談兒童數(shù)學(xué)教育視角下“模型思想”建立的策略

□張秋爽

數(shù)學(xué)有三大基本思想：抽象思想、推理思想和模型思想。很多教師感到困惑：模型思想到底是什么？數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)模型和模型思想三者的關(guān)系是什么？如何在教學(xué)中進(jìn)行實(shí)踐和有意識(shí)地融入模型思想？

一、合理把握小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想的定位

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》指出：“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)。”

數(shù)學(xué)模型方法是指將具體的數(shù)學(xué)問題情境化，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并解決問題的一種思想方法；模型思想是模型方法的理論升華，它強(qiáng)調(diào)對(duì)實(shí)際問題情境的抽象和概括，即把實(shí)際問題抽象簡化為由各種數(shù)學(xué)符號(hào)組成的普通表達(dá)式、公式、運(yùn)算法則、已知定理等數(shù)學(xué)模型；數(shù)學(xué)建模是一個(gè)過程，從具體的情境出發(fā)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步驗(yàn)證和完善數(shù)學(xué)模型，最后應(yīng)用數(shù)學(xué)模型。

所以教師在教學(xué)中要立足學(xué)生實(shí)際，讓學(xué)生參與建模的全過程，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的理解，提高學(xué)生解決問題的能力。

二、數(shù)學(xué)模型思想建立的策略

（一）挖掘可以滲透模型思想的素材，做到有意識(shí)

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有很多內(nèi)容都可以滲透模型思想。張奠宙先生說：“廣義地講，數(shù)學(xué)中各種基本概念和基本算法都可以叫作數(shù)學(xué)模型，加、減、乘、除都有各自的現(xiàn)實(shí)原型，它們都是以各自相應(yīng)的現(xiàn)實(shí)原型作為背景抽象出來的?！币虼?，作為教師要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容有意識(shí)地挖掘模型思想，并在教學(xué)實(shí)踐中以恰當(dāng)?shù)姆绞郊右月鋵?shí)，而不僅僅局限于讓學(xué)生記憶概念、掌握解題方法，更應(yīng)提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)方法解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，增強(qiáng)他們用數(shù)學(xué)的思維來觀察世界和解決問題的能力。

如十進(jìn)制計(jì)數(shù)法是表示整數(shù)和小數(shù)的基本模型；整數(shù)四則運(yùn)算是數(shù)學(xué)運(yùn)算的基本模型，其基礎(chǔ)是運(yùn)算意義和位值思想；常見的量是表述數(shù)量單位的基本模型，其核心是度量，體現(xiàn)的是計(jì)量單位和個(gè)數(shù)之間累加的結(jié)果；平均分派物品的數(shù)學(xué)模型是分?jǐn)?shù)，比、分?jǐn)?shù)和除法的模型就是“份”。

小學(xué)階段有兩個(gè)基本的數(shù)量關(guān)系，也是兩個(gè)典型的模型“路程＝速度×?xí)r間”“總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量”，它們的基礎(chǔ)都是乘法意義和四則運(yùn)算之間的關(guān)系。

用字母表示數(shù)是代數(shù)學(xué)的本質(zhì)，也是代數(shù)學(xué)的基本模型。天平從本質(zhì)上說是等量關(guān)系的“直觀模型”，方程是表示一類等量關(guān)系的模型；正、反比例是表示一類具有變量關(guān)系的模型。

點(diǎn)、線、面、體是幾何圖形的基本模型，認(rèn)識(shí)圖形從圖形的大小、形狀、位置和方向四個(gè)方面進(jìn)行；刻畫圖形有兩個(gè)維度，一個(gè)是特征的維度，一個(gè)是度量的維度。

圖形位置的模型是維度和坐標(biāo)系，前、后、左、右、上、下是一年級(jí)學(xué)習(xí)表示位置的詞語。一維空間的刻畫需要三對(duì)詞語中的一對(duì)，如前、后；二維空間的刻畫需要三對(duì)詞語中的兩對(duì)，如前、后、左、右；三維空間的刻畫需要三對(duì)詞語。學(xué)生借助坐標(biāo)軸和方向標(biāo)，辨別東、南、西、北、東南、東北、西南、西北八個(gè)基本方位。在小學(xué)高年級(jí)，學(xué)習(xí)在方格紙上用數(shù)對(duì)表示位置，這實(shí)際上就是解析幾何的模型；方格紙和數(shù)對(duì)，從本質(zhì)上說是表示事物數(shù)量、位置、大小和數(shù)量關(guān)系的直觀模型。

