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    控制電容參數(shù)對(duì)DCVM Cuk PFC穩(wěn)定性的影響

    2020-05-07 04:39:14余鐵鈔呂尋齋劉雪山劉天成
    電源學(xué)報(bào) 2020年2期
    關(guān)鍵詞:乘子功率因數(shù)尺度

    余鐵鈔,周 群,呂尋齋,劉雪山,劉天成

    (四川大學(xué)電氣工程學(xué)院,成都610000)

    隨著電力電子技術(shù)的飛速發(fā)展,醫(yī)療、教育、軍事和交通等各個(gè)領(lǐng)域?qū)﹄娏﹄娮与娐返膽?yīng)用越來(lái)越廣泛,同時(shí),電力電子器件的廣泛使用也對(duì)電網(wǎng)造成了諧波污染。有源功率因數(shù)校正APFC(active power factor correction)變換器是抑制諧波電流、提高功率因數(shù)的有效手段[1-2]。近年來(lái),APFC變換器的動(dòng)力學(xué)行為引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。已有研究表明,固定開(kāi)關(guān)頻率的APFC變換器同時(shí)存在快開(kāi)關(guān)周期和慢交流輸入電壓周期2種時(shí)間尺度,使其出現(xiàn)3種不同時(shí)間尺度的分岔動(dòng)力學(xué)行為,即:快尺度分岔、中尺度分岔和慢尺度分岔[3]。Tse等[4]對(duì)平均電流控制的Boost PFC變換器進(jìn)行了仿真分析,研究了快尺度不穩(wěn)定現(xiàn)象,通過(guò)對(duì)Jacobi矩陣特征值的計(jì)算,預(yù)測(cè)了快尺度不穩(wěn)定邊界區(qū)域;Giaouris等[5-7]采用離散映射模型和頻閃映射法研究了峰值電流控制Boost PFC變換器的快尺度不穩(wěn)定現(xiàn)象,當(dāng)Boost PFC變換器發(fā)生快尺度分岔時(shí),電感電流紋波和輸入電流諧波畸變?cè)龃?,但仍具有高功率因?shù)[7];王發(fā)強(qiáng)等[8-11]采用諧波平衡法和Floquet理論研究了Boost PFC變換器的慢尺度不穩(wěn)定現(xiàn)象,分析了電路參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

    目前,對(duì)高階APFC變換器如Cuk、Sepic和Zeta變換器的研究較少[12-14]。Kavitha等[15]研究了峰值電流控制下連續(xù)電容電壓模式CCVM(continuous capacitor voltage mode)Cuk PFC變換器的快尺度分岔行為;張?jiān)吹萚16]研究了單周期控制Cuk PFC變換器的中尺度不穩(wěn)定現(xiàn)象,揭示了電路參數(shù)改變引起的Neimark-Sacker分岔,分岔使輸入電流總諧波畸變?cè)龃?、功率因?shù)降低;劉陳瓊等[17]研究PI控制下不連續(xù)電容電壓模式DCVM (discontinuous capacitor voltage mode)Cuk PFC變換器主功率電容C1的慢尺度分岔現(xiàn)象,增大主功率電容C1會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)由穩(wěn)定進(jìn)入混沌,同時(shí)電路也會(huì)由單一的DCVM模式進(jìn)入到多種模態(tài)共存的狀態(tài)。當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生慢尺度分岔時(shí),輸入電流出現(xiàn)多種諧波成分,引起輸入電流畸變,功率因數(shù)降低;當(dāng)變換器進(jìn)入混沌狀態(tài)時(shí),功率因數(shù)校正能力完全喪失[18]。因此,深入研究APFC變換器的慢尺度分岔現(xiàn)象具有重要意義。

    針對(duì)DCVM Cuk PFC變換器具有開(kāi)關(guān)電流應(yīng)力小、輸入電流紋波小和控制電路簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn),本文研究了PI控制電容的改變導(dǎo)致DCVM Cuk PFC變換器的慢尺度分岔現(xiàn)象。首先,描述了DCVM Cuk PFC變換器電路,給出了電路的數(shù)學(xué)模型,軟件仿真了反饋電容的減小引起的慢尺度分岔現(xiàn)象,根據(jù)Floquet理論得出分岔的臨界電容值;比較了控制電容與主功率電容C1引起混沌時(shí)電路模態(tài)的不同。最后,電路實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論分析的正確性。

