一種基于凝固地理系的捷聯(lián)慣導(dǎo)極區(qū)導(dǎo)航算法

中國空空導(dǎo)彈研究院，洛陽 471000

地球的兩極地區(qū)存在豐富的自然資源。出于科學(xué)、經(jīng)濟(jì)、軍事戰(zhàn)略等方面的考量，世界大國在兩極地區(qū)均從事著勘測(cè)活動(dòng)。在南極地區(qū)各國建設(shè)的機(jī)場(chǎng)有50座之多，美國擁有13座，俄羅斯有8座，英、法、德、日等國均有極地機(jī)場(chǎng)，我國也正在建設(shè)第一座永久性南極機(jī)場(chǎng)。這對(duì)導(dǎo)航技術(shù)提出了更多的要求，需要飛機(jī)與艦船具備極區(qū)導(dǎo)航能力。

目前，隨著中國對(duì)兩極地區(qū)經(jīng)濟(jì)以及軍事需求的增加，國內(nèi)對(duì)極區(qū)導(dǎo)航領(lǐng)域的研究也漸漸活躍。由于中國地理位置遠(yuǎn)離極地，客觀上造成對(duì)極區(qū)探索的不足，對(duì)極區(qū)的研究也相對(duì)滯后，研發(fā)的航空慣導(dǎo)系統(tǒng)也不具備極區(qū)飛行的能力。

傳統(tǒng)的指北方位平臺(tái)慣導(dǎo)力學(xué)編排在高緯度地區(qū)存在方位陀螺施矩困難的問題，捷聯(lián)慣導(dǎo)則存在計(jì)算溢出問題。在高緯度地區(qū)緯度圈越來越小，最終收于一點(diǎn)，沿著緯度圈的運(yùn)動(dòng)半徑也最終變?yōu)榱悖?/p>

為了解決這個(gè)問題，游動(dòng)方位慣導(dǎo)系統(tǒng)和自由方位慣導(dǎo)系統(tǒng)被提出。這兩種方法可以解決慣性導(dǎo)航系統(tǒng)在極區(qū)遇到的上述問題，但由于在地理極點(diǎn)附近，由于真北方向失去定義導(dǎo)致自由方位角和游動(dòng)方位角失去定義，航向無法給出，即采用這兩種機(jī)械編排的慣性導(dǎo)航系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)在地理極點(diǎn)附近導(dǎo)航上不出現(xiàn)奇點(diǎn)，但從方向余弦矩陣中提取航向和位置信息時(shí)存在奇異值。

為此，又提出了以下幾種適用于極區(qū)的慣性導(dǎo)航方法：文獻(xiàn) [1-2]提出了格網(wǎng)導(dǎo)航, 這是目前比較成熟的一種極區(qū)導(dǎo)航方案，基于圓球模型的力學(xué)編排存在原理性誤差，而基于橢球模型的力學(xué)編排非常復(fù)雜、計(jì)算量大。文獻(xiàn)[3-9]提出了橫向經(jīng)緯度導(dǎo)航, 橫向經(jīng)緯度導(dǎo)航將地球模型當(dāng)作圓球模型，通過坐標(biāo)變換將極點(diǎn)轉(zhuǎn)換到赤道上，解決了高緯度地區(qū)的導(dǎo)航問題，同樣存在著原理性誤差。

文獻(xiàn)[10]提到了極區(qū)平面導(dǎo)航，介紹的極圈力學(xué)編排采用了與本文相同的坐標(biāo)系為導(dǎo)航參考坐標(biāo)，但是將其簡(jiǎn)化為了平面導(dǎo)航，存在原理性計(jì)算誤差。

本文在過去極區(qū)導(dǎo)航發(fā)展的基礎(chǔ)上，以實(shí)用、簡(jiǎn)化算法為出發(fā)點(diǎn)，提出一種新的基于凝固地理系的極區(qū)導(dǎo)航新方法，該導(dǎo)航模型基于現(xiàn)有橢球模型，無原理性誤差，計(jì)算量小，是一種傳統(tǒng)地理系與凝固地理系的融合極區(qū)導(dǎo)航算法，能夠滿足捷聯(lián)慣導(dǎo)極區(qū)長(zhǎng)航時(shí)導(dǎo)航需求。

1 凝固地理系下導(dǎo)航算法

凝固地理系(用n表示)定義如圖1所示，該坐標(biāo)系原點(diǎn)位于坐標(biāo)建立時(shí)刻橢球上，軸向與坐標(biāo)原點(diǎn)處地理系(用t表示)重合，相對(duì)于地球固定不動(dòng)，X、Y、Z對(duì)應(yīng)于北、天、東方向。CGCS2000地球系(用e表示)簡(jiǎn)稱為地球系，機(jī)體系用b表示。

圖1 凝固地理系Fig.1 Frozen geography frame

傳統(tǒng)指北方位導(dǎo)航力學(xué)編排如下：

由于凝固地理系與坐標(biāo)系建立時(shí)刻的地理系重合，地理系下導(dǎo)航參數(shù)可以直接作為到凝固地理系導(dǎo)航參數(shù)的初值，無需換算；凝固地理系下導(dǎo)航算法相對(duì)于指北方位導(dǎo)航算法也更簡(jiǎn)化。

