適用于計(jì)算機(jī)程序計(jì)算的濕空氣計(jì)算方法

王童 高麗穎

中國(guó)建筑科學(xué)研究院有限公司

在供暖通風(fēng)、空氣調(diào)節(jié)等領(lǐng)域經(jīng)常會(huì)涉及到濕空氣計(jì)算問(wèn)題。傳統(tǒng)方法是通過(guò)查找焓濕圖進(jìn)行分析的。然而，這種方式往往不太方便而且難以保證精度。目前市場(chǎng)上存在一些商業(yè)軟件可以進(jìn)行濕空氣計(jì)算，但是這些軟件通常不會(huì)公布其中的算法。因此，很難在需要開(kāi)發(fā)新程序的時(shí)候提供參考。本文旨在給出一種適用于計(jì)算機(jī)程序計(jì)算的濕空氣計(jì)算方法，以供需要編寫(xiě)涉及到濕空氣計(jì)算的程序的讀者作為參考。

1 飽和水蒸氣壓力的計(jì)算

濕空氣計(jì)算中，較為困難的一個(gè)問(wèn)題是如何計(jì)算空氣的飽和水蒸氣分壓力。困難主要來(lái)源于飽和水蒸氣分壓力沒(méi)有現(xiàn)成的解析公式，飽和水蒸氣壓力通常是將實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)以表格形式給出。工程上已有一些飽和水蒸氣壓力經(jīng)驗(yàn)計(jì)算公式，但是這些公式形式上往往都比較復(fù)雜。建立在這些經(jīng)驗(yàn)公式上的濕空氣計(jì)算方法也會(huì)比較復(fù)雜。

本文通過(guò)采用最小二乘法，對(duì)飽和水蒸氣壓力試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分段多項(xiàng)式擬合，從而得到一個(gè)飽和水蒸氣分段計(jì)算函數(shù)。參考文獻(xiàn)[1]附錄1-1 中的表格列出了飽和水蒸氣壓力的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。在-20～50 ℃范圍內(nèi)，表格從-20 ℃起，每隔 1 ℃給出一個(gè)對(duì)應(yīng)于此溫度的飽和水蒸氣壓力試驗(yàn)值。通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，對(duì)表格中每連續(xù)十個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行二次多項(xiàng)式擬合，得到的分段函數(shù)形式較為簡(jiǎn)單且精度較高。即先對(duì)-20 ℃至-11 ℃范圍內(nèi)的飽和水蒸氣壓力進(jìn)行二次多項(xiàng)式擬合，得到擬合系數(shù)a1，b1，c1，之后對(duì)-10 ℃至-1 ℃范圍內(nèi)的飽和水蒸氣壓力進(jìn)行擬合，得到擬合系數(shù)a2，b2，c2。以此類推，最后對(duì)40 ℃至-49 ℃范圍內(nèi)的飽和水蒸氣壓力進(jìn)行擬合，得到擬合系數(shù)a7，b7，c7。

通過(guò)以上方式進(jìn)行擬合可以得到一個(gè)如下形式的分段計(jì)算函數(shù)：

式中：Pq,b為飽和水蒸氣壓力值，Pa；ai，b i，c i為第i段飽和水蒸氣壓力函數(shù)的擬合系數(shù)；t為水蒸氣溫度，℃；

在所有常用的飽和水蒸氣壓力經(jīng)驗(yàn)計(jì)算公式中，戈夫-格雷奇（Goff-Gratch）公式與實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)最為接近[2]。因此，本文將式（1）與戈夫-格雷奇公式進(jìn)行對(duì)比。經(jīng)過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，式（1）與戈夫-格雷奇公式最大絕對(duì)誤差小于35 Pa，平均絕對(duì)誤差為7.2087 Pa。溫度在-15 ℃至49 ℃范圍內(nèi)相對(duì)誤差小于0.6%，-20 ℃至-16℃范圍內(nèi)相對(duì)誤差小于2.5%。-20 ℃至49 ℃范圍內(nèi)平均相對(duì)誤差小于0.35%。由此可見(jiàn)式（1）計(jì)算精度可以滿足工程計(jì)算要求。目前主流的計(jì)算機(jī)編程語(yǔ)言均支持條件判斷語(yǔ)句，可以用于表達(dá)式（1）這種形式的分段函數(shù)。因此，可以編寫(xiě)計(jì)算機(jī)程序?qū)κ剑?）進(jìn)行求解。

