高考考查函數(shù)圖象的三個視角

廖永福

(福建省廈門第二中學 361009)

函數(shù)是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，函數(shù)圖象是函數(shù)的直觀表示，是揭示函數(shù)性質(zhì)的有力工具，是數(shù)形結(jié)合的重要載體，也是高考的熱點之一.高考考查函數(shù)圖象的試題一般從三個視角命制：函數(shù)圖象的繪制、函數(shù)圖象的識辨和函數(shù)圖象的應用.考查形式多為選擇題或填空題，難度基礎或中等，常用特殊點法、排除法、數(shù)形結(jié)合法等解決.下面以近幾年高考全國卷為例闡述如下：

一、函數(shù)圖象的繪制

函數(shù)圖象的繪制是高考的基本要求.已知函數(shù)的解析式，作函數(shù)圖象一般有兩種方法：描點法和圖象變換法.當已知函數(shù)是基本函數(shù)時，可根據(jù)函數(shù)的特征找出圖象的關鍵點直接作出圖象；含有絕對值符號的函數(shù)，可去掉絕對值符號，化為分段函數(shù)后再作出圖象；若函數(shù)可由某個基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱得到，則可利用圖象變換作出，對不能直接找到基本函數(shù)的要先變形，注意變換的順序?qū)ψ儞Q單位和解析式的影響.

1.描點法

例1(2016年新課標Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|2x-3|．

(1)在圖中畫出y=f(x)的圖象；

(2)求不等式|f(x)|>1的解集．

分析(1)利用絕對值的性質(zhì)化簡函數(shù)解析式，再畫出函數(shù)的圖象；

(2)根據(jù)圖象寫出不等式的解集.

(2)由|f(x)|>1，可得f(x)<-1或f(x)>1

點評本題考查分段函數(shù)圖象的畫法和絕對值不等式的解法，考查運算能力，屬于基礎題．

2.圖象變換法

點評本題考查三角函數(shù)圖象的變換，考查誘導公式的應用，考查運算能力．

二、函數(shù)圖象的識辨

函數(shù)圖象的識辨是高考的熱點.一般有兩種類型：知式選圖和知圖求式.前者是給出函數(shù)的解析式，確定所給函數(shù)的圖象；后者是給出函數(shù)的圖象,確定圖象對應的函數(shù)解析式.解題的關鍵是從圖象中讀出有用的信息,并與函數(shù)解析式相互印證，進而解決問題.

尋找函數(shù)圖象與解析式之間的關系，常從以下幾個方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復等.反之亦然.

利用上述方法排除錯誤選項，篩選正確選項.當選項無法排除時，可代特殊值，或從某些量上找突破口.

1.知式選圖

例3 (2016新課標)函數(shù)f(x)=2x2-e|x|在[-2,2]的圖象大致為( ).

分析通過研究函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、極值和特殊值，確定函數(shù)的圖象.

解答函數(shù)f(x)=2x2-e|x|在[-2,2]上是偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱.

因為f(2)=8-e2∈(0,1)，故可排除A,B.

設g(x)=2x2-ex，則g′(x)=4x-ex.

∵g′(0)<0,g′(2)>0,∴g(x)在(0,2)內(nèi)至少有一個極值點，

∴f(x)=2x2-e|x|在(0,2)內(nèi)至少有一個極值點，排除C.故選D.

點評本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值是解決本題的關鍵．

例4 (2015年新課標Ⅱ)如圖,長方形的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點,點P沿著邊BC，CD與DA運動,記∠BOP=x,將動點P到A，B兩點距離之和表示為x的函數(shù)f(x),則函數(shù)的圖象大致為( ).

分析解決此類問題可以根據(jù)已知條件求出函數(shù)解析式后再判斷函數(shù)的圖象，也可以采用“以靜觀動”，即將動點置于某些特殊的位置考察圖象的變化特征，從而作出選擇.

2.知圖求式

例5(2015年新課標Ⅰ)函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)的部分圖象如圖所示，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為( ).

分析由圖可求函數(shù)f(x)的解析式，進而求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.

巧思由圖可求函數(shù)f(x)的周期和初相，再求單調(diào)遞減區(qū)間，進而得出結(jié)論.

點評本題主要考查函數(shù)y=Acos(ωx+φ)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關鍵.

三、函數(shù)圖象的應用

函數(shù)圖象的應用也是高考的熱點.函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結(jié)果的重要工具.以函數(shù)圖象為工具來解決數(shù)學問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.應用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，解方程或不等式，解決零點問題、恒成立問題、存在性問題都是常見的題型.

1.研究函數(shù)的性質(zhì)

A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③

分析易知f(x)是偶函數(shù).根據(jù)絕對值的性質(zhì)化簡解析式，作出函數(shù)的圖象即可作出判斷．

解答∵f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sinx|=f(x)，∴函數(shù)f(x)是偶函數(shù).

由圖可得①、④正確，故選C．

點評本題主要考查與三角函數(shù)有關的命題真假的判斷，正確畫出函數(shù)的圖象是解決本題的關鍵．

2.解方程或不等式

A．(-∞，-1] B．(0,+∞)

C．(-1,0) D．(-∞,0)

分析畫出函數(shù)y=f(x)的圖象，利用函數(shù)的單調(diào)性列出不等式求解即可．

點評本題考查分段函數(shù)的應用，考查函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的解法，考查計算能力．

3.零點問題

A．[-1，0) B．[0，+∞)

C．[-1，+∞) D．[1，+∞)

分析由g(x)=0得f(x)=-x-a，分別作出函數(shù)y=f(x)和y=-x-a的圖象，根據(jù)圖象交點的個數(shù)即可求出a的取值范圍．

解答由g(x)=0得f(x)=-x-a，作出函數(shù)y=f(x)和y=-x-a的圖象如圖.

當直線y=-x-a的截距-a≤1，即a≥-1時，兩個函數(shù)的圖象有2個交點，函數(shù)g(x)存在2個零點.

所以實數(shù)a的取值范圍是[-1，+∞)，故選C．

點評本題主要考查分段函數(shù)的應用，把函數(shù)g(x)的零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)和y=-x-a圖象的交點問題是解決本題的關鍵．

4.恒成立問題

分析這是一個恒成立的問題，借助函數(shù)y=4x和y=logax的圖象和性質(zhì)可解.

解答當a>1時，logax<0，顯然4x

點評本題主要考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，不等式恒成立問題的一般解法，屬基礎題.

5.存在性問題

例10(2015年新課標Ⅰ)設函數(shù)f(x)=ex(2x-1)-ax+a，其中a<1，若存在唯一的整數(shù)x0使得f(x0)<0，則a的取值范圍是( ).

分析設g(x)=ex(2x-1)，h(x)=ax-a，問題轉(zhuǎn)化為存在唯一整數(shù)x0使得g(x0)

解答設g(x)=ex(2x-1)，h(x)=ax-a.

點評本題考查函數(shù)的導數(shù)和極值，涉及數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想，屬中檔題．

總之，繪制函數(shù)圖象要規(guī)范、準確；識辨函數(shù)圖象要善于讀圖；應用函數(shù)圖象解題要靈活構(gòu)造函數(shù)，并作出圖象. 熟練掌握基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解決這類問題的前提.