引導(dǎo)學(xué)生在過(guò)程中感悟數(shù)學(xué)思想

【摘 要】 數(shù)學(xué)思想是人們進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)所表現(xiàn)出來(lái)的數(shù)學(xué)觀念及思維方式，是以顯性知識(shí)為載體的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí).學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的理解和掌握不是教師滲透給的，而是學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)和應(yīng)用知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題及其他問(wèn)題的過(guò)程自己感悟得到的.學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想的根本途徑就是經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程和應(yīng)用過(guò)程

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)思想;滲透;感悟;過(guò)程

關(guān)于數(shù)學(xué)思想教學(xué)的問(wèn)題是一個(gè)古老的問(wèn)題，筆者研究發(fā)現(xiàn)，在眾多著作（文章）中對(duì)于數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)都是用“滲透”表述的.筆者認(rèn)為，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)、理解是一個(gè)自主的感悟過(guò)程，不是外部滲透給學(xué)生的.

1 深入認(rèn)識(shí)三個(gè)關(guān)鍵詞

1.1 數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想是指人們?cè)趶氖赂鞣N數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)，所表現(xiàn)出來(lái)的種種數(shù)學(xué)觀念及思維方式[1].學(xué)生在初中階段應(yīng)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)思想主要有：（1）數(shù)形結(jié)合思想;（2）分類討論思想;（3）函數(shù)思想;（4）方程思想;（5）轉(zhuǎn)化思想;（6）模型思想;（7）聯(lián)想、類比思想等

例如，方程思想就是指把所研究問(wèn)題中的已知量與未知量之間的等量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為方程，從而達(dá)到解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種思維方法[2].這種思想隱含在建立各種具體方程解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程之中

（1）數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2011年版）》在課程的“總目標(biāo)”中提出了三條要求，其中的第一條是讓學(xué)生“獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)[3]”.數(shù)學(xué)思想同數(shù)學(xué)概念、定理、法則、規(guī)律以及描述它們的數(shù)學(xué)語(yǔ)言一樣，都是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分

方程是“數(shù)與代數(shù)”方面的重要知識(shí)，《課標(biāo)（2011年版）》對(duì)方程（組）的整體要求是“能根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型[3]”.史寧中教授指出“模型思想是指能夠有意識(shí)地用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法，理解、描述以及解決現(xiàn)實(shí)世界中一類問(wèn)題的那種思想”[4].數(shù)學(xué)中的很多問(wèn)題都可以通過(guò)建立方程模型解決，這個(gè)過(guò)程中表現(xiàn)出來(lái)的方程思想是重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)

（2）數(shù)學(xué)思想“隱含”在具體的數(shù)學(xué)知識(shí)之中

“數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概括”[3]，數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理等都是“看得見(jiàn)”的具體知識(shí)、顯性知識(shí)，這些顯性知識(shí)是數(shù)學(xué)思想的“載體”、“外殼”、表現(xiàn)形式和使用結(jié)果;數(shù)學(xué)思想是通過(guò)具體知識(shí)體現(xiàn)出來(lái)的.學(xué)生脫離了對(duì)具體知識(shí)的學(xué)習(xí)或運(yùn)用是無(wú)法認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)思想的

初中階段學(xué)生學(xué)習(xí)的方程包括：一元一次方程、一次方程組、分式方程和一元二次方程.對(duì)于每種方程的學(xué)習(xí)都是按照下面的流程進(jìn)行的（圖1）.

實(shí)際問(wèn)題引入方程概念研究方程解法建立方程模型解決實(shí)際問(wèn)題圖1

這個(gè)流程分為“方程概念—方程解法—方程應(yīng)用”三部分，方程思想就“隱含”在方程概念的形成過(guò)程以及建立方程模型解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程之中，學(xué)生對(duì)方程思想的體會(huì)和理解也是在這個(gè)過(guò)程之中實(shí)現(xiàn)的.

（3）學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的理解是一個(gè)過(guò)程

數(shù)學(xué)思想不像具體的“顯性”知識(shí)那樣，學(xué)過(guò)后能一次基本定型.學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)是一個(gè)“螺旋上升”的過(guò)程

例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)一元一次方程概念時(shí)，就能基本理解一元一次方程，但對(duì)于方程思想幾乎沒(méi)有印象.隨著對(duì)一次方程組、分式方程和一元二次方程的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)方程的認(rèn)識(shí)程度在加深，對(duì)方程思想的認(rèn)識(shí)也在逐步提高.