由于式（1）所表示的分段函數(shù)在-20 ℃至50 ℃是單調(diào)遞增的，因此在此區(qū)間內(nèi)存在反函數(shù)。將式（1）進(jìn)行變換，可變?yōu)槿缦滦问剑?/p>

可以通過(guò)一元二次方程求根公式對(duì)式（2）進(jìn)行變換（通過(guò)計(jì)算可以確定式（2）中每段函數(shù)在其定義域內(nèi)判別式Δ均大于0。）。由此可得如下公式：

2 濕空氣狀態(tài)參數(shù)計(jì)算

工程中常用的濕空氣狀態(tài)參數(shù)有干球溫度tw、焓值h、含濕量d、相對(duì)濕度φ、水蒸氣分壓力p q、濕球溫度tw、露點(diǎn)溫度tl。在這些狀態(tài)參數(shù)中，有一些參數(shù)之間是相關(guān)的，例如：含濕量d與水蒸氣分壓力p q之間、焓值h與濕球溫度tw之間、含濕量d與露點(diǎn)溫度tl之間，都一一對(duì)應(yīng)，知道其中一個(gè)參數(shù)就可以確定另外一個(gè)參數(shù)。根據(jù)濕空氣原理可知，由任意兩個(gè)相互獨(dú)立的狀態(tài)參數(shù)可以確定其余狀態(tài)參數(shù)。后文會(huì)針對(duì)各種情況分別說(shuō)明相應(yīng)的求解方法。求解過(guò)程中除式（1）和式（3）外，還會(huì)用到如下兩個(gè)公式：

式中：h為焓值，kJ/kg；d為含濕量，g/kg；td為干球溫度，℃。

式中：φ為相對(duì)濕度；B為大氣壓力，Pa；P q,b為飽和水蒸氣壓力，Pa。

2.1 已知焓值h 及相對(duì)濕度φ 求解其余狀態(tài)參數(shù)

當(dāng)已知濕空氣焓值h及相對(duì)濕度φ時(shí)，將式（5）代入式（4）消去含濕量d，然后再將式（1）代入新式中，消去飽和水蒸氣壓力P q,b。由此，可得如下形式的一元三次方程：

式中：Ai，Bi，Ci，Di為通過(guò)式（1）中第i段函數(shù)求得的一元三次方程的系數(shù)。

求解式（6）可以采用數(shù)值方法（例如牛頓迭代法）或者解析方法（例如卡丹公式法）進(jìn)行求解。在求解式（6）時(shí)，由于干球溫度td未知，因此需要進(jìn)行試算。首先求解式（6）中第 1 個(gè)一元三次方程，可得干球溫度值td,1。如果計(jì)算值td,1恰在-20 ℃至-11 ℃之間，則停止計(jì)算，此時(shí)td,1即為計(jì)算溫度。反之，則繼續(xù)求解式（6）中的第 2 個(gè)一元三次方程，由此可得濕球溫度計(jì)算值td,2。如果計(jì)算值t d,2恰在-10 ℃至-1 ℃之間，則停止求解，此時(shí)td,2即為計(jì)算溫度。反之，則繼續(xù)求解式（6）中的第3 個(gè)一元三次方程。以此類推，直到求得的干球溫度值td,i恰在第i個(gè)方程對(duì)應(yīng)的溫度范圍內(nèi)為止。如果，計(jì)算了式（6）所有方程式仍未求得計(jì)算溫度，則可確定計(jì)算溫度必不在-20 ℃至50 ℃之間。此方法求解干球溫度值td最多需要試算七次。

將干球溫度值t d代入式（1）可求得飽和水蒸氣分壓力Pq,b。將飽和水蒸氣分壓力值Pq,b及相對(duì)濕度值φ代入式（5）可求得含濕量值d。

2.2 已知焓值h 及含濕量值d 求解其余狀態(tài)參數(shù)

將焓值h及含濕量值d代入式（4）可求解干球溫度值t d。將干球溫度值t d代入式（1）可得飽和水蒸氣分壓力值Pq,b。將飽和水蒸氣分壓力值Pq,b及含濕量值d代入式（5）可得相對(duì)濕度值φ。

2.3 已知焓值h 及干球溫度值t d求解其余狀態(tài)參數(shù)

將焓值h及干球溫度值td代入式（4）可得含濕量值d。將干球溫度值t d代入式（1）可得飽和水蒸氣分壓力值P q,b。將飽和水蒸氣分壓力值P q,b及含濕量值d代入式（5）可得相對(duì)濕度值φ。

2.4 已知含濕量值 d 及相對(duì)濕度值 φ 求解其余狀態(tài)參數(shù)

