談?wù)剶?shù)學(xué)問題解決中的“設(shè)”

【摘 要】 設(shè)未知數(shù)（量）或變量是數(shù)學(xué)問題解決時(shí)經(jīng)常用到的一種思考方法.從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史視角追溯“設(shè)”的起因，沿襲起因，結(jié)合實(shí)例探究“設(shè)”對問題解決的推動作用;現(xiàn)實(shí)追問學(xué)生為什么不習(xí)慣“設(shè)”;指出了讓“設(shè)”成為自覺意識的兩點(diǎn)策略：教學(xué)有“序”，“設(shè)”而有方

【關(guān)鍵詞】 問題解決;“設(shè)”;自覺意識

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要能力是能運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題.“設(shè)”是數(shù)學(xué)問題解決時(shí)經(jīng)常用到的一種思考方法，這里的“設(shè)”主要是指引進(jìn)字母表示問題中的一些特定的數(shù)（量）或變量.“設(shè)”溝通了已知與未知的數(shù)量關(guān)系，架起了數(shù)與量以及量與量之間的橋梁.由于對“設(shè)”的習(xí)以為常，人們往往會缺乏思考與總結(jié).下面就從“設(shè)”的由來談起，探究“設(shè)”對問題解決具有怎樣的推動作用，學(xué)生為什么不習(xí)慣“設(shè)”，怎樣讓“設(shè)”成為自覺的意識等問題.

1 “設(shè)”的由來

數(shù)是人們經(jīng)過長期實(shí)踐創(chuàng)造出來的，并建立了專門研究數(shù)及其運(yùn)算的學(xué)科——算術(shù)，算術(shù)幾乎是伴隨著人類社會活動的產(chǎn)生和發(fā)展而逐漸形成的，它有著非常悠久的歷史[1].隨著

實(shí)踐的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)只有算術(shù)還不夠，用字母表示數(shù)會起到更大的作用，代數(shù)這門學(xué)科就逐步產(chǎn)生了

在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，“字母表示數(shù)”經(jīng)歷了三個(gè)歷史階段：詞語階段——簡略階段——符號階段[2]，從內(nèi)在的認(rèn)知角度，可以劃分為四個(gè)進(jìn)程：字母表示某種意義或某個(gè)事物（詞語階段）——字母表示確定量——字母表示未知量（簡略階段）——字母表示一般量或一類量（符號階段）.歷史上，從丟番圖用縮寫的字母表示數(shù)到韋達(dá)用字母表示一般意義上的數(shù)，用了整整1200年！

由此可知，代數(shù)的產(chǎn)生，其中經(jīng)歷了漫長曲折的過程.字母表示數(shù)是代數(shù)發(fā)展史上的一個(gè)里程碑，含有字母的式子進(jìn)行運(yùn)算和推理時(shí)更具一般性，因而字母所表現(xiàn)出來的簡明性、一般性是數(shù)無法比擬的.人們解決問題的思維方式與數(shù)學(xué)概念的歷史發(fā)展過程具有相似性，從數(shù)到字母的演變歷程提供了人們解決問題的一般范式和解決思路.宋元時(shí)期，中國數(shù)學(xué)家創(chuàng)立了用數(shù)學(xué)文字符號列方程的“天元術(shù)”，“立天元一”相當(dāng)于現(xiàn)在的“設(shè)未知數(shù)x”;17世紀(jì)時(shí)，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾最早提出用x，y，z這樣的字母表示未知數(shù).由此，“設(shè)”源于用字母表示數(shù)，源于算術(shù)到代數(shù)的演變.代數(shù)的進(jìn)一步發(fā)展使表示設(shè)的字母的意義越來越廣泛：它不但可以用來泛指某個(gè)數(shù)集中的一個(gè)數(shù)，也可以專指特定的數(shù)，如方程中的未知數(shù)，或者表示變量、表示不定元，還可以代表一個(gè)數(shù)學(xué)對象，如代數(shù)式、函數(shù)等.

2 “設(shè)”對問題解決的推動作用

追尋從數(shù)到字母的演變歷程，追索“數(shù)”和“量”之間的關(guān)系，結(jié)合數(shù)學(xué)問題從已知探索出未知的特征，體現(xiàn)在解題上，有時(shí)通過設(shè)定未知，已知得以更充分利用.雖然用字母表示數(shù)最初產(chǎn)生的是代數(shù)這門學(xué)科，但由于數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)，幾何問題中同樣存在著紛繁復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系.小題目蘊(yùn)含大乾坤，下面以幾何中的一些選擇和填空為例，說明“設(shè)”在問題解決中起到的推動作用.

2.1 便于表示，參與運(yùn)算圖1

例1 如圖1，在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是邊AB的中點(diǎn)，E是BC邊上一點(diǎn)，若DE平分△ABC的周長，則DE的長為

這里談一下其中的一種解法：取CB中點(diǎn)F，連接DF.

