信號(hào)來(lái)實(shí)現(xiàn)虛擬陣元的構(gòu)建。隨著虛擬陣元數(shù)目的增加，估計(jì)結(jié)果會(huì)產(chǎn)生明顯的累積誤差。最小二乘法通過處理真實(shí)陣元接收信號(hào)來(lái)估計(jì)虛擬陣元接收信號(hào)。最小二乘法相比線性預(yù)測(cè)法估計(jì)結(jié)果更加準(zhǔn)確且不產(chǎn)生累積誤差。但實(shí)際海洋環(huán)境中的噪聲較為復(fù)雜，接收信號(hào)中必然會(huì)存在異常值，而最小二乘法的穩(wěn)健性較差，使估計(jì)誤差增大?；谶z傳算法的聲矢量陣虛擬陣元波束形成是通過遺傳算法優(yōu)化得到估計(jì)系數(shù)，從而構(gòu)建出虛擬陣元接收信號(hào)。但在回波信號(hào)信噪比較低時(shí)，實(shí)陣元接收到的信號(hào)復(fù)雜且奇異值較多，通過遺傳算法優(yōu)化得到的解容易陷入局部極值，使估計(jì)誤差增大。

本文利用最小一乘(Least Absolute Deviation, LAD)在估計(jì)回歸系數(shù)時(shí)穩(wěn)健的優(yōu)點(diǎn)[11-12]，給出一種基于最小一乘穩(wěn)健估計(jì)的虛擬陣元波束形成方法。由于最小一乘計(jì)算困難，所以利用文獻(xiàn)[13]線性規(guī)劃方法快速準(zhǔn)確地估計(jì)出最小一乘線性回歸系數(shù)，從而解決了最小一乘求解難的問題。

1 最小一乘估計(jì)

1.1 線性預(yù)測(cè)模型

用向量及矩陣形式表示為

其中：為元素全為1的維列向量；

1.2 最小一乘線性回歸系數(shù)估計(jì)算法

最小一乘的線性回歸系數(shù)需要通過求解一個(gè)無(wú)約束不可微最優(yōu)化問題來(lái)獲得，即

2 虛擬陣元波束形成的構(gòu)建

2.1 信號(hào)模型與噪聲模型

對(duì)于單頻信號(hào)，基陣的指向性函數(shù)與陣元間隔有關(guān)，反映了信號(hào)在陣元之間存在一定的空間相關(guān)性[15]。這是虛擬陣元可以實(shí)現(xiàn)的理論依據(jù)。通過處理實(shí)陣元接收信號(hào)，估計(jì)構(gòu)建出虛擬陣元接收信號(hào)，從而在理論上擴(kuò)展了陣列的孔徑。因?yàn)樵趹?yīng)用最小一乘進(jìn)行最優(yōu)系數(shù)的估計(jì)時(shí)，需要在回波角度附近進(jìn)行觀測(cè)來(lái)獲得多組觀測(cè)方程，并根據(jù)這些方程求出最優(yōu)解系數(shù)，所以當(dāng)接收基陣形成單個(gè)波束時(shí)，構(gòu)建虛擬陣元首先要對(duì)回波進(jìn)行方位估計(jì)，這在很大程度上決定了信號(hào)估計(jì)的準(zhǔn)確度。而多波束聲吶具有很多的波束形成器，使各個(gè)波束順序排列充滿整個(gè)搜索空間，并進(jìn)行空間分割，相當(dāng)于許多部單波束聲吶同時(shí)工作，每個(gè)波束形成器只負(fù)責(zé)指向一個(gè)角度，所以在進(jìn)行虛擬陣元波束形成時(shí)無(wú)需進(jìn)行方位估計(jì)。

現(xiàn)假設(shè)陣列為元均勻直線陣，處于目標(biāo)回波聲場(chǎng)的遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)，目標(biāo)回波(,)可近似為平面波，回波信號(hào)頻率為0，背景噪聲為加性高斯限帶噪聲。不考慮各個(gè)陣元的指向性，將接收陣的第一個(gè)陣元作為基準(zhǔn)陣元，回波與基陣垂直方向的夾角為0。如圖1所示，斜線表示回波信號(hào)，圖中黑色圓點(diǎn)為真實(shí)陣元，白色圓點(diǎn)為虛擬陣元。

