離散數(shù)學(xué)中二元關(guān)系的教學(xué)模式改革探討

李海俠

摘? 要：二元關(guān)系是離散數(shù)學(xué)中的主要內(nèi)容之一，在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、點(diǎn)集拓?fù)?、近世代?shù)、算法分析和信息檢索等學(xué)科中具有非常廣泛的應(yīng)用。結(jié)合信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)特點(diǎn)和作者教學(xué)實(shí)踐，通過(guò)強(qiáng)調(diào)應(yīng)用價(jià)值、優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容、豐富教學(xué)方法和改進(jìn)考核方式等不同角度探討二元關(guān)系的教學(xué)模式改革，從而幫助大家靈活應(yīng)用二元關(guān)系中的知識(shí)解決相關(guān)問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：離散數(shù)學(xué);二元關(guān)系;應(yīng)用價(jià)值;教學(xué)內(nèi)容;教學(xué)方法;考核方式

中圖分類號(hào)：G642? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ?文章編號(hào)：2096-000X（2020）06-0129-03

Abstract： Binary relation is one of the main content of discrete mathematics and is widely used in the fields of data structure， general topology， modern algebra， algorithm analysis and information retrieval. Combining with the characteristic of information and computational science and the author's teaching practice， we discuss the teaching mode reform of binary relation by emphasizing the application value， optimizing teaching contents， enriching teachingmethods and improving assessment ways and so on， and help us better apply binary relation to solve relevant problems.

Keywords： discrete mathematics; binary relation; application value; teaching contents; teaching methods; assessment ways

信息與計(jì)算科學(xué)是數(shù)學(xué)、信息科學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)交叉融合的一門新型學(xué)科，其主要對(duì)象是信息技術(shù)的核心數(shù)學(xué)基礎(chǔ)以及運(yùn)用現(xiàn)代計(jì)算工具高效求解科學(xué)與工程問(wèn)題的數(shù)學(xué)理論與方法。該專業(yè)利用數(shù)學(xué)為信息與計(jì)算科學(xué)構(gòu)建基礎(chǔ)平臺(tái)，采取數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論和專業(yè)實(shí)踐相結(jié)合的教學(xué)方式，注重學(xué)生基本技能的培養(yǎng)，重視學(xué)生數(shù)值分析、計(jì)算技術(shù)及軟件的學(xué)習(xí)，確保學(xué)生具有強(qiáng)的知識(shí)應(yīng)用能力。離散數(shù)學(xué)是研究離散量的結(jié)構(gòu)及相互關(guān)系的學(xué)科，是信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的專業(yè)核心課。隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，它的應(yīng)用體系非常廣泛。學(xué)生通過(guò)對(duì)離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，不但在組合分析、算法設(shè)計(jì)以及應(yīng)用與建模等方面形成基本的離散思維方法，而且能夠培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯推理能力，從而為將來(lái)從事信息行業(yè)的理論研究和應(yīng)用開(kāi)發(fā)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。因此，許多學(xué)者對(duì)離散數(shù)學(xué)的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行了研究[1-12]。二元關(guān)系是離散數(shù)學(xué)課程中的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容。我院給信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)開(kāi)設(shè)的許多課程如數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)庫(kù)和近世代數(shù)等都與二元關(guān)系有關(guān)。但是由于二元關(guān)系的內(nèi)容抽象、繁瑣、零散以及證明難，很多學(xué)生學(xué)習(xí)這一章感到非常吃力，導(dǎo)致對(duì)內(nèi)容理解不透徹并且不能靈活應(yīng)用。因此探討二元關(guān)系的有效教學(xué)方法是非常有必要的。筆者自2006年以來(lái)一直從事信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)，結(jié)合專業(yè)特點(diǎn)和社會(huì)發(fā)展需求在教學(xué)過(guò)程中不斷積累經(jīng)驗(yàn)，對(duì)如何改進(jìn)該課程的教與學(xué)尤其對(duì)二元關(guān)系這一章的教學(xué)改革模式進(jìn)行了深入思索。