設(shè)CE=x，因?yàn)锳C=1，D是邊AB的中點(diǎn)，DE平分△ABC的周長，

所以EB=AC+CE=1+x，所以BC=CE+BE=1+2x.

因?yàn)镕是CB中點(diǎn)，所以CF=x+12，所以DF=EF=12.

因?yàn)镈F∥AC，∠ACB=60°，

所以DE=3EF=32.

評析 通過字母把未知的量引入算式，以數(shù)解形，能更方便地表示數(shù)量關(guān)系，數(shù)和字母一起運(yùn)算使問題的解決變得簡單.通過計(jì)算來突破問題的關(guān)鍵DF=EF，這也是得到線段相等的一種策略.

2.2 設(shè)而不求，整體思維

例2 一個(gè)大平行四邊形按如圖21方式分割成九個(gè)小平行四邊形，且只有標(biāo)號為①和②的兩個(gè)小平行四邊形為菱形，在滿足條件的所有分割中，若知道九個(gè)小平行四邊形中n個(gè)小平行四邊形的周長，就一定能算出這個(gè)大平行四邊形的周長，則n的最小值是（ ）

A.2 B.3 C.4 D.5

圖21圖22

解 如圖22，大平行四邊形的周長可表示為2（x1+x2+x3）+2（y1+x2+x3）=2（x1+y1）+4（x2+x3），運(yùn)用整體思維，只要知道③④或③⑤兩個(gè)小平行四邊形的周長即可，選A

評析 這個(gè)問題有別于常規(guī)的求解題，有比較明晰的解決問題所用的知識和方向的指引，因而轉(zhuǎn)換思維的角度很重要.想到去“設(shè)”，然后考慮怎么設(shè).當(dāng)嘗試著設(shè)定多個(gè)未知量后，問題的前景依舊是迷茫的，但一經(jīng)代數(shù)式表示，一下子明朗化，整體思維的運(yùn)用使得問題瞬間撥云見日，豁然通達(dá)

變式 一個(gè)大矩形按如圖31方式分割成九個(gè)小矩形，且只有標(biāo)號為①和②的兩個(gè)小矩形為正方形，在滿足條件的所有分割中.若知道九個(gè)小矩形中n個(gè)小矩形的周長，就一定能算出這個(gè)大矩形的面積，則n的最小值是（）

A.2 B.3 C.4 D.5

圖31圖32

評析 遷移原問題解題經(jīng)驗(yàn)，設(shè)定多個(gè)未知量，由于①、②是正方形，盡可能減少未知量個(gè)數(shù).可表示大長方形面積為（x1+x2+x3）（y1+x2+x3），但不同的是，此處兩個(gè)括號無法打通！轉(zhuǎn)化思維視角，觀察代數(shù)式，將x1+x2和y1+x2看做整體，即分別為圖32中標(biāo)號為③④的小長方形的周長，知道x3就是知道小正方形①的周長，從而知道①③④三個(gè)矩形的周長即可，同理知道②⑤⑥三個(gè)矩形的周長也可，選B.

2.3 尋求等量，布列方程圖41圖42

例3 圖41是小明設(shè)計(jì)的花邊圖案作品，該作品由形如圖42的矩形圖案拼接而成（不重疊，無縫隙）.該矩形圖案既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.圖42中，AEAF=23，上、下兩個(gè)半圓的面積之和為4π?cm2，中間陰影菱形的一組對邊與EF平行，且菱形的面積比4個(gè)角上的陰影三角形的面積之和大12??cm2，則AB的長度為cm圖43

簡解 如圖43，△AEF∽△OGH∽△NGF，

設(shè)AE=2a，NG=2b，OG=2c，

則AF=3a，NF=3b，OH=3c

因?yàn)镸H=ME=2，由OM=NA，AM=NO，

列方程得3a+3b=3c+2①，2b+2c=2a+2②，

菱形的面積比4個(gè)角上的陰影三角形的面積之和大12?cm2，

可得12a2+12=12c2③，解①②③組成的方程組，

得a=3512，b=56，c=3712，從而有AB=452.

評析 本題的難點(diǎn)是圖形復(fù)雜，由多種圖形組合而成，已知條件少而分散，未知因素太多.結(jié)合圖形特征，適當(dāng)添加輔助線，從圖中可以看出形狀相同大小不同的三角形有三類，需要設(shè)出三個(gè)獨(dú)立未知數(shù)，接下來要做的就是挖掘圖形性質(zhì)、尋求等量關(guān)系、列出相應(yīng)的方程，從而使問題得解.而設(shè)未知數(shù)列方程更是“設(shè)”的一種重要功能，笛卡爾的普遍數(shù)學(xué)思想“一切問題……都可以轉(zhuǎn)化為方程問題”，說明了方程的重要作用.根據(jù)實(shí)際問題可以直接設(shè)，間接設(shè)，設(shè)而不求.象本題通過間接設(shè)未知數(shù)最終求出AB的長.