在確定了信號(hào)頻率與陣元數(shù)時(shí)，由線陣的指向性函數(shù)可知，波束受到入射角度的影響，所以忽略時(shí)間因素。回波信號(hào)可表示為

式中：s(θ)是無(wú)噪聲的回波信號(hào)，即 ； ，為陣列相鄰陣元接收信號(hào)之間的時(shí)延差；為加性高斯限帶噪聲。

用矩陣形式可表示為

其中：

同理，可構(gòu)建多個(gè)虛擬陣元的接收信號(hào)，即：

其中，值越小，說(shuō)明估計(jì)的虛擬陣元信號(hào)越準(zhǔn)確可靠。

2.2 陣增益

如圖1所示，0表示回波信號(hào)入射方向與基陣法線的夾角，各陣元靈敏度一致，信號(hào)與噪聲互不相關(guān)，且不同陣元接收的噪聲也是不相關(guān)的。兩個(gè)陣元信號(hào)之間的互相關(guān)系數(shù)為

分子為兩個(gè)陣元信號(hào)的時(shí)間平均，分母為歸一化因子。利用虛擬陣元接收信號(hào)估計(jì)算法，使陣元數(shù)為的實(shí)陣列陣元數(shù)虛擬擴(kuò)展至+個(gè)。由于信號(hào)環(huán)境復(fù)雜，觀測(cè)數(shù)據(jù)不可避免地存在噪聲，在構(gòu)建虛擬陣元信號(hào)時(shí)必然會(huì)產(chǎn)生估計(jì)誤差，誤差大小可用值反映。各個(gè)實(shí)陣元信號(hào)中的噪聲是非相關(guān)的，所以各虛擬陣元信號(hào)中的噪聲是由各實(shí)陣元噪聲的線性組合構(gòu)成的，虛擬擴(kuò)展后的陣列噪聲包括實(shí)陣列中的非相關(guān)噪聲和個(gè)虛擬陣元中的相關(guān)噪聲。根據(jù)波束形成原理，實(shí)陣元和虛擬陣元的接收信號(hào)線性疊加形成指向性，虛擬陣元信號(hào)中的相關(guān)噪聲和實(shí)陣元的非相關(guān)噪聲疊加，最終陣列噪聲仍為個(gè)不相關(guān)的噪聲?；夭ㄐ盘?hào)為式(12)中所示，信號(hào)的幅值為1，若噪聲為平穩(wěn)信號(hào)，則基陣輸出端的平均功率為

式中前兩項(xiàng)為基陣輸出信號(hào)平均功率，最后一項(xiàng)為基陣輸出噪聲平均功率。則基陣的輸出信噪比為

單個(gè)無(wú)方向陣元的輸入信噪比為

陣增益定義為

由陣增益可知，當(dāng)虛擬陣元接收信號(hào)估計(jì)準(zhǔn)確時(shí)，式(25)得到最大值。當(dāng)信號(hào)完全相關(guān)時(shí)，陣增益為

從式(26)可以看出，虛擬陣列輸出信噪比的大小主要由的值決定。值表示估計(jì)誤差，這說(shuō)明估計(jì)算法的準(zhǔn)確性與虛擬陣元波束形成的性能緊密相關(guān)。從式(25)陣增益表達(dá)式上看出，陣增益的大小不僅與估計(jì)算法的準(zhǔn)確度有關(guān)，還與實(shí)陣元和虛擬陣元接收信號(hào)之間的相關(guān)性有關(guān)。相關(guān)性越強(qiáng)，分子前一部分的值越大，估計(jì)信號(hào)也越準(zhǔn)確，的值也會(huì)隨之減小，陣增益得到提高。反之，則陣增益逐漸下降。這表明虛擬陣元接收信號(hào)的數(shù)目存在約束，不能無(wú)限制地?cái)U(kuò)展。

3 計(jì)算機(jī)仿真

下面通過計(jì)算機(jī)仿真來(lái)驗(yàn)證算法的性能，并與其他相關(guān)算法，如常規(guī)相移法和文獻(xiàn)[10]中的線性預(yù)測(cè)法、最小二乘法進(jìn)行比較。仿真中，陣列采用元等間隔均勻線陣，所有陣元各向同性，置于目標(biāo)回波聲場(chǎng)的遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)，陣元間隔=0.01 m，虛擬陣元波束形成方法皆前向構(gòu)建個(gè)虛擬陣元接收信號(hào)?；夭ㄐ盘?hào)中心頻率為100 kHz，入射角度為0，背景為加性高斯限帶噪聲。