一、二元關(guān)系的國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀

二元關(guān)系是離散數(shù)學(xué)集合論中的重要內(nèi)容，是兩個(gè)集合笛卡爾乘積的子集，研究的是一個(gè)集合內(nèi)部或兩個(gè)不同集合元素間關(guān)系。它與數(shù)理邏輯、集合論、布爾代數(shù)、組合數(shù)學(xué)和圖論等有密切的聯(lián)系，不但在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中起著非常重要的作用，而且被廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域。目前很多書籍和文獻(xiàn)研究了二元關(guān)系的相關(guān)知識(shí)[1-8，11]。比如文獻(xiàn)[2，5]探討了傳遞閉包的運(yùn)算方法;文獻(xiàn)[3，6]分析了二元關(guān)系的五個(gè)性質(zhì);文獻(xiàn)[4，11]研究了等價(jià)關(guān)系和偏序關(guān)系;文獻(xiàn)[7，8]討論了二元關(guān)系傳遞性的判別方法?？v觀研究現(xiàn)狀，已有文獻(xiàn)都是對(duì)二元關(guān)系中的某個(gè)具體知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行討論，但針對(duì)二元關(guān)系這一章內(nèi)容的具體教學(xué)模式改革的探討并不多見(jiàn)。另一方面，二元關(guān)系的教學(xué)現(xiàn)狀是：學(xué)生沒(méi)有意識(shí)到二元關(guān)系的重要性，所以對(duì)二元關(guān)系的學(xué)習(xí)主動(dòng)性不高;教學(xué)內(nèi)容不新穎，不能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣;教學(xué)方法還停留在傳統(tǒng)模式上，不能調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性;考核方式忽略了學(xué)生的實(shí)踐能力等，不能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。針對(duì)這些現(xiàn)狀，結(jié)合作者多年的理論研究和教學(xué)實(shí)踐，下面從四個(gè)方面系統(tǒng)的分析離散數(shù)學(xué)中二元關(guān)系的教學(xué)模式和學(xué)習(xí)技巧，從而加深學(xué)生對(duì)二元關(guān)系知識(shí)點(diǎn)的理解以及靈活應(yīng)用。

二、提高二元關(guān)系的教學(xué)措施和實(shí)踐

（一）強(qiáng)調(diào)應(yīng)用價(jià)值

在講授二元關(guān)系的內(nèi)容之前，首先說(shuō)明學(xué)習(xí)二元關(guān)系的意義：二元關(guān)系在信息檢索、算法分析、編譯程序設(shè)計(jì)、近世代數(shù)、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)庫(kù)和點(diǎn)集拓?fù)涞阮I(lǐng)域發(fā)揮著積極作用。如傳遞閉包在編譯原理中，等價(jià)關(guān)系在數(shù)據(jù)庫(kù)、命題公式、集合、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)以及組合計(jì)數(shù)中，偏序關(guān)系在項(xiàng)目管理和字典排序中的應(yīng)用非常廣泛。而且，現(xiàn)實(shí)中的許多問(wèn)題都可以用二元關(guān)系來(lái)建模，例如資源共享協(xié)議、計(jì)算機(jī)中的多機(jī)調(diào)度、匹配問(wèn)題、安排座位和圖的著色等問(wèn)題。而且，二元關(guān)系也是該專業(yè)學(xué)生學(xué)好后續(xù)某些課程的基礎(chǔ)。這樣使注重于計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)和應(yīng)用的信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的學(xué)生感受到二元關(guān)系的重要應(yīng)用價(jià)值，從而激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣和提高自主學(xué)習(xí)的積極性。

（二）優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容

二元關(guān)系這一章內(nèi)容散且課時(shí)少，為了趕教學(xué)進(jìn)度很容易忽略學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)以及學(xué)以致用性，從而會(huì)降低學(xué)生的自主學(xué)習(xí)興趣。另外，為了適應(yīng)現(xiàn)代社會(huì)發(fā)展對(duì)信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)人才的需求，還應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和實(shí)踐能力。所以應(yīng)當(dāng)優(yōu)化二元關(guān)系的教學(xué)內(nèi)容。二元關(guān)系這一章內(nèi)容的基本框架是：

由于信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)等專業(yè)課，對(duì)集合的運(yùn)算已經(jīng)有了更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。所以在教學(xué)內(nèi)容上對(duì)關(guān)系的運(yùn)算較粗略講解。而二元關(guān)系的性質(zhì)是這一章后續(xù)內(nèi)容的基礎(chǔ)，所以應(yīng)重點(diǎn)加強(qiáng)與二元關(guān)系性質(zhì)相關(guān)問(wèn)題的訓(xùn)練，特殊關(guān)系的講解，并強(qiáng)調(diào)關(guān)系矩陣在性質(zhì)判別、關(guān)系運(yùn)算及等價(jià)關(guān)系和偏序關(guān)系判定過(guò)程中的思想和作用，從而將抽象問(wèn)題具體數(shù)學(xué)化，使學(xué)生更好理解和掌握。另外，為了將理論與實(shí)際相結(jié)合，教學(xué)內(nèi)容上還可以加入簡(jiǎn)單的計(jì)算編程，比如讓學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)關(guān)系矩陣的n次冪運(yùn)算等內(nèi)容的編程，使學(xué)生能夠?qū)W以致用，從而對(duì)二元關(guān)系的學(xué)習(xí)產(chǎn)生濃厚興趣。