2 導(dǎo)航參數(shù)在不同坐標(biāo)系下?lián)Q算

凝固地理系與地理系轉(zhuǎn)換矩陣轉(zhuǎn)換關(guān)系如圖2所示。

圖2 地理系與凝固地理系坐標(biāo)轉(zhuǎn)換Fig.2 The conversion relation between geography frame and frozen geography frame

凝固地理系導(dǎo)航計(jì)算的位置是相對(duì)于原點(diǎn)的三軸位置，短距離導(dǎo)航中姿態(tài)、速度與地理系導(dǎo)航結(jié)果基本一致，可以直接用于描述載體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

為了便于在不同坐標(biāo)系下對(duì)載體運(yùn)動(dòng)進(jìn)行描述，以下將對(duì)凝固地球坐標(biāo)系導(dǎo)航參數(shù)與其他坐標(biāo)系換算進(jìn)行說明。

地理系到凝固地理系的換算過程為z軸旋轉(zhuǎn)緯度值φ，繞-x軸旋轉(zhuǎn)經(jīng)度差δλ，再繞-z軸旋轉(zhuǎn)緯度值φ0。

三次旋轉(zhuǎn)可用旋轉(zhuǎn)矢量表示：

合成四元數(shù)為：

Qtn=Q1·Q2·Q3=

用轉(zhuǎn)換矩陣方式可以表示為：

(1)凝固地理系與地球系轉(zhuǎn)換矩陣

換算公式如下：

(2)位置換算

凝固地理系下位置換算到地球系，公式為：

地球系下三維坐標(biāo)換算到地理系有成熟的算法可用，但是常規(guī)算法需要迭代計(jì)算，這對(duì)于在線實(shí)時(shí)計(jì)算來說是一個(gè)計(jì)算隱患，會(huì)有進(jìn)入死循環(huán)的可能，工程上不推薦使用。

采用如下公式無需循環(huán)算法，在實(shí)際編程時(shí)采用atan2替代atan以實(shí)現(xiàn)無奇點(diǎn)計(jì)算。

Re=6 368 137 m

Rp=6 356 752.314 2 m

λ=arctan (Y/X)

(1)

(3)速度換算

(4)地理系下姿態(tài)計(jì)算

Q=Qtn·Qnb

提取的航向、俯仰與滾動(dòng)角公式如下：

θ=arcsin 2(Q1Q2+Q0Q3)

(5)凝固地理系到橫軸地球坐標(biāo)系的換算

對(duì)于有橫向經(jīng)緯度導(dǎo)航需求的應(yīng)用環(huán)境，凝固地理系下導(dǎo)航參數(shù)可以借助地理系進(jìn)行換算以獲得橫軸坐標(biāo)系下參數(shù)，見文獻(xiàn)[4]，而無需將核心導(dǎo)航算法修改為有原理性誤差的橫向經(jīng)緯度力學(xué)編排。

本文給出一種凝固地理系到橫軸地球坐標(biāo)系位置的直接轉(zhuǎn)換算法，公式如下：

橫向地球系高度直接利用公式(1)進(jìn)行計(jì)算。

速度與姿態(tài)計(jì)算公式見文獻(xiàn)[4],其中地理系下經(jīng)緯度，使用坐標(biāo)原點(diǎn)的經(jīng)緯度。

(6)凝固地理系到格網(wǎng)系導(dǎo)航參數(shù)的換算

通過以上換算，可以保持核心算法與軟件不變，就可以滿足其他導(dǎo)航方式的需求，關(guān)鍵在于不存在原理性誤差。

3 軟件流程

兩種導(dǎo)航坐標(biāo)系下的導(dǎo)航算法在經(jīng)過某個(gè)緯度圈時(shí)進(jìn)行坐標(biāo)系與算法的切換，本文采用圖3所示流程進(jìn)行設(shè)計(jì)。其中a為設(shè)定的采用凝固地理系導(dǎo)航坐標(biāo)系緯度點(diǎn)，b為凝固系坐標(biāo)導(dǎo)航退出緯度點(diǎn)，并且a>b，這兩者設(shè)定為一個(gè)小偏差，比如為6′。這樣的設(shè)定是防止邊緣飛行時(shí)，出現(xiàn)算法頻繁切換。

圖3 算法與軟件設(shè)計(jì)切換流程Fig.3 Algorithm and software switching process

4 仿真校驗(yàn)

(1)切換點(diǎn)緯度的確定

指北方位導(dǎo)航在接近極點(diǎn)時(shí)，由于正切函數(shù)原因?qū)е掠?jì)算溢出，所以當(dāng)緯度增大到特定值時(shí)刻切換為凝固地理系導(dǎo)航，以規(guī)避該問題。

