搭建學(xué)習(xí)腳手架 培養(yǎng)抽象能力

□張麗芳 邢 穎

抽象能力是學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)展所必需的關(guān)鍵能力之一。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）將抽象思想、推理思想、模型思想確立為數(shù)學(xué)的“三個(gè)基本思想”。史寧中教授用三句話描述數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界；會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界；會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。數(shù)學(xué)的研究源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，基于抽象結(jié)構(gòu)，通過(guò)符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建等數(shù)學(xué)方法，理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律。正是有了數(shù)學(xué)抽象，才形成了數(shù)學(xué)的第一個(gè)基本特征，就是數(shù)學(xué)的一般性。數(shù)學(xué)抽象在數(shù)學(xué)教學(xué)中無(wú)處不在。

小學(xué)生的學(xué)習(xí)主要以直觀形象為主，教學(xué)中可以把抽象問(wèn)題具體化、直觀化，也可以從直觀、具體事物中抽象出一般規(guī)律。搭建學(xué)習(xí)腳手架，讓學(xué)生經(jīng)歷具體、抽象、再具體、再抽象的過(guò)程，相應(yīng)的，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也伴隨著這個(gè)過(guò)程漸漸形成。

一、多元表征，建立抽象概念

《課程標(biāo)準(zhǔn)》有關(guān)知識(shí)與技能的闡述中明確指出：讓學(xué)生經(jīng)歷從日常生活中抽象出數(shù)的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的抽象思維。數(shù)概念貫穿于小學(xué)數(shù)學(xué)的整個(gè)教學(xué)過(guò)程，教師應(yīng)在數(shù)概念建立過(guò)程中借助多元表征逐步培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力。

為了使學(xué)生掌握數(shù)概念中諸多重要但又較抽象的內(nèi)容，教學(xué)中加強(qiáng)學(xué)生的觀察、操作活動(dòng)至關(guān)重要。教師可為學(xué)生提供豐富的操作素材，如糖果、小棒、第納斯木塊、計(jì)數(shù)器等（見(jiàn)下圖）。這些學(xué)習(xí)資源既是形成抽象數(shù)概念的橋梁，又為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感提供了直觀支撐。從實(shí)物抽象出數(shù)，再?gòu)某橄蟮臄?shù)還原到實(shí)物，幫助學(xué)生完成由具體到抽象、再?gòu)某橄蠡氐骄唧w的認(rèn)知過(guò)程。

認(rèn)識(shí)數(shù)離不開(kāi)直觀的學(xué)具，呈現(xiàn)一堆“小棒”或“第納斯木塊”等，直接用眼睛看，看不出有多少，但若把這些學(xué)具“結(jié)構(gòu)化”——10 根一捆，10 小捆一大捆，10 個(gè)一列，強(qiáng)調(diào)“十進(jìn)制”，這時(shí)學(xué)生一眼就能看出物體的數(shù)量，由此感受“十進(jìn)制”。再通過(guò)齊性、邏輯結(jié)構(gòu)化的學(xué)具計(jì)數(shù)器讓學(xué)生認(rèn)識(shí)“珠子”相同，但珠子所在的位置不同，每個(gè)珠子所表示的意義也不同。從而形成計(jì)數(shù)單位的表象，逐步拓展對(duì)數(shù)位、計(jì)數(shù)單位的認(rèn)知，并開(kāi)始深入理解掌握十進(jìn)位值制、數(shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，從而完成對(duì)數(shù)的逐步抽象的過(guò)程。

從實(shí)物到小棒、第納斯方塊再到計(jì)數(shù)器，從散亂的學(xué)具到齊性、直觀、結(jié)構(gòu)化的學(xué)具再到齊性、邏輯結(jié)構(gòu)化的學(xué)具，將抽象的概念具體化、形象化，從具體到半抽象再到抽象逐步過(guò)渡，形成計(jì)數(shù)單位的表象，經(jīng)歷數(shù)概念的抽象過(guò)程，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生抽象與概括的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)。

學(xué)生抽象能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的，是在學(xué)習(xí)知識(shí)的過(guò)程中借助多種表征方式逐步形成的。教學(xué)中教師要學(xué)會(huì)放手，給學(xué)生提供逐步抽象的空間，讓學(xué)生在操作、思考、表征、表象過(guò)程中提高自己的抽象能力。

