考慮波箔變形的波箔型氣體箔片軸承潤滑性能的數(shù)值研究

許浩杰， 高 磊， 陸俊杰， 安 琦

（1. 華東理工大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200237；2. 長城汽車股份有限公司技術(shù)中心，河北 保定 071000）

氣體箔片軸承是一種較為新型的軸承，特別適用于高速透平機(jī)這類機(jī)械[1]，它的結(jié)構(gòu)有多種不同的型式，其中波箔型氣體箔片軸承應(yīng)用最為廣泛[2]。波箔型氣體箔片軸承主要由殼體、波箔片（底箔）、平箔片（頂箔）3部分組成[3]，工作過程中，氣膜壓力的產(chǎn)生將使波箔產(chǎn)生彈性變形，目前在箔片軸承的性能計(jì)算中鮮有人對(duì)這種彈性變形進(jìn)行深入的研究。

Walowit和Anno[4]于1975年首次從理論上分析了波箔型氣體箔片軸承的結(jié)構(gòu)，建立了箔片彈性模型，將箔片的彈性系數(shù)代入一維雷諾方程，研究了軸承的靜態(tài)性能。Heshmat等[5]將波箔片簡化為線性彈簧并引入波箔片變形系數(shù)α，構(gòu)建了箔片結(jié)構(gòu)等效模型，利用數(shù)值方法研究了波箔型氣體箔片軸承的靜態(tài)特性。Peng等[6]借鑒Heshmat提出的波箔彈簧模型，建立了用來預(yù)測波箔型氣體徑向軸承流體動(dòng)力學(xué)特性的模型，耦合求解了可壓縮氣體雷諾方程和氣膜厚度方程，所得的軸承在一系列轉(zhuǎn)速下的承載能力預(yù)測值與已有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好。Lee等[7]建立了考慮波箔片三維形狀的有限元結(jié)構(gòu)模型，比較了相互連接的波箔的變形與離散波箔的變形，發(fā)現(xiàn)頂箔和底箔厚度過小可導(dǎo)致軸承承載能力顯著降低。龔煥孫等[8]在假設(shè)波箔局部剛度相同的前提下，利用圓柱薄殼線性理論推導(dǎo)出了單波的剛度公式，給出了波箔整體剛度計(jì)算公式。許懷錦等[9]對(duì)比了不考慮箔片變形、考慮其彈性變形時(shí)的波箔型氣體動(dòng)壓軸承的不同特性，分析了不同轉(zhuǎn)速和偏心率對(duì)氣膜厚度分布的影響規(guī)律。文獻(xiàn)[10]將箔片軸承結(jié)構(gòu)看成波箔各拱起之間互相作用的多自由度系統(tǒng)，每個(gè)拱起均包含3個(gè)與基本彈簧相連的自由度，由此提出了一種新模型。許懷錦[11]比較了4種基于箔片結(jié)構(gòu)剛度和阻尼的分析模型及相對(duì)應(yīng)的氣膜厚度方程，給出了每種模型的適用情況及優(yōu)缺點(diǎn)。

綜上所述，目前的研究中一般將波箔簡化為線性彈簧以構(gòu)建箔片彈性模型，且多數(shù)忽略了波箔的周向變形，這是一種近似研究方法，精度受到限制。實(shí)際中，波箔的變形十分復(fù)雜，既有徑向彈性變形，也有沿周向的彈性變形，采用簡化的方法對(duì)其力學(xué)性能進(jìn)行描述難以達(dá)到較高的精度。為此，本文運(yùn)用彈性力學(xué)理論對(duì)波箔的力學(xué)性能進(jìn)行研究，構(gòu)建其力學(xué)模型，結(jié)合可壓縮流體雷諾方程，構(gòu)建一種流固耦合算法，同時(shí)采用數(shù)值方法研究了波箔變形對(duì)該軸承潤滑性能的影響。

1 理論建模

1.1 波箔力學(xué)模型的構(gòu)建

波箔型氣體箔片軸承結(jié)構(gòu)如圖1所示，主要由殼體、波箔（底箔）、平箔（頂箔）3部分組成，兩箔片的一端共同固定于殼體上，另一端自由搭接。在轉(zhuǎn)速較低的啟停階段，軸頸與頂箔直接接觸，頂箔上的減摩材料能減少兩者之間的摩擦；在轉(zhuǎn)速較高的正常運(yùn)轉(zhuǎn)階段，頂箔和軸頸之間形成楔形潤滑氣膜，為軸頸提供支撐力。箔片結(jié)構(gòu)受力分析如圖2所示。氣膜壓力通過平箔傳遞給波箔，波箔在此壓力作用下發(fā)生彈性變形，虛線部分為變形前的狀態(tài)，實(shí)線部分為變形后的狀態(tài)，波箔原半長從l伸長為 l +Δx ，平箔隨波箔頂點(diǎn)位移而發(fā)生的豎直變形量為 Δ y 。由于波箔沿軸承圓周方向的結(jié)構(gòu)相同，且一端固定，一端自由，因此對(duì)單個(gè)波箔進(jìn)行的受力分析可推廣到整個(gè)波箔。

