S-度量空間中凸壓縮不動(dòng)點(diǎn)

彭 榮

(廣東培正學(xué)院 數(shù)據(jù)科學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，廣州 510830)

不動(dòng)點(diǎn)理論是非線性分析中的重要內(nèi)容，在數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域，特別是非線性微分方程和積分方程中有著廣泛的應(yīng)用.度量空間中的不動(dòng)點(diǎn)在數(shù)學(xué)分析、拓?fù)浜蛿?shù)學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域中非常重要，學(xué)者們對(duì)度量空間的概念進(jìn)行了各種形式的推廣和改進(jìn)，獲得了許多有意義的不動(dòng)點(diǎn)結(jié)果并在解非線性方程中得到了應(yīng)用[1-4].1981年，Istratescu V I[5-7]提出了凸壓縮和凸非擴(kuò)張映射的概念，證明了度量空間中幾個(gè)凸壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理.2011年，Sedghi S等[8]提出了S-度量空間的概念，并將度量空間中的一些結(jié)果在S-度量空間中加以推廣和改進(jìn)，獲得了許多不動(dòng)點(diǎn)定理[9-13].之后，許多學(xué)者在S-度量空間中研究了各類映射的不動(dòng)點(diǎn)和公共不動(dòng)點(diǎn)的存在唯一性問題，得到了許多研究成果[14-16].受文獻(xiàn)[5,8]啟發(fā)，在S-度量空間中引入凸壓縮映射的概念，討論凸壓縮不動(dòng)點(diǎn)的存在性和唯一性問題，將度量空間中的相關(guān)結(jié)論推廣到S-度量空間中，并對(duì)證明方法加以改進(jìn).

1 預(yù)備知識(shí)

為敘述方便，下面先介紹一些基本概念和結(jié)論.

定義1[8]設(shè)X是非空集合，映射S：X×X×X→[0,+)稱為X上的S-度量，如果對(duì)任意x,y,z,a∈X，滿足以下條件：

i)S(x,y,z)=0?x=y=z.

ii)S(x,y,z)≤S(x,x,a)+S(y,y,a)+S(z,z,a).

稱(X,S)為一個(gè)S-度量空間.

性質(zhì)1[8]設(shè)(X,S)是一個(gè)S-度量空間，則對(duì)任意x,y∈X，S(x,x,y)=S(y,y,x).

定義2[8]設(shè)(X,S)為一個(gè)S-度量空間， 序列{xn}?X，

ii)如果對(duì)任意ε>0，存在n0∈N，當(dāng)m，n>n0時(shí)，S(xn,xn,xm)<ε，則稱序列xn為Cauchy序列.

iii)如果對(duì)任意的Cauchy序列{xn}都在X中收斂，則稱S-度量空間(X,S)是完備的.

定義3[9]設(shè)(X,S)和(X′,S′)是兩個(gè)S-度量空間，T是X到X′上的映射，如果對(duì)于任意a∈X和xn∈X，當(dāng)S(xn,xn,a)→0時(shí)S′(T(xn),T(xn),T(a))→0，則稱映射T是連續(xù)映射.如果T在任意x∈X連續(xù)，則稱T在X上連續(xù).

定義4 設(shè)(X,S)是一個(gè)S-度量空間，T:X→X是連續(xù)映射，如果滿足條件：

S(T2x,T2x,T2y)≤aS(x,x,y)+bS(Tx,Tx,Ty).

其中0≤a+b<1，則稱T是2階凸壓縮映射.

定義5 設(shè)(X,S)是一個(gè)S-度量空間，T:X→X為連續(xù)映射，對(duì)任意x,y∈X，

S(Tpx,Tpx,Tpy)≤a0S(x,x,y)+a1S(Tx,Tx,Ty)+…+am-1S(Tp-1x,Tp-1x,Tp-1y).

其中p∈，0≤a0+a1+…+am-1<1，則稱T是p階凸壓縮映射.

2 主要結(jié)果及證明

定理1 設(shè)(X,S)是一個(gè)完備S-度量空間，T為X上2階凸壓縮映射，即對(duì)任意x,y∈X，映射T滿足：

S(T2x,T2x,T2y)≤aS(x,x,y)+bS(Tx,Tx,Ty)

(1)

其中0≤a+b<1，則T在X上存在唯一不動(dòng)點(diǎn)x， 且對(duì)任意x0∈X，Tnx0→x.