二、游戲引路，建構(gòu)抽象模型

人教版五年級(jí)上冊(cè)“用字母表示數(shù)”一課的主要教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生理解“為什么要用字母表示數(shù)”“怎樣用字母表示數(shù)”，教學(xué)有一定難度。因?yàn)橛删唧w的數(shù)量過(guò)渡到可以用字母表示數(shù)，這是學(xué)生初次感知用字母表示數(shù)的抽象性和概括性，是由算術(shù)思維過(guò)渡到代數(shù)思維的關(guān)鍵點(diǎn)，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是很抽象的，也是認(rèn)識(shí)上的一次飛躍。

布魯納說(shuō)：“學(xué)習(xí)的最好刺激是對(duì)學(xué)習(xí)材料的興趣?！币虼耍竟?jié)課教師安排了游戲活動(dòng)，以調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并在輕松愉悅的氛圍中設(shè)置懸念，激發(fā)學(xué)生的探索欲望。

游戲一：通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，學(xué)生感受用符號(hào)、字母可以表示未知數(shù)，這里的字母表示的是固定的一個(gè)數(shù)。

猜數(shù)游戲：同學(xué)們喜歡做游戲嗎？我們先來(lái)做個(gè)猜數(shù)游戲，看誰(shuí)猜得準(zhǔn)。請(qǐng)你仔細(xì)觀察屏幕上的信息，看看這些圖形的后面藏的是幾。想好后，舉起手中相應(yīng)的撲克牌。

課件逐一出示下圖，學(xué)生舉牌回答，逐一研討：你是怎么猜到的？

游戲二：借助《數(shù)青蛙》這首兒歌，設(shè)置懸念，以激發(fā)學(xué)生的探索欲望。

師：你們喜歡兒歌嗎？今天老師帶來(lái)一首兒歌，相信你們只要聽(tīng)了第一句就能夠繼續(xù)說(shuō)下去。（學(xué)生躍躍欲試）

師：（一邊拍手一邊說(shuō)兒歌）1只青蛙，1張嘴，2只眼睛，4 條腿。怎么樣，能不能繼續(xù)往下說(shuō)？我們一齊有節(jié)奏地說(shuō)，還要說(shuō)得流利，能做到嗎？我們從頭開(kāi)始——

1只青蛙，1張嘴，2只眼睛，4條腿；

2只青蛙，2張嘴，4只眼睛，8條腿；

3只青蛙，3張嘴，6只眼睛，12條腿；

4只青蛙，4張嘴，8只眼睛，16條腿；

5只青蛙，5張嘴，10只眼睛，20條腿……

（加快節(jié)奏，使學(xué)生不能馬上反應(yīng)說(shuō)出結(jié)果）

師：?！蹅儎偛趴烧f(shuō)好的呀，要說(shuō)得流利，怎么越說(shuō)越亂了？

生：后面數(shù)越來(lái)越大了，不好說(shuō)。

生：老師，數(shù)太大了，我們可以寫(xiě)一寫(xiě)嗎？

師：就從6 開(kāi)始寫(xiě)，要把這首兒歌寫(xiě)全?。。ㄒ鲂碌膯?wèn)題）

放手給學(xué)生一點(diǎn)時(shí)間寫(xiě)，在寫(xiě)的過(guò)程中，有的學(xué)生寫(xiě)了幾個(gè)就不寫(xiě)了，有的學(xué)生一直寫(xiě)。終于有人喊道：“受不了！太多了！”

當(dāng)大多數(shù)學(xué)生發(fā)現(xiàn)寫(xiě)不完時(shí)，教師提問(wèn)：你們又遇到困難了？寫(xiě)不完，能不能想想辦法把這首兒歌寫(xiě)全？（學(xué)生很感興趣，積極投入其中）

根據(jù)學(xué)生的回答，教師在屏幕上清晰呈現(xiàn)學(xué)生的作品。

生1：無(wú)數(shù)只青蛙無(wú)數(shù)張嘴，無(wú)數(shù)只眼睛，無(wú)數(shù)條腿。

生2：（N）只青蛙，（N）張嘴，（N）只眼睛，（N）條腿。

生3：（N）只青蛙，（N）張嘴，（B）只眼睛，（C）條腿。

生4：（A）只青蛙，（A）張嘴，（2×A）只眼睛，（4×A）條腿……

教師以學(xué)生感興趣的猜數(shù)游戲和趣味兒歌作為素材，讓學(xué)生在游戲中自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，自己解決問(wèn)題，體會(huì)到用字母表示的是一類不確定的數(shù)的所有情況，抽象思維能力得到提高。