（三）豐富教學(xué)方法

1. 教學(xué)手段多樣化

混合教學(xué)模式，是將在線教學(xué)和傳統(tǒng)教學(xué)的優(yōu)勢(shì)結(jié)合起來(lái)的一種“線上+線下”的教學(xué)方式[12]。針對(duì)二元關(guān)系，可以采用傳統(tǒng)課堂和翻轉(zhuǎn)課堂等結(jié)合的混合式教學(xué)模式。

課前，教師將二元關(guān)系的定義和運(yùn)算讓學(xué)生在網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)下載觀看，并查閱回顧關(guān)系數(shù)據(jù)庫(kù)的相關(guān)知識(shí)。教師將諸如關(guān)系與數(shù)據(jù)庫(kù)之間的聯(lián)系是什么等問(wèn)題發(fā)給學(xué)生思考和討論。關(guān)系的性質(zhì)和特殊關(guān)系較難理解，可以先用傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容的手段錄成簡(jiǎn)短的小視頻，形成在線課程（或慕課）發(fā)給學(xué)生，讓學(xué)生提前預(yù)習(xí)。對(duì)于特殊關(guān)系，教師還可以讓學(xué)生先行思考實(shí)際生活中的哪些關(guān)系是特殊關(guān)系。課堂上，在前面的準(zhǔn)備基礎(chǔ)上，針對(duì)二元關(guān)系的內(nèi)容，教師先列出提綱，然后適時(shí)應(yīng)用雨課堂對(duì)學(xué)生的預(yù)習(xí)情況進(jìn)行測(cè)查。接著讓學(xué)生分組討論，這個(gè)過(guò)程中教師要鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題，而且還要參與到學(xué)生的討論中。比如有些學(xué)生對(duì)等價(jià)類與劃分之間的關(guān)系理解不好，教師鼓勵(lì)理解透徹的同學(xué)為其講解并互相討論，最終以圖示化方式明確等價(jià)類與劃分塊之間的關(guān)系。

二元關(guān)系講解完后，可以給學(xué)生布置一些聯(lián)系實(shí)際的作業(yè)，比如關(guān)系運(yùn)算如何運(yùn)用到社交網(wǎng)絡(luò)中等。實(shí)踐表明，這樣的混合式教學(xué)方式不但讓學(xué)生體會(huì)到了學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，而且更好地激發(fā)了學(xué)生的自主創(chuàng)新學(xué)習(xí)能力。

2. 融入實(shí)踐教學(xué)

單純的基礎(chǔ)理論教學(xué)往往忽略了學(xué)生對(duì)計(jì)算思維方法的靈活應(yīng)用。所以應(yīng)適時(shí)增加實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)，鼓勵(lì)學(xué)生將一些算法進(jìn)行計(jì)算機(jī)編程和應(yīng)用，從而使理論與實(shí)際相結(jié)合。信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的學(xué)生開(kāi)設(shè)了C語(yǔ)言、C++面向?qū)ο缶幊?、Java語(yǔ)言、Matlab語(yǔ)言與應(yīng)用、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)庫(kù)以及計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)等編程和計(jì)算機(jī)課程，在掌握算法分析和計(jì)算技術(shù)方面更有優(yōu)勢(shì)，能夠更好地對(duì)二元關(guān)系的有關(guān)內(nèi)容編程并靈活運(yùn)用。因此在二元關(guān)系的教學(xué)中可以根據(jù)學(xué)生的情況選取一些內(nèi)容進(jìn)行簡(jiǎn)單編程。比如可以讓學(xué)生對(duì)關(guān)系閉包運(yùn)算、等價(jià)關(guān)系與偏序關(guān)系的判定和關(guān)系矩陣的n次冪運(yùn)算等進(jìn)行簡(jiǎn)單編程，也可以先讓學(xué)生用Warshall算法和改進(jìn)的Warshall算法求關(guān)系的閉包運(yùn)算，再鼓勵(lì)學(xué)生嘗試?yán)脗鬟f閉包的Warshall算法繪制班級(jí)社交關(guān)系圖等。這樣不但提高了學(xué)生的編程能力和學(xué)習(xí)興趣，而且培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手能力和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。

3. 注重啟發(fā)式教學(xué)

二元關(guān)系這一章概念和定理很多，所以教師可通過(guò)精心設(shè)計(jì)逐步遞進(jìn)的啟發(fā)式教學(xué)來(lái)引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)思考，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，實(shí)現(xiàn)教學(xué)間的有效互動(dòng)，從而提高教學(xué)質(zhì)量。例如設(shè)R1，R2是集合A上的二元關(guān)系。通過(guò)講解易知，若R1，R2是自反的（反自反的，對(duì)稱的），則R1∪R2也是自反的（反自反的，對(duì)稱的）。于是教師由此可以啟發(fā)提問(wèn)：“若R1，R2是反對(duì)稱的（傳遞的），則R1∪R2是否也是反對(duì)稱的（傳遞的）”？然后可以通過(guò)舉實(shí)例來(lái)解決給出答案。又如講閉包運(yùn)算時(shí)，通過(guò)閉包運(yùn)算的概念逐層啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生得出其運(yùn)算表達(dá)式。這樣將問(wèn)題層層深入，加深學(xué)生對(duì)重點(diǎn)內(nèi)容的理解。