1.2 滲透

滲透最初指的是水分子經(jīng)半透膜擴(kuò)散的一種自然現(xiàn)象.發(fā)生滲透的條件有二：一是有一層水能透過(guò)的膜;二是這層膜的兩邊有兩種不同濃度的溶液.水會(huì)從溶液濃度低的一側(cè)向溶液濃度高的一側(cè)移動(dòng)，這就是正滲透.正滲透是由于水中的離子之間存在著“滲透壓”導(dǎo)致的一種自然擴(kuò)散現(xiàn)象，正滲透是不需要外力就能發(fā)生的

反滲透則是克服這種“滲透壓”，讓水從高濃度一側(cè)的溶液向低濃度溶液移動(dòng)，反滲透需要克服“滲透壓”才能發(fā)生，即反滲透是在“外力”作用下進(jìn)行的

在工作和學(xué)習(xí)中，常把滲透看成是某種事物或勢(shì)力逐漸進(jìn)入其他方面的一個(gè)過(guò)程.比喻一種思想或勢(shì)力逐漸向其它方面擴(kuò)展

數(shù)學(xué)思想是以具體知識(shí)點(diǎn)為“載體”的，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)具體數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，這種知識(shí)載體所“承載”的數(shù)學(xué)思想在教師的反復(fù)“要求”“強(qiáng)化”下，被“強(qiáng)制性”的“外加”到學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)中來(lái)，這種認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想的過(guò)程，不妨認(rèn)為是“反滲透”的過(guò)程.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生是被動(dòng)的“接受者”.筆者認(rèn)為，對(duì)于數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，不宜采用“滲透”的方式.根據(jù)如下：

“滲透”這個(gè)動(dòng)詞，《課標(biāo)（2011年版）》中只出現(xiàn)過(guò)一次，原文是“數(shù)學(xué)文化作為教材的組成部分，應(yīng)滲透在整套教材中（《課標(biāo)（2011年版）》P63）”.這句話是在“教材編寫建議”中出現(xiàn)的，“強(qiáng)調(diào)”的是在教材編寫過(guò)程中，應(yīng)根據(jù)具體內(nèi)容及時(shí)的“穿插”一些有關(guān)數(shù)學(xué)文化的素材，并不是針對(duì)“數(shù)學(xué)思想”而言的.

1.3 感悟

感悟是指人們對(duì)特定事物或經(jīng)歷所產(chǎn)生的感想與體會(huì).感悟的主體是人，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)應(yīng)該用感悟.這種提法符合數(shù)學(xué)思想的特性，體現(xiàn)了《課標(biāo)（2011年版）》的理念和要求：

《課標(biāo)（2011年版）》中共提及“感悟”25次，其中非常明確的用于數(shù)學(xué)思想方面的有六次，這六次主要體現(xiàn)在《課標(biāo)（2011年版）》要求的“教材編寫建議”和“教學(xué)建議”中：

在教材編寫建議中出現(xiàn)一次，即教材應(yīng)當(dāng)根據(jù)課程內(nèi)容，設(shè)計(jì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的活動(dòng).這樣的活動(dòng)應(yīng)體現(xiàn)“問(wèn)題情境─建立模型─求解驗(yàn)證”的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程要有利于理解和掌握相關(guān)的知識(shí)技能，感悟數(shù)學(xué)思想、積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（《課標(biāo)（2011年版）》P64）

在“教學(xué)建議”中出現(xiàn)五次，僅僅P46頁(yè)就出現(xiàn)3次（P43和P44各1次），即：

第四個(gè)教學(xué)建議的標(biāo)題是——感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

在標(biāo)題下的具體論述中又兩次提到：

第一，要求學(xué)生在積極參與教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中，通過(guò)獨(dú)立思考、合作交流，逐步感悟數(shù)學(xué)思想

第二，針對(duì)分類思想的教學(xué)過(guò)程指出，教學(xué)活動(dòng)中，要使學(xué)生通過(guò)多次反復(fù)的思考和長(zhǎng)時(shí)間的積累，逐步感悟分類是一種重要的思想

可見(jiàn)，《課標(biāo)（2011年版）》要求我們?cè)卺槍?duì)數(shù)學(xué)思想的教學(xué)中，應(yīng)該用“感悟”而不是用“滲透”

學(xué)生對(duì)方程思想的感悟應(yīng)當(dāng)是在學(xué)習(xí)一元一次方程、一次方程組、分式方程和一元二次方程的過(guò)程中逐漸實(shí)現(xiàn)的.