圖 1 波箔型氣體箔片軸承結(jié)構(gòu)Fig. 1 Structure of bump-type gas foil bearings

圖 2 箔片結(jié)構(gòu)受力分析Fig. 2 Force analysis of bump foil structure

在進(jìn)行力學(xué)分析時(shí)作如下假設(shè)：(1) 波箔的頂部和平箔之間始終保持接觸，單波所受載荷為作用于波峰的集中力；(2) 波箔沿軸向（寬度方向）受力均勻，各處徑向變形均勻；(3) 由于波箔和平箔、波箔和殼體之間的摩擦很小，故可忽略；(4) 波箔在受到平箔的壓力變形后，只是半徑增大，仍然保持為圓弧形。

單波頂點(diǎn)位移計(jì)算分析如圖3所示。單波橫截面尺寸為 tB×L （tB為波箔厚度，L為軸承寬度），其頂部受到豎直向下的載荷F，由于 tB遠(yuǎn)小于軸線半徑R0，因此可利用卡氏定理計(jì)算其變形。首先計(jì)算單波頂點(diǎn)的豎直位移 Δ y ，若規(guī)定使單波曲率增大的彎矩為正，則單波任意截面m-m上的彎矩（M）為

彎矩關(guān)于F的偏導(dǎo)數(shù)為

對(duì)單波左半段進(jìn)行積分，并將式(1)、(2)代入可得單波頂點(diǎn)的豎直位移為

采用附加力法計(jì)算單波頂點(diǎn)的水平位移 Δ x ，在頂點(diǎn)上增加一水平向右的附加力 Fa，于是任意截面m-m上的彎矩為

M關(guān)于 Fa的偏導(dǎo)數(shù)為

式（1）～式（4）中，l為波箔的波拱半長；α為截面m-m所對(duì)應(yīng)的角度；θ為波箔的尺寸參數(shù)，表示單波圓弧的角度；E為波箔的彈性模量；I為單波橫截面慣性矩。單波頂點(diǎn)的水平位移（ Δ x ）為

圖 3 單波頂點(diǎn)位移計(jì)算分析Fig. 3 Calculation and analysis of single wave's peak displacement

單波橫截面慣性矩可表示為

將式(7)代入式(3)、(6)，可得

1.2 雷諾方程的量綱為一化

將可壓縮流體的運(yùn)動(dòng)方程、連續(xù)性方程和能量守恒方程聯(lián)立，得到氣體動(dòng)壓潤滑雷諾方程：

式中，x為軸承的周向坐標(biāo)，z為軸承的軸向坐標(biāo)， μ

為氣體的動(dòng)力黏度，h為氣膜厚度，p為氣膜壓力， ρ為氣體密度，t為運(yùn)行時(shí)間，U為軸頸的周向速度。

理想氣體狀態(tài)方程為：

式中， ? 為氣體常數(shù)，其值取決于氣體種類，T為熱力學(xué)溫度。

假設(shè)在軸承工作過程中氣體溫度不變，且忽略壓強(qiáng)對(duì)氣體黏度的影響，將式(11)代入式（10）中，并將氣體視為定常，消去時(shí)間項(xiàng)，得到用來描述平箔與軸頸之間氣體流動(dòng)規(guī)律的可壓縮氣體等溫定常雷諾方程：

將式(12)轉(zhuǎn)換為柱坐標(biāo)系下的形式，并進(jìn)行量綱為一化，得

1.3 考慮波箔變形的氣膜厚度的計(jì)算方法

在工作過程中，波箔在氣膜壓力下的徑向變形會(huì)影響氣膜厚度分布，從而影響氣膜壓力分布，氣膜壓力分布又會(huì)反過來影響波箔的徑向變形量，這是一個(gè)流固耦合過程。由于平箔的變形相對(duì)于波箔變形來說很小，為便于分析，假設(shè)兩單波之間的平箔自身不發(fā)生變形，而是隨波箔的變形整體發(fā)生位移?？紤]波箔彈性變形的氣膜厚度方程可表示為：