2.4 聯(lián)通變量，構(gòu)建函數(shù)

例4 如圖5，已知AE=10，點(diǎn)D為AE上一點(diǎn)，在AE同側(cè)作正方形ABCD，正方形DEFH，G，M分別為對角線AC，HE的中點(diǎn)，連結(jié)GM.當(dāng)點(diǎn)D沿著線段AE由點(diǎn)A向點(diǎn)E方向上移動時(shí)，

四邊形AGME的面積變化情況為（）

A.不變 B.先減少后增大C.先增大后減少D.一直減少圖5

簡解 連接DG，DM，可得△DGM為直角三角形，△AGD，△DME為等腰直角三角形

設(shè)AD=x，四邊形AGME的面積為y，

y=12×22x×22（10-x）+12x2+12（10-x）2=14（x-5）2+754

因?yàn)?

評析 函數(shù)是反映兩個(gè)變量之間對應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，本題點(diǎn)的位置變化對應(yīng)著四邊形的面積變化，問題結(jié)構(gòu)的本身就明示了變量之間的函數(shù)關(guān)系，要考慮的是設(shè)哪個(gè)量為自變量比較方便，這里也可設(shè)DE.“設(shè)”對問題解決的繁易起著很重要的作用

除了上述“設(shè)”的作用外，還可以設(shè)參數(shù)表示不定元參與運(yùn)算;對復(fù)雜的含有數(shù)的計(jì)算，并且數(shù)之間有一定的數(shù)量關(guān)系，可以通過“設(shè)”把數(shù)的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為式的運(yùn)算，化繁為簡，進(jìn)行形式運(yùn)算;也可以通過“設(shè)”整體換元，降低計(jì)算量等等.明確“設(shè)”的作用可以讓學(xué)生得到一種體驗(yàn)，感悟?yàn)槭裁丛O(shè)，怎么設(shè)方便，最終引導(dǎo)遷移.

3 學(xué)生為什么不習(xí)慣“設(shè)”

“設(shè)”的作用強(qiáng)大，但在需要通過“設(shè)”解決問題時(shí)，學(xué)生經(jīng)常缺乏自覺的“設(shè)”的意識，或者想到了“設(shè)”最終卻“望而怯步”，原因?yàn)楹危?.1 學(xué)生的學(xué)習(xí)歷程

小學(xué)學(xué)生接觸的是算術(shù)，基本上都是進(jìn)行數(shù)的化簡與運(yùn)算.當(dāng)“數(shù)”的觀念在頭腦中根深蒂固時(shí)，學(xué)生接受新的表達(dá)方式便需要觀念的轉(zhuǎn)變和時(shí)間與實(shí)踐的磨礪.算術(shù)到代數(shù)的演變過程是具體數(shù)字符號化和形式化的抽象過程.一般情況下，人們內(nèi)心里總是拒絕抽象，拒絕不確定，對學(xué)生而言，短時(shí)期內(nèi)用字母表示數(shù)并且理解字母的意義內(nèi)涵，其難度可想而知.再過渡到解決問題時(shí)自覺地通過“設(shè)”用字母表示未知量或變量，更是難上加難.3.2 學(xué)生的解題心理

解題活動是一項(xiàng)十分復(fù)雜的心智活動，是認(rèn)知主體對自身認(rèn)知活動的認(rèn)知.在數(shù)學(xué)解題的過程中，解題者無時(shí)不在對自身心理狀態(tài)、能力、任務(wù)目標(biāo)、認(rèn)知策略等方面進(jìn)行新的認(rèn)知.“設(shè)”體現(xiàn)了輔助元法、待定系數(shù)法、換元法等數(shù)學(xué)方法，也滲透著符號與變元思想、方程思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.因而問題的最終解決，是解題能力與解題信念共同作用的結(jié)果.一方面，由于對新的數(shù)學(xué)問題結(jié)構(gòu)的不熟悉，未能尋求到條件結(jié)論兩者之間的解決通路，對需要進(jìn)行“設(shè)”解決問題學(xué)生想不到;另一方面，當(dāng)設(shè)定未知量后，由于解題經(jīng)驗(yàn)的不足，學(xué)生對問題缺乏預(yù)估能力，心理上始終在想它是未知的.特別是設(shè)定多個(gè)未知量后，計(jì)算能力的薄弱、解題能力的缺乏使得學(xué)生對太多的未知產(chǎn)生擔(dān)憂，從而不敢再往前往深處探究.于是，總希望跨越“設(shè)”的鴻溝，從條件出發(fā)直接解決問題，缺乏嘗試的勇氣和解題的耐心.

