一題多解一題多變在切線方程中的運用探究

伍錫浪

(江西省九江第一中學 332000)

《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》指出：“學生的數(shù)學學習活動不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數(shù)學課程還應(yīng)倡導自主探究、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數(shù)學的方式.” 這就要求我們在教學中重在為學生創(chuàng)設(shè)良好的思維情境，讓學生在自主探究和合作交流的過程中體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，學會研究問題、解決問題，做到舉一反三、觸類旁通.從而大力提高學生的探索能力和創(chuàng)造能力.

一、真題鋪路 引出課題

(1)求橢圓C的方程；

(2)點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF1、PF2，設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點M(m,0)，求m的取值范圍；

解(1)、(2)略，詳解請見參考文獻[1].現(xiàn)摘抄(3)的解析如下：

二、類比聯(lián)想 初步探究

不難發(fā)現(xiàn)，在上面求切線l的斜率k的過程中，作者采用的是傳統(tǒng)的代數(shù)方法，其主要依據(jù)是代數(shù)的方程理論即，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去一個未知數(shù)，可得到一個一元二次方程，再根據(jù)題意Δ=0求出斜率k.其運算過程相當繁雜，而且很容易出現(xiàn)錯誤.事實上解答第(Ⅲ)的關(guān)鍵在于求出切線l的方程(或者切線l的斜率k)，那么是否有一個更簡便的方法呢？我們不妨先根據(jù)圓與橢圓的關(guān)系，采用類比的方法來證明下面的一個定理.

引理圓x2+y2=r2(r>0)在其上一點P(x0,y0)處的切線方程為x0x+y0y=r2.

引理的證明略，詳解請見《高中優(yōu)秀教案 數(shù)學必修2》(叢書主編：任志鴻).

三、發(fā)散思考 深入探究

圓錐曲線的共性讓我們很容易去猜測，雙曲線是否同橢圓一樣，它的切線方程也具有這么優(yōu)美的形式呢？這就不得不要求我們進一步地思考，如何去求出過雙曲線上的點的切線方程呢？翻開高中教材，我們找到了理論依據(jù):微積分理論.

當點P(x0,y0)在坐標軸上時，可以驗證上面的方程同樣適用.

定理3拋物線y2=2px(p>0)在其上一點M(x0,y0)處的切線方程為y0y=p(x+x0).(定理3的證明與定理2的證明方法相同，故略).

四、歸納小結(jié) 提煉升華

許多傳統(tǒng)方法很難解決甚至無法解決的曲線的切線問題，有了導數(shù)，就能迎刃而解.導數(shù)為解決中學數(shù)學問題拓展了新的途徑，不僅可使解法簡便，而且能使問題的研究更為深入.通過上面的探究，我們進一步認識到，在數(shù)學教學中應(yīng)多采用“問題鏈”來引導學生觀察、比較、類比、聯(lián)想、分析、概括，激發(fā)學生的思維意識，培養(yǎng)一題多解一題多變的良好習慣，提高學生綜合思考、自主探究和合作交流的能力.