式中，e為軸承偏心距。將式(8)代入，可得：

量綱為一后，得

式中， ε 為軸承偏心率。

1.4 流固耦合模型的數(shù)值求解

利用有限差分法求解式(13)所示的量綱為一雷諾方程，可得氣膜壓力P[12]。網(wǎng)格劃分及差商示意圖如圖4所示，軸承氣膜承載區(qū)以波箔固定端和自由端為周向邊界（假設(shè)該區(qū)域?yàn)?φ ∈[0,1.8π] ），以軸承兩端部為軸向邊界。將軸承氣膜區(qū)域離散為 m ×n 的網(wǎng)格，用 i 表示 φ 方向的列數(shù)，用 j 表示 λ 方向的行數(shù)，用 ( i,j) 表示每個(gè)節(jié)點(diǎn)的編號(hào)，壓力值用 Pi,j表示。沿φ 方向共 m 格， i 的編號(hào)為1～(m+1)，每格初始步長為：

λ 方向共 n 格， j 的編號(hào)為1～(n+1)，每格步長相等：

采用中差商表示導(dǎo)數(shù)：

圖 4 網(wǎng)格劃分及差商示意圖Fig. 4 Schematic diagram of mesh generation and difference quotient

將式(19)～(21)代入式(13)，化簡得:

求解過程中引入邊界條件，可壓縮氣體潤滑中不存在氣膜破裂現(xiàn)象，軸承端部及箔片固定端和自由端均與大氣環(huán)境連通，其壓力可取為環(huán)境壓力，其邊界條件量綱為一的形式為：

引入如下相對(duì)收斂準(zhǔn)則：

10-5

其中Eerror取 ，表示迭代收斂允許的誤差；k為迭代次數(shù)。

1.5 軸承潤滑性能的計(jì)算

量綱為一的氣膜承載力W為

軸承偏位角 β 為

式中， Wx為垂直于偏位線的分力， Wy為平行于偏位線的分力，可表示為：

作用于軸頸表面的摩擦力矩為：

氣體端泄流量為：

流固耦合的數(shù)值計(jì)算過程如圖5所示。首先對(duì)氣膜壓力P和波箔徑向彈性變形量V賦初值，對(duì)氣膜壓力承載區(qū)進(jìn)行網(wǎng)格劃分，采用有限差分法迭代求解雷諾方程，得到一組新的壓力分布，計(jì)算該壓力分布下的波箔徑向和周向彈性變形量，波箔沿圓周方向伸長 R Δφ ，計(jì)算區(qū)域從原來的 φ ∈[0,1.8π] 變?yōu)棣铡蔥0,1.8π+Δφ] ，據(jù)此更新氣膜厚度并重新進(jìn)行網(wǎng)格劃分，求解又可得到一組氣膜壓力分布，如此不斷迭代直至收斂，第k次迭代得到各點(diǎn)氣膜壓力絕對(duì)值之和T和各點(diǎn)氣膜壓力相對(duì)于上一次迭代結(jié)果的變化量之和S。

2 算例研究

以某一具體波箔型氣體箔片軸承為算例進(jìn)行研究，軸承結(jié)構(gòu)及潤滑氣體參數(shù)如表1所示。圖6所示為偏心率 ε =0.6 、轉(zhuǎn)速105r/min的工況下，不考慮波箔變形（剛性軸承）及考慮波箔變形（彈性箔片軸承）時(shí)量綱為一的氣膜壓力分布對(duì)比圖；圖7為軸承軸向平分面處量綱為一的氣膜壓力與氣膜厚度對(duì)比圖；圖8為不同偏心率下軸承摩擦力矩與氣體端泄流量對(duì)比圖。

圖 5 計(jì)算流程圖Fig. 5 Calculation flow chart

表 1 軸承結(jié)構(gòu)及潤滑氣體參數(shù)Table 1 Parameters of bearing structure and lubricating gas

圖 6 量綱為一的氣膜壓力分布對(duì)比圖Fig. 6 Comparison of dimensionless gas film pressure distribution

對(duì)比圖6(a)和圖6(b)并結(jié)合圖7(a)可知，不考慮箔片彈性變形與考慮箔片彈性變形時(shí)的量綱為一的氣膜壓力分布形狀相似，但前者氣膜壓力最大值大于后者，說明彈性箔片氣體軸承的承載力小于剛性氣體軸承。由圖7(b)可知，無論考慮或不考慮箔片彈性變形，兩者軸向平分面處的無量綱氣膜厚度變化趨勢相似，但后者最小氣膜厚度值小于前者。由圖8可知，偏心率一定時(shí)，彈性箔片軸承的摩擦力矩小于剛性氣體軸承，且彈性箔片軸承的氣體端泄流量大于剛性氣體軸承，說明彈性箔片軸承運(yùn)行時(shí)的摩擦力矩較少，摩擦發(fā)熱少，且散熱較快。