2 經(jīng)歷過(guò)程是學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想的根本途徑

《課標(biāo)（2011年版）》在“教學(xué)建議”中指出“數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中……學(xué)生在積極參與教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中，通過(guò)獨(dú)立思考、合作交流，逐步感悟數(shù)學(xué)思想”[3].這句論述向我們指出了學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想的根本途徑就是經(jīng)歷過(guò)程，這里的過(guò)程指知識(shí)的形成過(guò)程和應(yīng)用過(guò)程

下面談?wù)剬W(xué)生感悟方程思想的兩個(gè)根本過(guò)程.

2.1 建立方程概念的過(guò)程

數(shù)學(xué)概念的建立是一個(gè)過(guò)程，大致需要經(jīng)過(guò)“感知—分析—概括—表述”四個(gè)階段，首先教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生在對(duì)客觀事物進(jìn)行思考的基礎(chǔ)上形成感性認(rèn)識(shí)，然后給出幾個(gè)具有這種“特性”的“結(jié)構(gòu)式子”，讓學(xué)生進(jìn)行分析思考，并抽象概括出事物的本質(zhì)，最后給出規(guī)范的數(shù)學(xué)定義.教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生完整經(jīng)歷上述四個(gè)階段，學(xué)生不僅能理解、掌握數(shù)學(xué)概念，而且還能感悟到“隱含”在這個(gè)數(shù)學(xué)概念之中的數(shù)學(xué)思想和方法[5]

案例1 一元一次方程概念的建立過(guò)程

圖1所示的學(xué)習(xí)流程分為“方程概念—方程解法—方程應(yīng)用”三部分，不論對(duì)哪種具體方程的學(xué)習(xí)都需要若干個(gè)課時(shí)才能完成，第一課時(shí)只要能引導(dǎo)學(xué)生建立起方程的概念即可

一元一次方程概念的建立，可用下面的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生去經(jīng)歷“思考”“探索”等活動(dòng)：

請(qǐng)同學(xué)們用火柴棒搭建圖2所示的一系列“日”字圖形，并回答下面的問(wèn)題：圖2

（1）如果要搭建圖2（1）所示的一個(gè)“日”字，需要根火柴棒;如果要搭建圖2（2）所示兩個(gè)“日”字，需要根火柴棒

（2）按照這個(gè)方法繼續(xù)搭建下去，在實(shí)際操作的基礎(chǔ)上，填寫下表：

（3）如果用x（x是正整數(shù)）表示所搭建“日”字圖形的個(gè)數(shù)，則所需火柴棒的根數(shù)是?.你是怎樣得到的？相互交流自己的結(jié)論

（4）如果用60根火柴棒，能搭建x個(gè)“日”字，你能得到一個(gè)怎樣的等式？

設(shè)計(jì)意圖 根據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)所“呈現(xiàn)素材應(yīng)貼近學(xué)生現(xiàn)實(shí)”[3]的要求，我們?cè)O(shè)計(jì)了上面的實(shí)驗(yàn)探究活動(dòng).這個(gè)活動(dòng)由（4）個(gè)問(wèn)題構(gòu)成：前兩個(gè)小問(wèn)題是為了引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)搭建“日”字圖形的實(shí)際操作活動(dòng)，得到所需火柴棒的根數(shù).第（3）個(gè)問(wèn)題是讓學(xué)生在思考問(wèn)題（1）（2）的基礎(chǔ)上探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律：搭建x個(gè)“日”字圖形，需要（5x+2）根火柴棒.有了這個(gè)規(guī)律很容易得到問(wèn)題（4）的答案為60=5x+2

教師要抓住這個(gè)等式，和學(xué)生一起共同分析它的特點(diǎn)，并鼓勵(lì)學(xué)生再寫出三個(gè)具有該特點(diǎn)的等式（例如，12x=4，3y+2=10，a-5=21），在此基礎(chǔ)上抽象概括出一元一次方程的定義