正切函數(shù)在角度越接近90°過程中數(shù)值快速增大直至無窮。經(jīng)過數(shù)值計(jì)算可以確定指北方位系統(tǒng)導(dǎo)航方程89.5°附近，并不會(huì)出現(xiàn)計(jì)算溢出，選擇88°～89.5°緯度圈較為恰當(dāng)。本文確定以89.5°緯度圈為坐標(biāo)系切換線，即高于該緯度后將指北方位導(dǎo)航切換為凝固地理系導(dǎo)航。

(2)導(dǎo)航仿真

為驗(yàn)證捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)導(dǎo)航算法在極區(qū)的正確性以及性能，需要進(jìn)行仿真試驗(yàn)。為避免數(shù)值求解在極區(qū)遇到的問題，通過解析法給出陀螺和加速度計(jì)的輸出。

本文采用沿經(jīng)線向北飛越極點(diǎn)，然后飛出極區(qū)的軌跡。仿真參數(shù)設(shè)置如下：初始緯度89°，經(jīng)度120°，飛行高度1 000 m，北向飛行速度100 m/s，保持勻速直線平飛，無慣性器件誤差，仿真總時(shí)間設(shè)定為2 000 s。仿真時(shí)間558～1 676 s內(nèi)為進(jìn)入與飛出89.5°緯度圈的時(shí)間，即凝固地理系下導(dǎo)航時(shí)間段，約1 117 s為穿越極點(diǎn)時(shí)刻，其余時(shí)間為指北方位北天東地理系下導(dǎo)航時(shí)間。

凝固地理系位置導(dǎo)航參數(shù)見圖4。

圖4 凝固地理系下位置Fig.4 The position under frozen geography frame

圖中可見凝固地理系導(dǎo)航系下保持了無東向運(yùn)動(dòng)，由于地球曲率影響，凝固地理系下高度一直在下降。進(jìn)入與飛出89.5°緯度圈，X軸的運(yùn)動(dòng)距離約為110 km。

凝固地理系姿態(tài)變化見圖5。

圖5 凝固地理系下姿態(tài)Fig.5 The attitude under frozen geography frame

圖中可見凝固地理系下載體俯仰角一直負(fù)向變化，航向與橫滾角一直保持不變。

為了形成完整不間斷的地理系參數(shù)，需要將凝固地理系下參數(shù)轉(zhuǎn)換至地理系，以形成完整的指北方位參數(shù)，地理系下位置信息如圖6所示。

圖6中可見飛過極點(diǎn)時(shí)經(jīng)度從120°立即跳變?yōu)?60°；飛行高度維持在1 000 m。

地理系下姿態(tài)如圖7所示,圖中可見航向角飛過極點(diǎn)后，立刻從北向0°切換為南向-180°方向。

下面將對(duì)導(dǎo)航誤差進(jìn)行計(jì)算，將全段經(jīng)緯高參數(shù)轉(zhuǎn)換至地球系下與軌跡進(jìn)行對(duì)比，姿態(tài)信息在地理系對(duì)比以分析算法誤差特性。

地球系下位置誤差如圖8所示。

圖6 地理系下位置Fig.6 The position under geography frame

圖7 地理系下姿態(tài)Fig.7 The attitude under geography frame

圖8 地球系下位置誤差Fig.8 The position error under the earth frame

從圖8中可見導(dǎo)航坐標(biāo)系切換過程并不影響慣導(dǎo)誤差發(fā)散的趨勢(shì)與大小，位置誤差變化保持連續(xù)，無跳點(diǎn)。

地理系下姿態(tài)誤差如圖9所示。

圖9 地理系下姿態(tài)誤差Fig.9 The attitude error under geography frame

5 結(jié)束語

凝固地理系導(dǎo)航是在指北導(dǎo)航力學(xué)編排基礎(chǔ)上，刪除會(huì)導(dǎo)致計(jì)算溢出項(xiàng)。依舊按照地球的橢球模型進(jìn)行導(dǎo)航，不存在原理性誤差。

原理上凝固地理系屬于地球系的一種，是將原點(diǎn)從地心挪到了橢球面，其力學(xué)編排適合全球?qū)Ш?，但是過長(zhǎng)距離導(dǎo)航將使得凝固地理系下導(dǎo)航參數(shù)失去直觀的物理意義，最終要將參數(shù)轉(zhuǎn)換到地理系下才能表征載體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。將該坐標(biāo)系用于距離原點(diǎn)200～300 km內(nèi)的導(dǎo)航是必要的。本文以89.5°緯度圈為界限，直徑約為110 km；在載體位置低于該緯度圈后切換回原來導(dǎo)航坐標(biāo)方案，這是一種恰當(dāng)?shù)臉O區(qū)導(dǎo)航解決方案。仿真和分析結(jié)果表明：本方案導(dǎo)航算法簡(jiǎn)單，計(jì)算量小，導(dǎo)航精度高，無原理性誤差。

本文與其他極區(qū)導(dǎo)航方法的不同，在于不追求形式上的全球統(tǒng)一方法，該坐標(biāo)系的使用限于極區(qū)小范圍，超出范圍仍舊切換回通用的地理系。