3.1 波束性能及陣增益分析

通過比較最小一乘(LAD)虛擬陣元波束形成與常規(guī)相移波束形成的波束圖和陣列增益隨著虛擬陣元信號(hào)數(shù)目變化曲線，來(lái)驗(yàn)證算法的性能和有效性。圖2是在無(wú)噪聲和有噪聲時(shí)，16個(gè)實(shí)陣元采用最小一乘法構(gòu)建8個(gè)虛擬陣元和常規(guī)相移法的波束比較圖。圖2(a)中顯示，最小一乘法在理想情況下得到的波束寬度相比相移法明顯變窄4o，兩種方法形成的旁瓣高度相差不大，第一旁瓣均在-13 dB左右，其他旁瓣高度基本保持在-18 dB附近。圖2(b)和圖2(c)是將兩種方法在回波信號(hào)信噪比為-4 dB和4 dB時(shí)的比較結(jié)果。從比較的波束圖中可以看出，在低信噪比的情況下，最小一乘法得到的波束主瓣更窄。由于最小一乘估計(jì)的穩(wěn)健性，所以在信號(hào)環(huán)境較差的時(shí)候依然能估計(jì)出較為可靠的值，構(gòu)建的虛擬陣元接收信號(hào)與實(shí)際陣元接收信號(hào)的誤差更小。從圖2(b)和圖2(c)中可以看出，最小一乘法相比常規(guī)相移法在不同信噪比時(shí)都能獲得較窄的波束，而旁瓣高度兩者相差不大。通過上述實(shí)驗(yàn)可以看出最小一乘法在低信噪比的環(huán)境下仍可得到較窄的波束。

圖2 無(wú)噪聲和有噪聲時(shí)常規(guī)相移和LAD虛擬陣的波束形成圖

為了能直觀地體現(xiàn)出陣增益的變化規(guī)律，在陣增益的實(shí)驗(yàn)中將陣元間距增大至0.1 m，信號(hào)頻率更改為1.5 kHz，實(shí)陣列增益曲線的陣元間距設(shè)為0.1 m，并與不同陣元間距的虛擬陣列增益的變化曲線進(jìn)行對(duì)比。圖3是實(shí)陣列增益和虛擬陣列的陣增益隨著虛擬陣元信號(hào)數(shù)目變化的曲線圖。虛擬陣列分別設(shè)置了3種不同陣元間距：=0.1 m,=0.2 m，=0.3 m。仿真中回波信噪比為0 dB，回波角度0為30o，實(shí)陣陣元數(shù)為8個(gè)，信號(hào)脈沖寬度為10 ms。從圖3的曲線圖中可以看出。選定恰當(dāng)?shù)奶摂M陣元數(shù)時(shí)，最小一乘法能夠得到比較高的陣增益。由式(25)和仿真曲線可以驗(yàn)證，實(shí)陣列增益值在上述參數(shù)確定后為一固定值。由圖3中的陣增益曲線圖可以看出，通過構(gòu)建虛擬陣元可以有效地增加陣增益，但隨著構(gòu)建的虛擬陣元信號(hào)數(shù)目增加到某一臨界值時(shí)，陣增益曲線逐漸下降。如陣元間距為0.1 m的陣增益曲線，當(dāng)虛擬陣元信號(hào)數(shù)目為45時(shí)陣增益達(dá)到最高值，隨后陣增益開始減少。觀察陣元間距和虛擬陣元數(shù)目臨界值的變化可以看出，增大陣元間距后，虛擬陣元數(shù)的臨界數(shù)減小，這反映了實(shí)陣元接收信號(hào)與虛擬陣元接收信號(hào)之間的相關(guān)性與陣元的間距有關(guān)，且呈反比關(guān)系。