教師在教學(xué)中如果給出一元一次方程概念就結(jié)束的話，就沒(méi)有很好的挖掘、發(fā)揮出這種導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)的價(jià)值，這種設(shè)計(jì)的意義有三：（1）給出一元一次方程概念;（2）認(rèn)識(shí)一元一次方程的本質(zhì)，關(guān)于方程的本質(zhì)問(wèn)題還有很多老師搞不清楚（誤認(rèn)為：含有未知數(shù)的等式是方程的本質(zhì)）.從圖1可以看出，對(duì)于方程的學(xué)習(xí)都是從實(shí)際問(wèn)題開始的，最后落腳于用建立方程模型解決實(shí)際問(wèn)題，所以方程的本質(zhì)是求未知數(shù)的值，方法是借助未知數(shù)所滿足的關(guān)系將它“求”出來(lái);（3）讓學(xué)生初步感悟方程思想（只有學(xué)生按照?qǐng)D1的程序?qū)W習(xí)完一元一次方程的內(nèi)容后才能真正感悟到）和數(shù)形結(jié)合思想

對(duì)于后面幾種方程概念的建立過(guò)程，也都要按照從“實(shí)際問(wèn)題出發(fā)—引出方程概念”的程序進(jìn)行，這樣學(xué)生不僅能學(xué)習(xí)到具體的方程概念，而且對(duì)于方程思想的認(rèn)識(shí)、感悟程度也在不斷的加深.

2.2 建立方程模型解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程

《課標(biāo)（2011版）》在具體闡述課程目標(biāo)時(shí)，針對(duì)“問(wèn)題解決”提出了“四條”要求，其中之一是“初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力”[3].在這個(gè)過(guò)程中，一方面，學(xué)生能加深對(duì)所用知識(shí)的理解程度，形成利用有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題的技能;更重要的一方面在于學(xué)生能感悟到隱含在問(wèn)題解決過(guò)程之中的數(shù)學(xué)思想，獲得分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的基本方法，積累解決數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)

在《課標(biāo)（2011版）》界定的“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”三個(gè)方面的內(nèi)容中，都能找到方程思想的“載體”知識(shí)，學(xué)生在學(xué)習(xí)這些“載體”知識(shí)時(shí)，我們都要設(shè)置一些實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生通過(guò)建立方程模型加以解決，從而加深對(duì)方程思想的認(rèn)識(shí)與理解

（1）解決數(shù)與代數(shù)方面的問(wèn)題

“數(shù)與代數(shù)”方面的很多內(nèi)容是研究數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，在對(duì)這些數(shù)量關(guān)系和模型進(jìn)行學(xué)習(xí)、交流以及建立模型解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生能感悟到有關(guān)的數(shù)學(xué)思想.建立方程模型解決問(wèn)題就是十分常見(jiàn)的題型

案例2 足球中的問(wèn)題圖3

有一種足球是由32塊黑白相間的牛皮縫制而成的，如圖3所示，黑皮可以看做正五邊形，白皮可以看做正六邊形，白皮、黑皮的塊數(shù)分別是多少？

設(shè)計(jì)意圖 在學(xué)生建立一元一次方程概念的過(guò)程中，已經(jīng)初步感悟到方程思想，在學(xué)生熟練掌握一元一次方程的解法后，我們?cè)O(shè)計(jì)了上面的案例.設(shè)白皮有x塊，學(xué)生能借助于足球的直觀特點(diǎn)并利用“黑皮的邊數(shù)是固定的”建立方程模型3x=5（32-x）.

在解決這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生加深了對(duì)一元一次方程的認(rèn)識(shí)，學(xué)會(huì)了建立一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般過(guò)程，還能發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力，進(jìn)一步感悟方程思想，樹立應(yīng)用意識(shí)，不斷提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

在學(xué)習(xí)各種具體方程時(shí)，都要設(shè)計(jì)一些利用方程解決的實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生反復(fù)感悟方程思想

（2）解決圖形與幾何方面的問(wèn)題

“圖形與幾何”部分的很多計(jì)算問(wèn)題，需要用到方程的知識(shí)才能解決，如求角的度數(shù)、線段的長(zhǎng)度等.在用方程解決這些問(wèn)題的過(guò)程中，能加深學(xué)生對(duì)方程思想的感悟程度