統(tǒng)計(jì)圖表是收集和整理數(shù)據(jù)的工具，是表述數(shù)據(jù)分布情況的模型，統(tǒng)計(jì)量是分析和描述數(shù)據(jù)特征的模型，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)包括數(shù)據(jù)的收集、整理、分析和決策全過程。平均數(shù)是小學(xué)階段統(tǒng)計(jì)量數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)的開始。

烙餅問題、沏茶問題是對(duì)策論問題，田忌賽馬問題屬于運(yùn)籌學(xué)問題，其模型是“做事情的順序問題”；雞兔同籠問題直接體現(xiàn)了假設(shè)和方程的思想；植樹問題討論的是“點(diǎn)—間隔”之間的關(guān)系。“植樹問題”“路燈問題”“排隊(duì)問題”“鋸木問題”“爬樓問題”“敲鐘問題”等都有著相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，可以歸為同一個(gè)數(shù)學(xué)模型，也就是間隔問題，即點(diǎn)和間隔依次重復(fù)出現(xiàn)，而且間隔長度不變。凡是屬于這樣的情況就是植樹問題。單循環(huán)賽問題、握手問題就是數(shù)線段的模型；七橋問題就是“一筆畫”問題的模型等。

不論是概念的學(xué)習(xí)、規(guī)律的探索，還是實(shí)際問題中解決問題策略的習(xí)得，抑或法則的得出、圖形的抽象、知識(shí)的應(yīng)用、數(shù)據(jù)的分析等內(nèi)容，都有數(shù)學(xué)模型。換句話說，數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐四個(gè)領(lǐng)域都有數(shù)學(xué)模型，而綜合與實(shí)踐更符合數(shù)學(xué)建模的過程，都要讓學(xué)生在情境中參與，在實(shí)際操作中探索和經(jīng)歷模型的建立過程，有意識(shí)做好數(shù)學(xué)模型思想的融入與滲透，使學(xué)生知其然又知其所以然。

（二）參與數(shù)學(xué)建模的全過程，做到有感悟

一般情況下，學(xué)生參與的數(shù)學(xué)建模要經(jīng)歷創(chuàng)設(shè)情境—提出假設(shè)—建立模型—求解模型—驗(yàn)證模型—應(yīng)用模型的全過程。吳正憲老師在教學(xué)乘法《乘法分配律》一課時(shí)，圍繞三個(gè)核心問題展開教學(xué)。

問題1：如何從現(xiàn)實(shí)中激活模型的生活化意義？

教師給學(xué)生提供多個(gè)生活原型：求紅花和黃花一共有多少朵？求種花的總面積是多少平方米？求客廳瓷磚的總面積是多少平方米？

問題2：如何從例證中體驗(yàn)?zāi)Ｐ偷某橄蠡饬x？

教師讓學(xué)生列舉多道等式，從乘法意義出發(fā)，體驗(yàn)?zāi)Ｐ偷某橄蠡饬x。

一般傳統(tǒng)的課堂中，教師往往僅通過一個(gè)實(shí)際問題引出等式，而且出示實(shí)際問題的目的僅僅是為了讓學(xué)生得到等式，便于學(xué)生進(jìn)行模仿；但是“從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題”才是真實(shí)數(shù)學(xué)建模過程的首要環(huán)節(jié)。吳正憲老師的課堂從具體情境出發(fā)，給出了兩個(gè)例子，她不急于讓學(xué)生得出規(guī)律，而是借助情境和現(xiàn)實(shí)，拉長了學(xué)生對(duì)等式生活意義的體驗(yàn)過程，學(xué)生在充分的體驗(yàn)中激活了已有生活經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于等式中間蘊(yùn)藏的規(guī)律在頭腦中越來越清晰。在初步形成猜想后，下面的舉例其實(shí)就是學(xué)生對(duì)其猜想的初步驗(yàn)證。

問題3：如何表征才能凸顯模型的形式化意義？

教師選擇學(xué)生中出現(xiàn)的典型的五種想法，有序地呈現(xiàn)出來。

學(xué)生通過不同的表征方法，建構(gòu)模型的形式化意義。教師有層次地展示學(xué)生作品，讓每個(gè)學(xué)生都能在黑板上找到自己的影子并積極地參與討論，不斷澄清認(rèn)知的偏差，在自我否定、補(bǔ)充完善中，抽象出數(shù)學(xué)模型，感悟數(shù)學(xué)建模的過程。