4 讓“設(shè)”成為自覺的意識

4.1 教學(xué)有“序”

上述的分析與討論中提及了“設(shè)”的由來以及在“字母表示數(shù)”過程中人們認(rèn)知發(fā)展的四個(gè)階段，做到學(xué)生認(rèn)知的“序”、數(shù)學(xué)知識的“序”、教學(xué)的“序”三者的有機(jī)融合[3]，順“序”推進(jìn)，是讓學(xué)生產(chǎn)生自覺的符號意識，果斷、大膽、適當(dāng)?shù)卦O(shè)定未知量或變量解決問題的關(guān)鍵

對應(yīng)于“字母表示數(shù)”認(rèn)知發(fā)展的四個(gè)階段，人教版教材在數(shù)與代數(shù)內(nèi)容里循序漸進(jìn)地安排了整式的加減、一元一次方程、實(shí)數(shù)、二元一次方程組、不等式與不等式組、整式的乘法與因式分解、分式、二次根式、一次函數(shù)、一元二次方程、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等內(nèi)容.從“數(shù)”到“式”，從“一次”到“二次”，從“一元”到“多元”，邏輯、系統(tǒng)、有序地對知識作了整體的安排，逐步地引進(jìn)字母表示數(shù)、表示未知量、表示變量

在教學(xué)中，充分認(rèn)識學(xué)生對“字母表示數(shù)”的認(rèn)知發(fā)展過程，準(zhǔn)確地找到學(xué)生認(rèn)知的當(dāng)前層次和發(fā)展趨勢，充分理解教材的編排意圖和編排體系，結(jié)合教材相應(yīng)內(nèi)容，心中有“序”，從具體到抽象、特殊到一般逐步滲透，讓學(xué)生在運(yùn)用中逐步感悟“字母代數(shù)”的一般性和優(yōu)越性，進(jìn)而產(chǎn)生一種自覺的符號意識和模型意識.當(dāng)能用符號進(jìn)行運(yùn)算和推理并解決問題時(shí)，學(xué)生對需要“設(shè)”解決的具體問題就不再抗拒與擔(dān)憂了.

4.2 “設(shè)”而有方

什么情況下要想到“設(shè)”？讓“設(shè)”成為一種自覺的意識，成為慣常的解題方法和思維策略呢？隨著解題能力的逐步提高和解題經(jīng)驗(yàn)的積累，通過對已知條件的感知，獲得數(shù)、形方面的信息，學(xué)生對一類問題能找出共性，產(chǎn)生一種數(shù)學(xué)上的熟悉感.從前文“設(shè)”的作用也可看出，當(dāng)碰到未知的量或者變量數(shù)目較多感覺無從下手時(shí)，就可能是要引進(jìn)未知數(shù)或者變量的時(shí)候了.而且不但可以引進(jìn)一個(gè)，甚至可以多個(gè).至于設(shè)哪個(gè)量，這個(gè)量往往與較多的已知量關(guān)系緊密，若未知量與未知量有關(guān)系，可以用一個(gè)未知量表示另一個(gè)未知量，減少未知量個(gè)數(shù)，也可以都設(shè)出來.通過“設(shè)”尋找關(guān)系，建立代數(shù)式、方程、不等式或函數(shù)模型，通過對數(shù)學(xué)符號的運(yùn)算、推理、變換，進(jìn)行化簡、解方程、解不等式或利用函數(shù)性質(zhì)解決問題.

5 結(jié)束語

“設(shè)”作為解決數(shù)學(xué)問題時(shí)的一種手段和路徑，其最大優(yōu)點(diǎn)是把未知當(dāng)已知，架起已知和未知的橋梁.有些問題中，未知雖然“猶抱琵琶半遮面”，但千呼萬喚“設(shè)”出來，早已“未成曲調(diào)先有情”.“設(shè)”有道，怎么設(shè)，設(shè)誰？教師和學(xué)生要做的是：能在數(shù)學(xué)問題解決的歷經(jīng)、品析、反思、感悟過程中，得到靈動的習(xí)得和深刻的啟迪.其中，反思和感悟是一個(gè)慢慢參悟、內(nèi)化、修煉、得道的過程，解題的境界是先入得題海，再能出得題海.通過方法的歸納、思想的提煉，得以專于術(shù)、誠于道、游于藝[4].

參考文獻(xiàn)

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[2]李士锜，吳穎康.數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2011：70.

[3]陳林香.順應(yīng)認(rèn)知整體架構(gòu)——人教版平方根教學(xué)的改進(jìn)嘗試[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（9）：20.

[4]鄭瑄.例談數(shù)學(xué)教學(xué)中慢與快的辯證法[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2018（11）：25作者簡介 陳林香（1972—），女，中學(xué)高級教師，浙派名師，臺州市名師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究和命題研究.