    1 DCVM Cuk PFC變換器電路描述

    1.1 電路描述

    圖1是PI控制DCVM Cuk PFC變換器電路和PI搭建模塊。圖1(a)中,vin為輸入工頻電壓,其幅值為Vm,周期為T(mén)L;vg為整流橋輸出電壓;i1和i2為電感L1和L2的電流;v1和v2為電容 C1和C2兩端電壓。假設(shè):電感L1和L2足夠大,電路工作于連續(xù)電感電流模式;電容C1足夠小,電路工作于不連續(xù)電容電壓模式;電容C2足夠大,在半個(gè)工頻周期內(nèi)輸出電壓保持不變。圖1(b)是PI搭建模塊,其中:比例系數(shù) kP=RV/RF,積分系數(shù) kI=1/(RFCV)。

    PI控制器的輸出電壓ve與鋸齒波信號(hào)vramp比較,產(chǎn)生PWM控制信號(hào),實(shí)現(xiàn)對(duì)DCVM Cuk PFC變換器的控制。當(dāng)ve>vramp時(shí),比較器輸出高電平,開(kāi)關(guān)管S導(dǎo)通;當(dāng)ve<vramp時(shí),比較器輸出低電平,開(kāi)關(guān)管S關(guān)斷。因此,開(kāi)關(guān)管占空比d為

    式中:VH為鋸齒波幅值;VL為鋸齒波最小值。

    由文獻(xiàn)[15]可知,電容C1的放電時(shí)間與開(kāi)關(guān)周期Ts的比值d1為

    根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出功率平衡[16]可得

    C1兩端電壓v1與輸入電壓的關(guān)系[19]為

    當(dāng)d和開(kāi)關(guān)頻率fs固定時(shí),DCVM Cuk PFC變換器的等效輸入電阻Re為一常數(shù)[20],即

    由式(9)和式(11)可得電感 L1電流 i1和電感L2電流i2分別為

    根據(jù)式(3)的功率平衡方程,忽略Ts內(nèi)電流i1的變化[9],將式(1)、式(2)、式(4)~式(6)代入式(3),令,則狀態(tài)變量 v2的非線(xiàn)性微積分方程為

    由式(7)可知,該式只與狀態(tài)變量v2有關(guān),含有v2的一階微分、二階微分和積分項(xiàng)。采用諧波平衡法[17]將電壓v2進(jìn)行Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi),忽略高階項(xiàng),可以求得電壓v2的近似周期平衡解,通過(guò)式(2)和式(4)~式(6)即可求出各變量的近似周期平衡解。

    1.2 電路數(shù)學(xué)模型

    DCVM Cuk PFC變換器功率主電路存在3種狀態(tài):開(kāi)關(guān)管S導(dǎo)通,二極管Do關(guān)斷;開(kāi)關(guān)管S導(dǎo)通,二極管Do導(dǎo)通;開(kāi)關(guān)管 S關(guān)斷,二極管Do導(dǎo)通。則DCVM Cuk PFC變換器功率主電路的狀態(tài)空間方程為

    式中:x 為狀態(tài)矢量,x=[v2,i2,v1,i1]T;vg=Vm|sin(2πfLt)|,fL為工頻頻率;Ai和Bi分別為狀態(tài)矩陣和輸入矩陣(i為對(duì)應(yīng)3種狀態(tài)),分別表示為

    根據(jù)文獻(xiàn)[8-11],可以用DCVM Cuk PFC變換器的狀態(tài)空間方程描述其慢尺度動(dòng)力學(xué)行為。

    利用Floquet理論分析該系統(tǒng)的穩(wěn)定性,即在周期平衡解上施加微小擾動(dòng)來(lái)判定周期解的穩(wěn)定[23]。當(dāng)系統(tǒng)受到微小擾動(dòng)δ(t)作用時(shí),設(shè)系統(tǒng)的解為

    式中:Y0(t)為周期平衡解,Y0(t)=[V2(t) I2(t) V1(t)I1(t) Ve];δ(t)為微小擾動(dòng),δ(t)=[Δv2(t) Δi2(t) Δv1(t)Δi1(t) Δve(t)]。

    將式(9)代入式(8)中,進(jìn)行 Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi),并忽略高階項(xiàng),可得該系統(tǒng)的微分方程為

    式中,JF[t,Y0(t)]為式(8)在 Y0(t)處的 Jacobi矩陣,其周期 T=2π/ω。

    對(duì)于式(10),存在一個(gè)基礎(chǔ)解矩陣,即

    而該基礎(chǔ)解矩陣存在狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣H,H的特征值稱(chēng)為Floquet特征乘子。