三、活動(dòng)進(jìn)階，激活抽象思維

兒童的思維在活動(dòng)中最活躍，設(shè)計(jì)進(jìn)階活動(dòng)可以提升學(xué)生的抽象思維。聚焦人教版教材四年級(jí)下冊(cè)“多邊形內(nèi)角和”這部分內(nèi)容，起點(diǎn)為三角形內(nèi)角和，隨著圖形邊數(shù)的增加，內(nèi)角和也在增加，在變化中不變的因素是圖形的邊數(shù)每增加1，內(nèi)角和會(huì)增加180度。而教材練習(xí)十六中的第四題，要求依次探索多邊形內(nèi)角和。

在教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)，學(xué)生利用探索三角形內(nèi)角和及四邊形內(nèi)角和積累的經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題，并嘗試用公式表達(dá)規(guī)律，極大地發(fā)展了抽象能力。

本單元內(nèi)容可以做如下設(shè)計(jì)：以學(xué)生調(diào)研中提出的問(wèn)題“100 邊形內(nèi)角和是多少度”作為大問(wèn)題情境設(shè)計(jì)進(jìn)階學(xué)習(xí)活動(dòng)。首先聚焦三角形內(nèi)角和，在研究出三角形內(nèi)角和是180度的同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)研究方法進(jìn)行對(duì)比、反思，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。接著利用積累的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)依次探索多邊形的內(nèi)角和，感悟規(guī)律。最后利用規(guī)律解決問(wèn)題，嘗試用符號(hào)化表達(dá)規(guī)律。

活動(dòng)一：學(xué)生通過(guò)量角求和、撕拼求和、分割求和等方法探究不規(guī)則四邊形的內(nèi)角和。

活動(dòng)二：五邊形、六邊形的內(nèi)角和是多少度呢？動(dòng)手探究五邊形、六邊形內(nèi)角和度數(shù)。

（1）用你喜歡的方法去驗(yàn)證一下你的猜想。

（2）收集資料并提出問(wèn)題:①你覺(jué)得這個(gè)五邊形或六邊形內(nèi)角和是多少度？②你用什么方法驗(yàn)證的？

活動(dòng)三：100邊形的內(nèi)角和是多少度呢？

100 邊形的內(nèi)角和是多少度，學(xué)生感到非常驚訝，于是繼續(xù)探索規(guī)律，其中必有規(guī)律可循。隨著活動(dòng)的一次次進(jìn)階，學(xué)生的思維異?；钴S，活動(dòng)就在學(xué)生的迫切需求中繼續(xù)進(jìn)階。學(xué)生在探究多邊形內(nèi)角和時(shí)，利用分割圖形法得出很多不同的情況（見(jiàn)下圖）。

當(dāng)教師問(wèn)學(xué)生“你喜歡用哪一種方法”時(shí)，學(xué)生的意見(jiàn)并不統(tǒng)一。此時(shí)教師應(yīng)不急于統(tǒng)一到全部分割成三角形，而是讓學(xué)生繼續(xù)用自己喜歡的方法先來(lái)研究多邊形的內(nèi)角和。于是學(xué)生有了下面的反饋：

此時(shí)，教師首先呈現(xiàn)學(xué)生的作品，組織探討：用這幾種方法繼續(xù)研究100 邊形內(nèi)角和怎么樣？學(xué)生在觀察比較中，發(fā)現(xiàn)這幾種方法都可行，但第一種方法需要記住分出的每個(gè)圖形的內(nèi)角和是多少度，繼續(xù)研究下去會(huì)越來(lái)越復(fù)雜；第二種方法要解決100 邊形的內(nèi)角和，就要先知道99 邊形的，要知道99邊形的就需要知道98邊形的，也很復(fù)雜；第三種方法中的圖形的邊數(shù)都比三角形的個(gè)數(shù)多2，可以用這樣的規(guī)律解決100 邊形內(nèi)角和的問(wèn)題。學(xué)生在研討的過(guò)程中有感而發(fā)：“n 邊形的內(nèi)角和就是n-2的差乘180度?！闭呛侠碚辖滩?，才使符號(hào)化表達(dá)自然而然地出現(xiàn)在課堂上，學(xué)生的思維從具體形象走向抽象一般。

教學(xué)中在抽象概念的建立、抽象模型的建構(gòu)、抽象思維的激活等方面，要注重采取各種形式，借助多元表征、借助游戲、借助操作、借助活動(dòng)等都可以為學(xué)生搭建學(xué)習(xí)腳手架，凸顯抽象過(guò)程，讓學(xué)生親身經(jīng)歷由具體到形象再到抽象的過(guò)程，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力。