證明任取x0∈X，構(gòu)造序列xn+1=Txn，n=0，1，2，……，令：

K=max{S(x0,x0,Tx0),S(Tx0,Tx0,T2x0)}

i)證明對(duì)任意n∈，其中為取整數(shù)).

事實(shí)上，對(duì)任意k∈N，由式(1)知：

S(T2kx0,T2kx0,T2k+1x0)≤aS(T2k-2x0,T2k-2x0,T2k-1x0)+bS(T2k-1x0,T2k-1x0,T2kx0).

S(T2k-1x0,T2k-1x0,T2kx0)≤aS(T2k-3x0,T2k-3x0,T2k-2x0)+bS(T2k-2x0,T2k-2x0,T2k-1x0).

代入k=1,2，則：

S(Tx0,Tx0,T2x0)≤K=(a+b)0K.

S(T2x0,T2x0,T3x0)≤aS(x0,x0,Tx0)+bS(Tx0,Tx0,T2x0)≤(a+b)K.

S(T3x0,T3x0,T4x0)≤aS(Tx0,Tx0,T2x0)+bS(T2x0,T2x0,T3x0) ≤aK+b(a+b)K≤(a+b)K.

S(T4x0,T4x0,T5x0)≤aS(T2x0,T2x0,T3x0)+bS(T3x0,T3x0,T4x0)≤a(a+b)K+b(a+b)K=(a+b)2K.

顯然，當(dāng)n=1,2,3,4時(shí)，命題成立.

假設(shè)對(duì)任意n≤l命題成立，即對(duì)任意n≤l，有：

則n=l+1時(shí)，

S(Tl+1x0,Tl+1x0,Tl+2x0)≤aS(Tl-1x0,Tl-1x0,Tlx0)+bS(Tlx0,Tlx0,Tl+1x0)≤

(2)

當(dāng)l=2k時(shí)， 代入式(2)有：

S(Tl+1x0,Tl+1x0,Tl+2x0)=S(T2k+1x0,T2k+1x0,T2k+2x0)≤a(a+b)k-1K+b(a+b)kK=

當(dāng)l=2k+1時(shí)，代入式(2)有：

S(Tl+1x0,Tl+1x0,Tl+2x0)=S(T2k+2x0,T2k+2x0,T2k+3x0)≤

因此，當(dāng)n=l+1∈時(shí)：

由第二數(shù)學(xué)歸納法知，命題成立.即對(duì)任給的n∈：

ii)下證序列{xn}是X中的Cauchy序列.

事實(shí)上，任取m,n∈,m>n≥N0，則：

S(xm,xm,xn)≤2S(xm,xm,xm+1)+S(xn,xn,xm+1) =

2S(xm,xm,xm+1)+S(xm+1,xm+1,xn)≤

2S(xm,xm,xm+1)+2S(xm+1,xm+1,xm+2)+…+2S(xn-1,xn-1,xn)≤

(3)

對(duì)式(3)取極限，令m,n→時(shí)，則S(xm,xm,xn)→0，即{xn}是X中的Cauchy序列.

即x為T的不動(dòng)點(diǎn).

iii)下證x為T的唯一不動(dòng)點(diǎn).假設(shè)存在y≠x,y∈X也是不動(dòng)點(diǎn)，即Ty=y.則：

S(x,x,y)=S(T2x,T2x,T2y)≤aS(x,x,y)+bS(Tx,Tx,Ty)=(a+b)S(x,x,y)

矛盾，故由反證法知，x是唯一不動(dòng)點(diǎn).

定理2 設(shè)(X,S)是一個(gè)完備S-度量空間，T為X上p階凸壓縮映射，即對(duì)任意x,y∈X，映射T滿足：

S(Tpx,Tpx,Tpy)≤a0S(x,x,y)+a1S(Tx,Tx,Ty)+…+ap-1S(Tp-1x,Tp-1x,Tp-1y).

(4)

其中0≤a0+a1+…+an-1<1，則T在X上有唯一不動(dòng)點(diǎn)x，且對(duì)任意x0∈X，Tnx0→x.