案例3 建筑物的高度有幾何（2019年重慶市中考數(shù)學(xué)題B卷）？

如圖4，AB是垂直于水平面的建筑物，為測(cè)量AB的高度，小紅從建筑物底端B出發(fā)，沿水平方向行走了52米到達(dá)點(diǎn)C，然后沿斜坡CD前進(jìn)，到達(dá)坡頂D點(diǎn)處，DC=BC.在點(diǎn)D處放置測(cè)角儀，測(cè)角儀支架DE高度為0.8米，在E點(diǎn)處測(cè)得建筑物頂端A點(diǎn)的仰角∠AEF為27°（點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)）.斜坡CD的坡度（或坡比）i=1∶2.4，那么建筑物AB的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）

A.65.8米 B.71.8米 C.73.8米 D.119.8米圖4 圖5

析解 如圖5，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，延長(zhǎng)EF交AB于點(diǎn)H，根據(jù)題意得CD=52.AB=AH+HB=AH+ED+DG.ED已知，需要求AH和DG，求AH需要先求出HE，HE=BC+CG=52+CG，需要先求CG，而CG=2.4DG，因此，只要在Rt△DCG中求出CG來(lái)，問(wèn)題獲解.設(shè)DG=x，建立方程（2.4x）2+x2=522，解得x=20，CG=2.4x=48

HE=BG=BC+CG=52+48=100，AH=HE·tan∠AEF=100·tan27°≈100×0.51=51.進(jìn)而得到AB=?AH+ED+DG≈51+0.8+20=71.8.故選B

點(diǎn)評(píng) 本題以求“建筑物”的高度為背景，屬于解直角三角形的應(yīng)用問(wèn)題，是一種常見(jiàn)的題型.通過(guò)添加輔助線把AB化為三段，即AB=AH+ED+DG，轉(zhuǎn)化為求AH和DG的長(zhǎng)，進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵在于求CG的長(zhǎng)，而求CG的關(guān)鍵在于建立方程（2.4x）2+x2=522.

學(xué)生通過(guò)解答這個(gè)題目，除了能提高自己的計(jì)算能力外，還能培養(yǎng)學(xué)生觀察圖形，添加輔助線的能力，并且還能進(jìn)一步感悟到數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想和方程思想的“魅力”！

（3）解決統(tǒng)計(jì)與概率方面的問(wèn)題

“統(tǒng)計(jì)與概率”方面的有些實(shí)際問(wèn)題也可以通過(guò)建立方程（組）模型加以解決，這也是學(xué)生感悟方程思想的有效“素材”

案例4 檢測(cè)成績(jī)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題（2019年江蘇鎮(zhèn)江中考數(shù)學(xué)題）

陳老師對(duì)他所教的九（1）、九（2）兩個(gè)班級(jí)的學(xué)生進(jìn)行了一次檢測(cè)，批閱后對(duì)最后一道試題的得分情況進(jìn)行了歸類統(tǒng)計(jì)（各類別的得分如下表），并繪制了如圖6所示的每班各類別得分人數(shù)的條形統(tǒng)計(jì)圖（不完整）

已知兩個(gè)班一共有50%的學(xué)生得到兩個(gè)正確答案，解答完全正確，九（1）班學(xué)生這道試題的平均得分為3.78分.請(qǐng)解決如下問(wèn)題：

（1）九（2）班學(xué)生得分的中位數(shù)是;

（2）九（1）班學(xué)生中這道試題作答情況屬于B類和C類的人數(shù)各是多少？

析解 （1）九（2）班一共有48人，而得6分的有27人，所以它的中位數(shù)是6;

（2）設(shè)九（1）班學(xué)生中這道試題作答情況屬于B類的有x人，屬于C類的有y人，

由圖可知x+y=（22+27）÷50%-（8+6+12+49）=23

根據(jù)九（1）班學(xué)生這道試題的平均得分為3.78分，可得x+3y+6×22=3.78×50=57

故有x+y=23，x+3y=57， 解得x=6，y=17.