將含濕量d及相對(duì)濕度值φ代入式（5）可得飽和水蒸氣分壓力值P q,b。將飽和水蒸氣分壓力值P q,b代入式（3）可得干球溫度值t d。將含濕量值d及干球溫度值td代入式（4）可得焓值h。

2.5 已知含濕量值 d 及干球溫度值 td求解其余狀態(tài)參數(shù)

將含濕量值d及干球溫度值td代入式（4）可得焓值h。將干球溫度值t d代入式（1）可得飽和水蒸氣分壓力值P q,b。將飽和水蒸氣分壓力值P q,b及含濕量值d代入式（5）可得相對(duì)濕度值φ。

2.6 已知干球溫度 t d及相對(duì)濕度值 φ 求解其余狀態(tài)參數(shù)

將干球溫度t d代入式（1）中，求得飽和水蒸氣分壓力值P q,b。再將飽和水蒸氣分壓力值P q,b及相對(duì)濕度值φ代入式（5）可求得含濕量d。最后，將干球溫度t d及含濕量d代入式（4）可求得焓值h。

2.7 濕球溫度t w與焓值h 相互求解

焓值為h的濕空氣濕球溫度tw與焓值為h且相對(duì)濕度等于100%的濕空氣干球溫度相等。因此，在已知焓值h的情況下，可采用 2.1 節(jié)所述方法求解濕球溫度t w。

反之，濕球溫度為 tw 的濕空氣焓值與干球溫度等于t w且相對(duì)濕度等于100%的濕空氣焓值相等。因此，已知濕球溫度t w情況下，可以采用 2.6 節(jié)所述方法求解焓值h。

2.8 露點(diǎn)溫度t l與含濕量d 的相互求解

含濕量為d的濕空氣露點(diǎn)溫度tl與含濕量為d且相對(duì)濕度等于100%的濕空氣干球溫度相等。因此，已知濕空氣含濕量d情況下，可以采用 2.4 節(jié)所述方法求解露點(diǎn)溫度t l。

反之，露點(diǎn)溫度為tl的濕空氣含濕量d與干球溫度等于t l且相對(duì)濕度等于100%的濕空氣含濕量相等。因此，已知濕空氣露點(diǎn)溫度tl情況下，可以采用2.6 節(jié)所述方法求解含濕量d。

2.9 水蒸氣分壓力與含濕量d 的相互求解

濕空氣水蒸氣分壓力與含濕量存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系?？赏ㄟ^(guò)下式對(duì)它們進(jìn)行求解：

式中：P q為水蒸氣分壓力，Pa；B為大氣壓力值，Pa。

3 計(jì)算數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比分析

為了分析本文所述計(jì)算方法的計(jì)算精度，筆者將計(jì)算數(shù)據(jù)與參考文獻(xiàn)[1]附錄1-1 中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了對(duì)比。為了更為全面的分析計(jì)算結(jié)果，筆者分別對(duì)四種情況進(jìn)行了分析。這四種情況分別是：1）采用干球溫度實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算其余狀態(tài)參數(shù)。2）采用含濕量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算其余狀態(tài)參數(shù)。3）采用飽和水蒸氣分壓力實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算其余狀態(tài)參數(shù)。4）采用焓值實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算其余狀態(tài)參數(shù)。對(duì)比分析結(jié)果詳見(jiàn)表1 至表4 中數(shù)據(jù)所示。

表1 計(jì)算數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的最大絕對(duì)誤差統(tǒng)計(jì)

表2 計(jì)算數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的平均絕對(duì)誤差統(tǒng)計(jì)

表3 計(jì)算數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的最大相對(duì)誤差統(tǒng)計(jì)

表4 計(jì)算數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的平均相對(duì)誤差統(tǒng)計(jì)

4 結(jié)論

本文提出一種適用于計(jì)算機(jī)程序計(jì)算的濕空氣狀態(tài)參數(shù)計(jì)算方法。文中介紹了各種情況下的濕空氣計(jì)算方法。并且，將計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了對(duì)比分析。分析結(jié)果顯示，本文所述方法具有較高的計(jì)算精度。

此外，筆者曾經(jīng)利用本文所述方法編寫(xiě)過(guò)基于濕空氣計(jì)算的空調(diào)機(jī)組選型軟件。實(shí)踐證明，本文所述方法適用于編寫(xiě)需要進(jìn)行濕空氣狀態(tài)參數(shù)計(jì)算的計(jì)算機(jī)程序，并且計(jì)算精度滿足實(shí)際工程需求。