聽完吳正憲老師的課，筆者豁然開朗。教師上課一般只進(jìn)行到第二個(gè)核心問題，新課就結(jié)束了，教師會(huì)留出更多的時(shí)間讓學(xué)生大量地做習(xí)題，以鞏固基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能。通過對(duì)比，我們發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生經(jīng)歷模型建立的全過程，有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的進(jìn)一步理解，探究問題中隱含的數(shù)學(xué)關(guān)系。

（三）在解決問題中應(yīng)用模型，做到善提取、巧對(duì)接

數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)是從現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)問題或現(xiàn)象中抽象出普適性的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題。

學(xué)生在學(xué)習(xí)了線段、射線和直線之后，開始學(xué)習(xí)數(shù)線段問題。通過分類，可以得出圖1中一共有6條線段“AB、BC、CD、AC、BD和AD”，既可以連線，也可以計(jì)算，算式：1+2+3=6。

圖1

而數(shù)角和數(shù)三角形都屬于同一個(gè)數(shù)學(xué)模型，都是先數(shù)出有幾個(gè)基本圖形，然后從1開始依次加到幾。圖2一共有6個(gè)角，圖3一共有6個(gè)三角形。

圖2

圖3

當(dāng)學(xué)生把數(shù)線段、數(shù)角和數(shù)三角形都看成具有相同結(jié)構(gòu)的模型之后，還需要到現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用模型解決問題；其中的橋梁就是學(xué)生能面對(duì)新情境新問題對(duì)接所學(xué)概念、所建立的模型，從腦中提取出來。只要善提取、巧對(duì)接就解決了90%的問題。

面對(duì)數(shù)圖形這類問題，現(xiàn)實(shí)生活中的情境還有：

（1）鼴鼠鉆洞一共有（ ）條路線。

（2）有4 個(gè)好朋友寒假聚會(huì)，每個(gè)人要握一次手，一共需要握幾次？

（3）有1，2，3，4 四個(gè)數(shù)，從中挑兩個(gè)數(shù)作為乘法算式的兩個(gè)因數(shù)，可以得到幾個(gè)不同的積？

（4）有4支籃球隊(duì)，要進(jìn)行單循環(huán)賽，一共需要賽幾次？……

其中鼴鼠鉆洞的4 個(gè)洞口，抽象成4 個(gè)點(diǎn)，洞與洞相接的地方抽象成線，這樣就變成了數(shù)線段問題。我們要求學(xué)生在解決問題時(shí)能寫一寫、畫一畫，就是想讓他們把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型。這四個(gè)問題，其中鼴鼠鉆洞的4 個(gè)洞口、4 個(gè)好朋友、4 個(gè)數(shù)和4 支球隊(duì)就是線段上的4 個(gè)端點(diǎn)；而所求問題鼴鼠鉆洞的路線條數(shù)、握手的次數(shù)、幾個(gè)不同的積和單循環(huán)賽的場次就是數(shù)線段模型，都是用1+2+3=6；這里的“3”就是三條基本線段，“2”是指兩條相鄰的線段組成的比較長的線段有2 條；“1”是指三條基本線段組成的一條最長的線段。

三、課堂教學(xué)中建立模型思想的建議

模型思想的建立需要一個(gè)循環(huán)往復(fù)的過程，需要從大量的問題情境或生活實(shí)例（具體形象、舊知識(shí)）中抽象出概念、法則、運(yùn)算定律，再用自己的方式表達(dá)，最后用自己的方式解讀。這也是一個(gè)建構(gòu)和解構(gòu)的過程，這兩個(gè)過程缺一不可，共同承擔(dān)學(xué)生建立模型思想的全過程。

教材中有很多內(nèi)容屬于模型思想，如植樹問題、雞兔同籠及一些基本的數(shù)量關(guān)系、函數(shù)等，建議大家進(jìn)一步挖掘，做到前有孕伏，后有照應(yīng)，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，提升他們思考和做事的能力，尤其是在新情境下能夠解決富有挑戰(zhàn)性的問題。

教學(xué)中要讓學(xué)生感悟模型無處不在，我們應(yīng)從低年級(jí)起，恰到好處地結(jié)合日常教學(xué)對(duì)學(xué)生進(jìn)行模型意識(shí)的滲透，體會(huì)建立模型、研究模型、應(yīng)用模型是數(shù)學(xué)的本質(zhì)。