4. 采取類比式教學(xué)

二元關(guān)系這一章的許多內(nèi)容間存在一定聯(lián)系，可以用類比法教學(xué)來(lái)加深理解。比如，在二元關(guān)系教學(xué)過(guò)程中，講解完性質(zhì)和運(yùn)算后，可類比性質(zhì)與運(yùn)算的聯(lián)系，也可通過(guò)類比等價(jià)關(guān)系和偏序關(guān)系來(lái)區(qū)分特殊關(guān)系。傳遞閉包的判定有些難度，但它與第一章數(shù)理邏輯中的蘊(yùn)含式判別相關(guān)聯(lián)，所以講解傳遞閉包時(shí)將其用蘊(yùn)含式判別來(lái)分析可以簡(jiǎn)化判定思想，更能加深這兩方面知識(shí)的理解。另外，二元關(guān)系中的有些內(nèi)容和信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)學(xué)生所學(xué)課程的有關(guān)知識(shí)相似。如關(guān)系中的并、交和差運(yùn)算其實(shí)是關(guān)系數(shù)據(jù)庫(kù)中的增加、查找及刪除運(yùn)算;關(guān)系閉包與數(shù)學(xué)分析課程中的閉包一致;關(guān)系矩陣的合成運(yùn)算公式與矩陣的乘法公式相似，只不過(guò)關(guān)系矩陣的乘法和加法用的是布爾運(yùn)算。這樣通過(guò)已學(xué)知識(shí)的介入和類比使得學(xué)生能夠更形象的理解二元關(guān)系的內(nèi)容。

（四）改進(jìn)考核方式

考核是對(duì)學(xué)生掌握知識(shí)的評(píng)價(jià)，也是對(duì)教學(xué)效果的評(píng)估[10]。二元關(guān)系以往的考核由作業(yè)、出勤和回答問(wèn)題的表現(xiàn)決定。這種考核方式忽略了學(xué)生的編程能力和自主創(chuàng)新學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，顯然不利于信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)學(xué)生的發(fā)展。在二元關(guān)系的考核中，還應(yīng)注重考查學(xué)生平時(shí)的綜合學(xué)習(xí)表現(xiàn)：平時(shí)課前預(yù)習(xí)情況的表現(xiàn);平時(shí)課中討論問(wèn)題的表現(xiàn);平時(shí)計(jì)算機(jī)編程和做練習(xí)題情況的表現(xiàn)。另外，為了使學(xué)生鞏固二元關(guān)系的知識(shí)和養(yǎng)成平時(shí)踏實(shí)學(xué)習(xí)的好習(xí)慣，還應(yīng)該進(jìn)行二元關(guān)系這一章的單元考試。因此為了使信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的學(xué)生適應(yīng)社會(huì)需求，二元關(guān)系的考核方式最終由以下幾部分構(gòu)成：平時(shí)課前檢測(cè)10%;平時(shí)課中討論10%;平時(shí)編程和練習(xí)表現(xiàn)20%;作業(yè)出勤 20%;單元檢測(cè)成績(jī)40%。當(dāng)然，這種考核方式在離散數(shù)學(xué)課程的整個(gè)教學(xué)過(guò)程中也適用。

三、結(jié)束語(yǔ)

二元關(guān)系與許多學(xué)科有非常緊密的關(guān)聯(lián)，在許多領(lǐng)域具有非常廣泛的應(yīng)用，因此加深對(duì)二元關(guān)系的理解和探討二元關(guān)系的教學(xué)方法及技巧是非常有必要的。針對(duì)二元關(guān)系的教學(xué)改革，本文從強(qiáng)調(diào)應(yīng)用價(jià)值、優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容、創(chuàng)新教學(xué)方法和改進(jìn)考核方式等方面進(jìn)行了討論。通過(guò)該教學(xué)模式的應(yīng)用將調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性、主動(dòng)性和創(chuàng)造性，達(dá)到良好的教學(xué)效果。隨著信息科學(xué)和社會(huì)的飛速發(fā)展，今后還需要結(jié)合信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)學(xué)生的實(shí)際情況和社會(huì)的發(fā)展需求不斷地對(duì)二元關(guān)系乃至離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容和模式進(jìn)行創(chuàng)新和探索，這樣才能實(shí)現(xiàn)教與學(xué)與用的有機(jī)結(jié)合。

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