    根據(jù)Floquet理論,若所有Floquet乘子均在單位圓內(nèi),則系統(tǒng)的周期解是漸近穩(wěn)定的;若至少有1個(gè)Floquet乘子穿越單位圓,則系統(tǒng)不穩(wěn)定。Floquet乘子與系統(tǒng)分岔行為之間存在3種關(guān)系,具體如下。

    (1)1個(gè)實(shí)Floquet乘子沿著負(fù)實(shí)軸穿越單位圓,而其他乘子均在單位圓內(nèi),則系統(tǒng)將發(fā)生倍周期分岔;

    (2)1個(gè)實(shí)Floquet乘子沿著正實(shí)軸穿越單位圓,而其他乘子均在單位圓內(nèi),則系統(tǒng)將發(fā)生叉形分岔;

    (3)1對(duì)共軛復(fù)數(shù)Floquet乘子穿越單位圓,而其他乘子均在單位圓內(nèi),則系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔。

    2 DCVM Cuk PFC變換器慢尺度分岔分析與驗(yàn)證

    2.1 近似周期平衡解

    選擇電路參數(shù)為:vin,rms=75 V,TL=20 ms,Ts=20 μs,C1=47 nF,L1=9.8 mH,L2=250 μH,C2=3 300 μF,RL=20 Ω,Vref=-35 V,VH=10 V,VL=0 V,RF=10 kΩ,RV=10 kΩ。

    取電容Cv=100 nF,采用諧波平衡法得到電壓v2和ve,則v2和ve的近似周期平衡解分別為

    2.2 控制積分電容Cv對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性影響

    當(dāng)Cv=100 nF時(shí),電壓v2和電流i1的時(shí)域圖如圖2所示。由圖2可知,當(dāng)Cv=100 nF時(shí),電壓v2波形與求得的近似周期平衡解一致,電路工作于周期1狀態(tài),系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài),功率因數(shù)為0.998 2。

    當(dāng)Cv=30 nF時(shí),電壓v2和電流i1的時(shí)域圖如圖3所示。由圖3可知,電路工作于周期2狀態(tài),電流i1和電壓v2波形的周期都是周期1狀態(tài)時(shí)的2倍,即電路發(fā)生了倍周期分岔,功率因數(shù)0.720 6。

    當(dāng)Cv=10 nF時(shí),電壓v2和電流i1的時(shí)域圖如圖4所示。由圖4可知,電路工作于混沌狀態(tài),電流i1和電壓v2波形的周期都很長(zhǎng),即系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài),功率因數(shù)0.604 2,電路基本失去功率因數(shù)校正能力。

    為了確定具體的分岔位置,改變電路參數(shù)Cv。表1是不同電容Cv時(shí)系統(tǒng)轉(zhuǎn)移矩陣的特征值λ,圖5是特征值λ在復(fù)平面內(nèi)的變化軌跡。由表1和圖5可見(jiàn),當(dāng)Cv≤36 nF時(shí),有且僅有1個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)Floquet乘子穿越出單位圓,系統(tǒng)此時(shí)發(fā)生了倍周期分岔。

    2.3 控制比例電阻RV對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性影響

    由仿真可得當(dāng)控制比例電阻RV由10 Ω增加至100 kΩ時(shí),系統(tǒng)仍處于穩(wěn)定狀態(tài)。RV取不同值時(shí)輸入電壓、輸入電流、輸出電壓及電感L1上的電感電流波形不會(huì)發(fā)生變化,仿真波形如圖6所示。由仿真結(jié)果分析可得,當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)系統(tǒng)的功率因數(shù)為0.988 2,在一定范圍內(nèi),比例電阻RV的變化對(duì)系統(tǒng)影響較小。

    表1 電容Cv不同時(shí)轉(zhuǎn)移矩陣的特征根及電路狀態(tài)Tab.1 Characteristic roots of transfer matrix and circuit states with different values of capacitance Cv