證明對(duì)于任意x0∈X，定義序列xn+1=Txn，n=0，1，2，…，令λ=a0+a1+…+ap-1：

K=max{S(x0,x0,Tx0),S(Tx0,Tx0,T2x0),…,S(Tp-1x0,Tp-1x0,Tpx0)}.

i)證明對(duì)任意n∈，有其中為取整數(shù)).

事實(shí)上，當(dāng)n=0,1,2，…，p-1，取x=x0,y=Tx0，由假設(shè)知結(jié)論成立.當(dāng)n=p時(shí)，由式(4)可知，

S(Tpx0,Tpx0,Tp+1x0)≤a0S(x0,x0,Tx0)+a1S(Tx0,Tx0,T2x0)+ …+ap-1S(Tp-1x0,Tp-1x0,Tpx0)≤λK.

則命題成立.

假設(shè)對(duì)任意n≤l∈成立，即當(dāng)n≤l時(shí)，有：

則當(dāng)n=l+1時(shí)，

S(Tl+1x0,Tl+1x0,Tl+2x0)≤a0S(Tl-p+1x0,Tl-p+1x0,Tl-px0)+a1S(Tl-p+2x0,Tl-p+2x0,Tl-p+1x0)+…

+ap-1S(Tlx0,Tlx0,Tl+1x0).

由整除理論知，對(duì)于任意l∈，存在k∈，使得l=kp+i，i=1,2,3,…，p-1.下面對(duì)l分類討論，

當(dāng)l=kp+i，i=1,2,…,p-2時(shí)，

S(Tl+1x0,Tl+1x0,Tl+2x0)=S(Tkp+i+1x0,Tkp+i+1x0,Tkp+i+2x0)≤

a0S(Tkp+i+1-px0,Tkp+i+1-px0,Tkp+i+2-px0)+

a1S(Tkp+i+2-px0,Tkp+i+2-px0,Tkp+i+3-px0)+…

+ap-1S(Tkp+ix0,Tkp+ix0,Tkp+i+1x0)≤

a0λk-1K+a1λk-1K+…+amλkK+…+ap-1λkK(m+1+i≥p)≤

λk-1(a0+a1+…+ap-1)K=

當(dāng)l=kp+p-1時(shí)，

S(Tl+1x0,Tl+1x0,Tl+2x0)=S(T(k+1)px0,T(k+1)px0,T(k+1)p+1x0) ≤a0S(Tkpx0,Tkpx0,Tkp+1x0)+

a1S(Tkp+1x0,Tkp+1x0,Tkp+2x0)+ …+an-1S(Tkp+(p-1)x0,Tkp+(p-1)x0,Tkp+px0)≤

(a0+a1+…+ap-1)λkK=

綜上，當(dāng)n=l+1時(shí)結(jié)論成立.由數(shù)學(xué)第二歸納法可知對(duì)任意n∈，有：

(5)

ii)下面證明{xn}是X中的Cauchy序列.

事實(shí)上，任取m,n∈,m>n≥N0，則：

S(xm,xm,xn)≤2S(xm,xm,xm+1)+S(xn,xn,xm+1)=

2S(xm,xm,xm+1)+S(xm+1,xm+1,xn) ≤

2S(xm,xm,xm+1)+2S(xm+1,xm+1,xm+2)+…+2S(xn-1,xn-1,xn)≤

(6)

對(duì)式(6)取極限，令m,n→時(shí)，有S(xm,xm,xn)→0，則{xn}是X中的Cauchy序列.

即x為T的不動(dòng)點(diǎn).

iii)下證x為T的唯一不動(dòng)點(diǎn).假設(shè)x≠y∈X也是不動(dòng)點(diǎn)，即Ty=y.則：

S(x,x,y)=S(Tpx,Tpx,Tpy)≤a0S(x,x,y)+a1S(Tx,Tx,Ty)+…

+ap-1S(Tp-1x,Tp-1x,Tp-1y)=λS(x,x,y)

矛盾，故由反證法知，x是唯一不動(dòng)點(diǎn).

定理3[4]設(shè)(X,S)是一個(gè)完備S-度量空間，T為X到X上映射，任取x,y∈X，

S(Tx,Tx,Ty)≤kS(x,x,y).

其中0≤k<1，則T在X上存在唯一不動(dòng)點(diǎn)x且Tnx0→x.

S(Txn,Txn,Ta)≤kS(xn,xn,a)<ε.