圖 7 軸向平分面處量綱為一的氣膜壓力與氣膜厚度對(duì)比圖Fig. 7 Comparison of dimensionless gas film pressure and thickness at the axial bisector

圖 8 不同偏心率下摩擦力矩與氣體端泄流量對(duì)比圖Fig. 8 Comparison of friction torque and side leakage flow of gas with different eccentricities

圖 9 不同偏心率下波箔厚度和波距對(duì)氣膜承載力的影響Fig. 9 Influences of thickness and wave distance of bump foil on gas foil capacity with different eccentricities

圖 10 不同偏心率下波箔厚度和波距對(duì)偏位角的影響Fig. 10 Influences of thickness and wave distance of bump foil on attitude angle with different eccentricities

圖9～圖13所示為其他參數(shù)均不改變時(shí)，不同偏心率 ε 下波箔厚度和波箔波距對(duì)軸承各潤滑性能參數(shù)的影響關(guān)系圖。由圖可知：當(dāng)偏心率一定時(shí)，量綱為一的氣膜承載力隨著波箔厚度的增大而增大，隨著波箔波距的增大而減小，且偏心率越大，這種影響越明顯；偏位角隨著波箔厚度增大而緩慢減小，隨著波箔波距增大而緩慢增大，且當(dāng)偏心率較大時(shí)，影響較明顯；量綱為一的最小氣膜厚度隨著波箔厚度增大而減小，隨著波箔波距增大而增大；摩擦力矩隨著波箔厚度的增大而增大，隨著波箔波距的增大而減小，且當(dāng)偏心率較大時(shí)，影響較明顯；氣體端泄流量隨著波箔厚度增大而緩慢減小，隨著波箔波距增大而緩慢增大。

圖 11 不同偏心率下波箔厚度和波距對(duì)量綱為一的最小氣膜厚度的影響Fig. 11 Influences of thickness and wave distance of bump foil on the dimensionless minimum gas film thickness with different eccentricities

圖 12 不同偏心率下波箔厚度和波距對(duì)摩擦力矩的影響Fig. 12 Influences of thickness and wave distance of bump foil on friction torque with different eccentricities

圖 13 不同偏心率下波箔厚度和波距對(duì)氣體端泄流量的影響Fig. 13 Influence of thickness and wave distance of bump foil on side leakage flow of gas with different eccentricities

3 結(jié) 論

(1) 以波箔型氣體箔片軸承為研究對(duì)象，運(yùn)用彈性力學(xué)理論對(duì)波箔的力學(xué)性能進(jìn)行了研究，構(gòu)建了其受力變形模型，結(jié)合可壓縮流體雷諾方程，構(gòu)建了一種流固耦合算法，借助Matlab編程實(shí)現(xiàn)了在考慮波箔變形的情況下對(duì)軸承潤滑性能的精確計(jì)算。

(2) 結(jié)合具體算例，對(duì)比研究了剛性氣體軸承和彈性箔片氣體軸承的氣膜壓力分布及氣膜厚度分布，發(fā)現(xiàn)兩者量綱為一的氣膜壓力分布形狀相似，但前者氣膜壓力最大值大于后者，說明彈性箔片氣體軸承的承載力小于剛性氣體軸承；兩者軸向平分面處的量綱為一的氣膜厚度變化趨勢相似，但前者最小氣膜厚度值小于后者；當(dāng)偏心率一定時(shí)，彈性箔片軸承的摩擦力矩小于剛性氣體軸承，且氣體端泄流量大于剛性氣體軸承，說明彈性箔片軸承運(yùn)行時(shí)的摩擦力矩較小，效率較高，且散熱較快，有利于保持工作溫度的穩(wěn)定。

(3) 結(jié)合算例進(jìn)一步研究了波箔厚度 tB、波箔波距s對(duì)波箔型氣體箔片軸承各潤滑性能參數(shù)的影響規(guī)律。結(jié)果表明：偏心率一定時(shí)，增大 tB、減小s會(huì)減小軸承量綱為一的最小氣膜厚度，減小軸承偏位角，有利于提高軸承承載力，提高承載穩(wěn)定性；減小 tB、增大s可減小軸承摩擦力矩，有利于降低摩擦功耗，減少摩擦熱，且可增大軸承氣體端泄流量，有利于散熱。