圖3 陣增益隨著虛擬陣元信號(hào)數(shù)的變化曲線

3.2 不同方法對(duì)比分析

在信噪比為-4 dB、0 dB和4 dB的回波環(huán)境下，對(duì)比最小一乘(LAD)、最小二乘法和線性預(yù)測(cè)法3種虛擬陣元波束形成方法的波束圖，結(jié)果如圖4所示。圖4(a)～4(c)是三種方法隨著信噪比的增加的波束圖，隨著信噪比的增加，最小一乘法(LAD)和最小二乘法的波束主瓣寬度和旁瓣高度逐漸接近。這是因?yàn)樽钚∫怀伺c最小二乘算法在理論上的估計(jì)準(zhǔn)則導(dǎo)致的，當(dāng)回波信噪比較高時(shí)，估計(jì)結(jié)果基本相似。在不同信噪比的環(huán)境下，線性預(yù)測(cè)法的旁瓣高度相比其他兩種算法總能保持最低。在低信噪比時(shí)，相比其他算法，最小一乘法總能得到較窄的波束，波束指向性和抗干擾能力更好，但旁瓣的高度不如其他兩種虛擬陣元波束形成方法的旁瓣低，結(jié)果如圖4(a)所示。

圖4 信噪比為4 dB、0 dB和4 dB時(shí)LAD法、線性預(yù)測(cè)法和最小二乘法三3種虛擬陣的波束形成圖

通過上述仿真可知，虛擬陣元接收信號(hào)估計(jì)算法的準(zhǔn)確度和實(shí)現(xiàn)方式直接影響波束性能。若算法估計(jì)誤差較大或者在低信噪比的環(huán)境中下算法的穩(wěn)健性較差，則陣列輸出波束的形狀也會(huì)產(chǎn)生明顯畸變，波束的性能將受到極大影響。

3.3 多波束性能分析

3.1和3.2節(jié)中的波束仿真是在單個(gè)波束的情況下，研究了最小一乘虛擬陣元波束形成算法的優(yōu)缺點(diǎn)。圖5是常規(guī)相移法與最小一乘法進(jìn)行多波束仿真的結(jié)果。為了研究最小一乘法角度分辨的性能，以波束主瓣在坐標(biāo)軸上交點(diǎn)之間的夾角為間隔形成三個(gè)順序排列的波束，并與常規(guī)相移法進(jìn)行比較，仿真中采用16個(gè)實(shí)陣元的線陣并構(gòu)建8個(gè)虛擬陣元接收信號(hào)。從圖5(a)中可以看出，常規(guī)相移法的三個(gè)波束主瓣的極大值分別在5o、15o和25o方向上，角度分辨率為10o。圖5(b)最小一乘虛擬陣元波束形成方法畫出三個(gè)波束圖，三個(gè)波束主瓣的極大值分別出現(xiàn)在5o、12o和19o方向上，角度分辨率為7o。相比常規(guī)相移波束形成，最小一乘法的角度分辨率提高了3o。角度分辨率的提升將有利于對(duì)目標(biāo)的識(shí)別和成像。如圖5(b)所示最小一乘虛擬陣元多波束形成的旁瓣相比常規(guī)相移多波束有所升高，主瓣角度附近的旁瓣高度相比常規(guī)相移波束形成提高了約3 dB。

圖5 常規(guī)相移多波束形成和LAD虛擬陣元多波束形成的波束圖

3.4 虛擬陣元數(shù)目對(duì)波束性能的影響

下面在信噪比為-4 dB、實(shí)陣元和觀測(cè)方程個(gè)數(shù)確定后，分析波束性能受虛擬陣元數(shù)目的影響情況。為了使現(xiàn)象明顯，本次仿真實(shí)際陣元數(shù)為8個(gè)，觀測(cè)方程以1o為間隔在0=0o兩側(cè)得到31組方程，其他仿真條件同上，仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 實(shí)陣元為8個(gè)時(shí)含0、8、32和128個(gè)虛擬陣元的線陣波束圖