點(diǎn)評(píng) 本題以學(xué)生的一次檢測(cè)成績(jī)?yōu)楸尘埃疾榈闹R(shí)點(diǎn)主要有條形統(tǒng)計(jì)圖、中位數(shù)、平均數(shù)等概念以及二元一次方程組的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是讀出圖6中相關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)并建立方程組.對(duì)于問(wèn)題（1），根據(jù)圖6得到九（2）班有48人是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.解決問(wèn)題（2）的關(guān)鍵在于建立方程組

學(xué)生在解答本考題的過(guò)程中，能提高自己的閱讀理解能力，獲取信息的能力，計(jì)算能力以及建立方程組解決實(shí)際問(wèn)題的能力等“顯性”知識(shí)，除此之外，還能加深對(duì)方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的理解和認(rèn)識(shí)

（4）解決其他學(xué)科的問(wèn)題

《課標(biāo)（2011年版）》提出“數(shù)學(xué)與人類發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步息息相關(guān)，隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)更加廣泛應(yīng)用于社會(huì)生產(chǎn)和日常生活的各個(gè)方面”[3].為此，教學(xué)中可從其他學(xué)科（物理、化學(xué)、生物等）選擇能用數(shù)學(xué)知識(shí)解決的問(wèn)題，圖7這樣可加深學(xué)生對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)理解，有利于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)

案例5 你能求出電源電壓和電阻來(lái)嗎？

為了求一個(gè)電源的電壓和滑動(dòng)電阻R0的值，小林設(shè)計(jì)了如圖7所示的電路圖，下面是小林在接通電源開關(guān)S的前提下，兩次滑動(dòng)Rp的滑片P所得到的數(shù)據(jù)：

請(qǐng)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，求出電源的電壓和電阻R0的大小

析解 設(shè)電源電壓為U，則U=0.8R0+8.6;U=0.5R0+12.2. 解得U=18.2R0=12

點(diǎn)評(píng) 本題以滑動(dòng)變阻器的滑片P為背景，讓學(xué)生根據(jù)兩次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)求電源電壓和電阻的大小，這是初中物理電學(xué)部分的常見(jiàn)問(wèn)題，學(xué)生利用電學(xué)部分固有的關(guān)系是U=IR，根據(jù)實(shí)驗(yàn)獲得的兩組數(shù)據(jù)，正確建立起方程組是解決的關(guān)鍵

學(xué)生在解答本題的過(guò)程中，不僅能加深對(duì)電學(xué)知識(shí)的理解和認(rèn)識(shí)，而且能提高運(yùn)用方程組解決物理問(wèn)題的能力，還能從數(shù)學(xué)學(xué)科外的“知識(shí)”中，感悟到方程思想，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)

在學(xué)習(xí)方程的知識(shí)時(shí)，適當(dāng)精選一些其他學(xué)科的問(wèn)題，讓學(xué)生通過(guò)建立方程模型加以解決，這樣有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)一步“了解數(shù)學(xué)的價(jià)值”，多方面、多角度感悟方程思想.

3 結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)思想是以具體知識(shí)為“載體”的，是數(shù)學(xué)知識(shí)的“靈魂”，學(xué)生只有在學(xué)習(xí)這些載體知識(shí)和應(yīng)用知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題以及實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，才能感悟到有關(guān)的數(shù)學(xué)思想，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)和感悟是一個(gè)過(guò)程，感悟的過(guò)程體現(xiàn)了《課標(biāo)（2011年版）》提出的“逐級(jí)遞進(jìn)、螺旋上升”原則

我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)認(rèn)真研讀教學(xué)內(nèi)容，站在讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想的高度設(shè)計(jì)問(wèn)題系列，引導(dǎo)學(xué)生在探索、解決問(wèn)題的過(guò)程之中，掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，形成數(shù)學(xué)基本技能，感悟數(shù)學(xué)基本思想，積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，逐步實(shí)現(xiàn)《課標(biāo)（2011年版）》提出的總目標(biāo).

參考文獻(xiàn)

[1]李吉寶等.初中數(shù)學(xué)MIM教學(xué)與研究的幾個(gè)問(wèn)題[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2001（5）.

[2]李樹臣.突出數(shù)學(xué)思想主線，優(yōu)化教材知識(shí)結(jié)構(gòu)——青島版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（七—九）編寫的原則之一[J].中學(xué)數(shù)學(xué)（湖北大學(xué)），2016（12）.

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[4]史寧中.數(shù)學(xué)基本思想18講[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2016.

[5]李樹臣等.加強(qiáng)思想方法教學(xué)，提高學(xué)生整體素養(yǎng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2017（10）.