關(guān)于運(yùn)用程序性知識(shí)解題的幾點(diǎn)注記

李 偉

(遼寧省鞍山市第三中學(xué) 114000)

教育心理學(xué)[2]將知識(shí)分為陳述性知識(shí)和程序性知識(shí).程序性知識(shí)也叫操作性知識(shí)，直觀理解這類知識(shí)主要用來回答“怎么做”的問題，特點(diǎn)是知識(shí)形成過程的程式化，即通過“順序模塊”和“順序模塊的組裝”來形成.基于這些直觀的理解和認(rèn)識(shí)，試想探索的問題是，在涉及程序性知識(shí)問題解決時(shí)，可否呈現(xiàn)一些規(guī)律性的方法和手段，下面以導(dǎo)數(shù)部分中“曲線的切線方程”知識(shí)點(diǎn)為例加以說明闡述.

導(dǎo)數(shù)部分的“曲線的切點(diǎn)方程”是典型的程序性知識(shí)，具體形式為：曲線y=f(x)上一點(diǎn)M(x0,f(x0))處的切線方程y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).對(duì)于這個(gè)知識(shí)點(diǎn)從知識(shí)形成過程可以分解為由以下幾個(gè)“順序模塊知識(shí)”構(gòu)成：順序模塊1.切點(diǎn)在y=f(x)的曲線上，即切點(diǎn)坐標(biāo)滿足曲線方程.順序模塊2.切線斜率k=f′(x0).順序模塊3.點(diǎn)斜式寫切線方程.也就是說，關(guān)于“曲線切線方程”知識(shí)點(diǎn)可以分解為“三大順序模塊”，在求切線方程時(shí)，將每個(gè)模塊任務(wù)完成后，按順序“組裝”起來即可.

上述對(duì)程序性知識(shí)理解的思考在解題中具有何種程度的指導(dǎo)意義，請(qǐng)看下面的示例.

示例1 (2019年全國理科數(shù)學(xué)3卷第6題) 已知曲線y=aex+xlnx在點(diǎn)(1,ae)處的切線方程為y=2x+b，則( ).

A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1

C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1

分析這是一道給出切線方程、切點(diǎn)、曲線方程，但含有參數(shù)的問題.對(duì)此，直接借助于上述給出的切線方程的“三大順序模塊”列出對(duì)應(yīng)方程，即可求解.

略解由切線斜率等于切點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值，得ae+1=2 ①；由切點(diǎn)在曲線上，得ae=ae+0(這是恒成立的等式，無用于本題的解決)；由切點(diǎn)在曲線上，得ae=2+b②.綜合①②可得D.

(1)證明：直線AB過定點(diǎn)；(2)略.

分析問題(1)是沒有給出切點(diǎn)、切線斜率的切線問題.對(duì)此，借助于求曲線切線方程“三大順序模塊”的思想，通過設(shè)切點(diǎn)，求導(dǎo)求斜率，從而得到切線方程，再運(yùn)用設(shè)“設(shè)而不求”[3]即可求解.

略解(1)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，由于直線斜率kAD=f′(x1)=x1，所以，切線AD方程為y-y1=x1(x-x1)①.同理，切線BD方程為y-y2=x2(x-x2)②.

(1)討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；

(2)設(shè)x0是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線y=lnx在點(diǎn)A(x0，lnx0)處的切線也是曲線y=ex的切線.

分析問題(1)略.

問題(2)是兩條曲線的公切線問題.對(duì)此，同樣借助于曲線切線方程分解為“三大順序模塊”的思想，通過設(shè)曲線y=lnx的切點(diǎn)A(x0，lnx0)，求導(dǎo)求斜率，從而得到切線方程，進(jìn)一步，再推出該切線方程也是曲線y=ex的切線方程即可.

又曲線y=ex切于點(diǎn)B(x1,ex1)的切線方程為：y-ex1=ex1(x-x1)③.

綜合上述示例足以說明，采取將曲線切線方程(程序性知識(shí))按其知識(shí)形成過程的邏輯順序分解為若干“模塊順序知識(shí)”結(jié)構(gòu)的思想去指導(dǎo)解題，全面地解決了各類曲線的切線問題，可見該想法的地位和作用的重要性.為讀者更好把握，作為歸納總結(jié),下面給出關(guān)于程序性知識(shí)解題做如下注記.

注記1 程序性知識(shí)的特點(diǎn)是知識(shí)形成過程具有“怎么做”的特點(diǎn)，即：要按知識(shí)形成過程即可做(求)出，具有很強(qiáng)的操作性.

注記2 對(duì)于程序性知識(shí)按只是形成過程的邏輯順序進(jìn)行分解，分解為若干“順序模塊”，這樣便于應(yīng)用解題時(shí)保證正確運(yùn)用.

注記3 在解題運(yùn)用時(shí)，敢于回歸知識(shí)本身的基本結(jié)構(gòu)(順序模塊)來思考，敢于運(yùn)用“設(shè)而不求”的手段去思考問題的解決.

事實(shí)上，高中數(shù)學(xué)知識(shí)中程序性知識(shí)占有很大比重，如：等差數(shù)列、單調(diào)函數(shù)等都是程序性知識(shí).高考中強(qiáng)調(diào)的重點(diǎn)考查“通性通法”，事實(shí)上也是針對(duì)程序性知識(shí)而言的.通過上述示例可以看出，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中如果能對(duì)其程序性知識(shí)，依據(jù)“三個(gè)注記”按其知識(shí)形成過程的邏輯順序分解為若干“模塊順序知識(shí)”，并加以實(shí)際運(yùn)用，一定對(duì)解題帶來極大的幫助.