    2.4 電路模態(tài)分析

    圖7是控制電容CV取不同值時(shí)電容電壓v1的仿真波形及其局部放大。取CV=100 nF時(shí),由圖7(a)可見(jiàn),v1的周期是 0.01 s,由 v1的局部放大波形可知,電容C1工作于DCVM,電路處于穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)CV=25 nF 時(shí),由圖 7(b)可以看出,v1的周期變成了0.02 s,系統(tǒng)發(fā)生倍周期分岔現(xiàn)象,電容C1工作模式是DCVM。當(dāng)CV=10 nF時(shí),v1還是工作于DCVM,但此時(shí)系統(tǒng)已經(jīng)喪失了周期性,處于混沌狀態(tài)。表2是主電路電容C1和控制電路電容CV取不同值時(shí)電路模式及狀態(tài)。由圖7和表2可以看到,隨著控制電容CV的減小和主電路電容C1的增大,系統(tǒng)都會(huì)逐漸從穩(wěn)定到混沌。主電路電容C1的增大引起系統(tǒng)由單一的DCVM模式到多種模式共存,而控制電容CV的減小不會(huì)引起系統(tǒng)模態(tài)的改變。

    表2 電容C1和CV取不同值時(shí)電路模態(tài)及狀態(tài)Tab.2 Circuit modes and states when capacitance C1 and CVtake different values

    2.5 其他參數(shù)對(duì)穩(wěn)定域的影響

    當(dāng)輸入電壓發(fā)生變化時(shí),為實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行,需要重新調(diào)整控制電容,如圖8所示。圖8(a)中,負(fù)載 RL=20 Ω,當(dāng)輸入電壓 vin,rms在 70~160 V 之間變化時(shí),電路穩(wěn)定運(yùn)行所需電容Cv的臨界值會(huì)越來(lái)越大。同理,vin,rms=75 V改變負(fù)載RL時(shí),如圖8(b)所示,可見(jiàn)隨著RL的增加,電路穩(wěn)定運(yùn)行所需電容Cv越來(lái)越大;且在臨界穩(wěn)定附近電路雖然是穩(wěn)定的,但是功率因數(shù)不是很高,只有0.88~0.92,因此,要保證高功率因數(shù),電路設(shè)計(jì)時(shí)要盡量遠(yuǎn)離邊界穩(wěn)定值。PSIM仿真值和理論計(jì)算值的變化規(guī)律一致,且結(jié)果基本相符,為實(shí)際參數(shù)設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。由于電路在建模過(guò)程中進(jìn)行了平均簡(jiǎn)化,因此兩者之間存在合理范圍內(nèi)的誤差。

    3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

    當(dāng)電容Cv取100 nF時(shí),DCVM Cuk PFC變換器的穩(wěn)定實(shí)驗(yàn)結(jié)果,如圖 9 所示,圖(a)、(b)、(c)分別為輸入電感電流i1、輸出電壓v2和i1-v2相平面圖的實(shí)驗(yàn)波形。從圖9可見(jiàn),此時(shí)系統(tǒng)運(yùn)行于穩(wěn)定狀態(tài)。隨著電容Cv的減小,實(shí)驗(yàn)過(guò)程中取Cv為33 nF時(shí),實(shí)驗(yàn)波形如圖10所示,此時(shí)系統(tǒng)發(fā)生了倍周期分岔,輸入電流和輸出電壓開(kāi)始畸變。繼續(xù)減小Cv至10 nF時(shí),得到如圖11所示實(shí)驗(yàn)波形,此時(shí)系統(tǒng)已經(jīng)進(jìn)入混沌狀態(tài),輸入電流和輸出電壓紋波很大,系統(tǒng)失去功率因數(shù)校正能力。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與軟件仿真一致,從而驗(yàn)證了理論分析的正確性。

    4 結(jié)語(yǔ)

    DCVM Cuk PFC變換器具有開(kāi)關(guān)電流應(yīng)力小、輸入電流紋波小及控制簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn),但其存在著復(fù)雜的非線(xiàn)性行為。本文針對(duì)PI控制的DCVM Cuk PFC變換器,研究了其慢尺度分岔行為現(xiàn)象。研究結(jié)果表明,隨著控制電容參數(shù)的減小,系統(tǒng)發(fā)生慢尺度分岔,輸入電流增大,功率因數(shù)校正能力降低甚至不具備功率因數(shù)校正能力。系統(tǒng)由穩(wěn)定到混沌過(guò)程中,與主功率電容變化的電路存在多種模態(tài)不同,當(dāng)控制電路電容變化時(shí),其電路模態(tài)始終處于DCVM,并給出了輸入電壓和負(fù)載分別發(fā)生變化時(shí)的電路穩(wěn)定邊界值。搭建實(shí)驗(yàn)電路,驗(yàn)證了理論分析的正確性,為系統(tǒng)電路參數(shù)的設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。

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