從圖6中可以看出，增加虛擬陣元接收信號(hào)的數(shù)目可以明顯地提升波束的指向性。仿真中虛擬陣元接收信號(hào)個(gè)數(shù)由0增加到32時(shí)，形成的波束主瓣形狀逐漸尖銳且寬度逐漸變窄，旁瓣高度逐步降低。但是當(dāng)虛擬陣元接收信號(hào)個(gè)數(shù)增加至128個(gè)時(shí)，主瓣兩側(cè)的旁瓣高度明顯增高，在進(jìn)行目標(biāo)方位的判斷時(shí)會(huì)造成模糊。旁瓣高度增加是因?yàn)槔米钚∫怀藰?gòu)建的虛擬陣元接收信號(hào)是完全根據(jù)真實(shí)陣元接收信號(hào)構(gòu)建的，虛擬陣元數(shù)目的不斷增加，虛擬陣元接收信號(hào)與實(shí)際接收信號(hào)之間的相關(guān)性開始減弱，估計(jì)的誤差逐漸增大，導(dǎo)致波束的形狀發(fā)生畸變。以上結(jié)果也與圖3中曲線的變化相統(tǒng)一，當(dāng)構(gòu)建的虛擬陣元接收信號(hào)數(shù)目達(dá)到臨界值時(shí)，陣增益開始下降，波束的性能也開始變差。若虛擬信號(hào)數(shù)目大于臨界值時(shí)，波束性能將不能有效提升，因此虛擬陣元接收信號(hào)數(shù)目不能無(wú)限制地增加。

4 結(jié)論

對(duì)虛擬陣元接收信號(hào)的估計(jì)構(gòu)建是虛擬陣元波束形成算法的關(guān)鍵，估計(jì)算法直接影響波束形成的性能。本文研究了現(xiàn)有虛擬陣元波束形成方法構(gòu)建虛擬陣元接收信號(hào)的區(qū)別，提出了一種基于最小一乘穩(wěn)健估計(jì)的波束形成方法，該方法在低信噪比的環(huán)境下構(gòu)建的虛擬陣元接收信號(hào)更加準(zhǔn)確、穩(wěn)健。

相比其他虛擬陣元波束形成方法，本文方法形成的波束抗干擾能力更強(qiáng)且波束寬度更窄。該方法形成多波束時(shí)，可在不增加基陣孔徑的同時(shí)得到的較高的角度分辨率，這將有利于成像聲吶的目標(biāo)識(shí)別。從理論分析和實(shí)驗(yàn)仿真都可看出，虛擬陣列比實(shí)際陣列可以獲得更高的陣增益。在實(shí)際中，噪聲并非理想加性高斯限帶噪聲且信噪比往往較低，波束形成方法抗干擾的能力尤為重要，因此本文提出的最小一乘虛擬陣元波束形成在-4 dB 這樣較低信噪比的情況下更具優(yōu)勢(shì)。

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Simulation of virtual array beamforming based on least absolute deviation

ZHANG Weimin1, GUO Haitao2, JIN Qiyu3, TIAN Yuanyuan4, JIAO Shengxi5

(1. College of Electronic Information Engineering, Inner Mongolia University, Hohhot 010021, Inner Mongolia, China; 2. School of Marine Information Engineering, Hainan Tropical Ocean University, Sanya 572022, Hainan, China; 3. School of Mathematical Sciences, Inner Mongolia University, Hohhot 010021, Inner Mongolia, China; 4. School of Mechanical Engineering, Northeast Dianli University, Jilin 132012, Jilin, China; 5. College of Automation Engineering, Northeast Dianli University, Jilin 132012, Jilin, China)

The quality of beamforming is the key to the imaging quality of underwater multi-beam imaging system. When the signal frequency is constant, the conventional phase-shifting beamforming algorithm can only get a narrower beam by increasing the aperture of the array, but this method is restricted by practical conditions in engineering. Therefore, a virtual array beamforming algorithm based on least absolute deviation (LAD) estimation is presented, by which a narrower and more robust beam can be obtained without increasing the array size, moreover the array gain and the angle resolution of sonar image can be increased under low signal to noise ratio (SNR). The superiority of the above method is verified by using Matlab simulation and comparing with other methods.

multi-beam imaging system; least absolute deviation estimation; robustness; virtual array; beamforming

TN911.7

A

1000-3630(2020)-02-0134-07

10.16300/j.cnki.1000-3630.2020.02.002

2018-10-04;

2018-12-17

國(guó)家自然科學(xué)基金(61661038，41076060)、內(nèi)蒙古自然科學(xué)基金(2014MS0601)資助項(xiàng)目

張偉民(1993－), 男, 內(nèi)蒙古包頭人, 碩士研究生, 研究方向?yàn)樾盘?hào)處理。

郭海濤,E-mail: ghtpaper@126.com